二次根式知识点总结—卢富志

二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）；
b b
a a
=
（b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0）
0 （a =0）；
6.二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
7.二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或
0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意
义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

8.与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平
方根的平方，而
表示一个实数a 的平方的算术平方根；在
中
，而中a 可以是正实数，0，负实数。

但与
都是非负
数，即
，。

因而它的运算的结果是有差别的，
，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即
时，=；时，
无意义，而
.
【典型例题】
1、概念与性质（二次根式的判定）
例1下列各式51)
1(，5)2(-，2)3(2+-x ，4)4(，2)3
1
()5(-，a -1)6