广东省东莞市2013-2014学年高一数学下学期期末教学质量检查试题(B卷)新人教A版

某某2013—2014学年度第二学期教学质量检查
高一数学（B 卷）
考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知(3,1),(,1)a b x ==-，且//a b ，则x 等于 A ．
13 B ．1
3
- C ．3 D ．3- 2．有下列调查方式：①某学校为了了解高一学生的作业完成情况，从该校20个班中每班抽1人进行座谈；②某班共有50人，在一次期中考试中，15人在120以上，30人在90~120分，5人低于90分．现在从中抽取10人座谈了解情况，120分以上的同学中抽取3人，90~120分的同学中抽取6人，低于90分的同学中抽取1人；③从6名家长志愿者中随机抽取1人协助交警疏导交通．这三种调查方式所采用的抽样方法依次为 A ．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 C ．分层抽样，简单随机抽样，系统抽样 D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
3．sin(2014)π=
A ．1-
B ．1 C
．2
D ．0
4．方程2
2
220x y ax +-+=表示圆心为(2,0)C 的圆，则圆的半径r =
A
B ．2 C
D ．4 5．右边的程序框图，如果输入三个实数a b c 、、，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中应该填入
A ．?c x >
B ．?x c >
C ．?c b >
D ．?b c >
6．如图，平行四边形ABCD 中，(2,0),(3,2)AB AD ==-，则BD AC ⋅= A ．6- B ．4 C ．9 D ．13
（第5题图）
A
7．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1
3
，则阴影部分的面积是
A ．3
π
B ．π
C ．2π
D ．3π
8．把函数()sin()6
g x x π
=-
的图像向右平移
6
π
个单位可以得到函数()f x 的图像，则()6
f π
= A ．1
2
-
B
．2 C ．1- D ．1
9．由直线1y x =+上的一点向圆2
2
(2)(1)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为 A
1 B ．1 C
D
10．函数()sin 2|sin |([0,2])f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值X 围是
A ．[1,1]-
B ．(1,3)
C ．(1,0)(0,3)-
D ．[1,3]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．在空间直角坐标系中，已知(2,3,3),(3,1,3)A B ，则||AB =．
12．某射手射击一次击中10环，9环，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，则他射击一次命中8环或9环的概率为． 13．已知2
tan()3
πα-=
，则cos2α=． 14．设直线0x y a -+=与圆2
2
(1)(2)4x y -+-=相交于A B 、两点，且弦AB
的长为
，则a =．
三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分）
已知||2,||3,(23)(2)19a
b a b a b ==-⋅+=．
（第7题图）
（1）求a b ⋅的值；（2）若()a a b λ⊥+，求λ的值． 16．（本小题满分12分） 已知函数()2sin(),02
f x x π
ϕϕ=
+<<
，且(0)1f =．
（1）求()f x 的解析式； （2）已知4(),52
f π
ααπ=
<<，求sin cos αα-． 17．（本小题满分14分）
某学校对高一800名学生周末在家上网时间进行调查，抽取基中50个
样本进行统计，发现上网的时间t （小时）全部介于0至5之间．现将上网时间按如下方式分成五组：第一组[0,1)，第二组[1,2)，第三组[2,3)，第四组[3,4)，第五组[4,5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）求该样本中上网时间t 在[1,2)X 围内的人数；
（2）请估计本年级800名学生中上网时间t 在[1,2)X 围内的人数；
（3）若该样本中第三组只有两名女生，现从第三组中抽两名同学进行座谈，求抽到的两名
同学恰好是一名男生和一名女生的概率．
18．（本小题满分14分）
已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，某班6名学生的数学和物理成绩如表：
学生 学科
A
B
C
D
E
F
数学成绩（x ） 83 78 73 68 63 73 物理成绩（y ）
75
65
75
65
60
80
（1）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程； （2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的系数公式：
1
2
2
1
ˆˆ,n
i i
i n
i
i x y n x y
b
a
y ax x
nx ==-⋅⋅==--∑∑ 参考数据：2
2
2
2
2
2
83787368637332224+++++=，
83757865737568656360738030810⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=
19．（本小题满分14分）
已知(sin ,cos ),(sin ,sin )a x x b x x ==，函数()f x a b =⋅． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[
,]63
x ππ
∈，不等式()2f x m -<恒成立，某某数m 的取值X 围．
20．（本小题满分14分）
已知圆2
2
:(2)1M x y -+=，Q 是直线y x =上的动点，QA 、QB 与圆M 相切，切点分别为点A 、B ．
（1）若点Q 的坐标为(0,0)，求切线QA 、QB 的方程； （2）若点Q 的坐标为(,),t t t R ∈，求直线AB 的方程．
2013—2014学年度第二学期教学质量检查
高一数学（B 卷）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．0.5 13．
5
13
14．-1或3 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分）
解：（1）由()()
23219a b a b -⋅+=，可得22
44319a a b b -⋅-=．…………2分 ∵2,3a b ==，∴164919a b -⋅-=， …………4分
∴
3a b ⋅=-. …………
6分
（2）由()a a b λ⊥+，可得()=0a a b λ⋅+，…………8分
即2
=0a a b λ+⋅，…………9分
由（1）及2,3a b ==,得43=0λ-，…………11分 解得4
=
3
λ.…………12分
16．（本小题满分12分）
解：（1）∵(0)1f ϕ=
=，∴sin 2
ϕ=
，…………2分 又∵02
π
ϕ<<
，故4
π
ϕ=
，…………4分
∴())4
f x x π
=
+.…………5分
（2）∵4
())sin cos 45
f παααα=
+=+=，
∴2
16
(sin cos )25
αα+=
， …………8分 ∴9
2sin cos 25
αα=-
，…………10分 ∴2
34
(sin cos )12sin cos 25
αααα-=-=
.…………11分
又
,2
π
απ<<∴sin cos 5
αα-=
.…………12分
17．（本小题满分14分） 解：（1）由频率分布直方图知，
上
网
时
间
在
第
二
组
)
2,1[X 围内的频率为：
32.01)06.008.016.038.0(12=⨯+++-=f .…3分
所以，该样本中上网时间在第二组的人数：16
32.0502=⨯=n （人）. …………5分
（2）由（1），可估计本年级上网时间t 在)2,1[X 围内的频率为32.0， …………6分
所以，可估计本年级学生上网时间t 在)2,1[X 围内的人数为：25632.0800=⨯（人）.……8分
（3）由频率分布直方图知第三组的频率为0.08，可得第三组共有4人. …………9分
将第三组的四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 、b 为男生， c 、d 为女生，基本事
件列表如下：
ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，所以基本事件有6个，…………11分
恰为一男一女的事件有ac ，ad ，bc ，bd ，共4个，…………13分
所以，抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为：
3
2
64==
P . …………14分
18．（本小题满分14分） 解：（1）由题意，837873686373
736
x +++++=
=，…………2分
756575656080
706
y +++++=
=.…………4分
5
3
ˆ2
81
2
8
1
=
--=∑∑==x
n x y
x n y
x b
i i i i
i ，…………7分 5
131ˆˆ=-=x b y a
，…………10分 ∴313155y x =
+.
…………11分
（2）由（1）知，当70x =时，68.2y =， …………13分
∴当某位学生的数学成绩为70分时，估计他的物理成绩为68.2.…………
14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）由()f x a b =⋅及(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，可得
x x x x f cos sin sin )(2+=…………2分
x x 2sin 2
1
22cos 1+-=
…………3分 21)2cos 222sin 22(22+-=
x x 2
1
)42sin(22+-=
πx …………4分 令2
4
2π
ππ
+
=-
k x ，Z k ∈，解得8
32π
π+
=
k x ，Z k ∈. …………5分 所以，()f x 的对称轴方程为8
32π
π+
=
k x ，Z k ∈.…………6分 （2）∵]3
,6[π
π∈x ，∴1254212πππ≤
-≤x .…………7分 又∵x y sin =在]2
,0[π上是增函数， ∴12
5sin
)42sin(12sin
π
π
π
≤-
≤x .…………8分 又∵)4
32sin(125sin π
ππ-=
4
sin 32cos 4cos 32sin ππππ-=
4
2
62
2212223+=⋅+⋅=
，…………9分 ∴()f x 在]3
,6[π
π∈x 时的最大值是4
3
32142622)(max +=++⨯=x f . …………11分
∵不等式()2f x m -<恒成立，即m x f <-2)(恒成立， …………12分
∴
m <-+2433，即4
5
3->m ， 所
以
，
实
数
m
的取值X 围是
),4
5
3(
+∞-. …………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）由题意可知当点Q 的坐标为（0，0）时，切线的斜率存在，可设切线方程为
y kx =. ………1分
则圆心到切线的距离1d =
=，即2241k k =+
，=k ±3分 ∴切线QA 、QB
的方程为y x =.…………5分 (2)设切线QA 、QB 的切点为1122(,),(,)A x y B x y . ∵
MA QA ⊥，则切线QA 的斜率为
111
2
(0)QA x k y y -=-
≠， …………6分 则切线QA 的方程为1111
2
()x y y x x y --=-
-.…………7分 化简为211111(2)(2)yy y x x x x -=--+-，即2
11111(2)(2)yy x x y x x +-=+-
∵点11(,)A x y 在圆22
:(2)1M x y -+=上，得111(2)23yy x x x +--=-
…………8分
又∵(,)Q t t 在切线QA 上，∴11(2)23ty t x t +-=-①…………9分 同理得22(2)23ty t x t +-=-②…………10分 由①②可知直线(2)23t x ty t -+=-过点B A , ∴直线AB 的方程为(2)23t x ty t -+=-
…………12分
特别当10y =时，11x =或13x =
当11x =时切线QA 的方程为1x =，解得1t =，得切点(2,1)B
此时AB 的方程为1x y -=上式也成立 当13x =时得3t =经检验方程也成立
综上所述直线AB 的方程为(2)23t x ty t -+=-
…………14分。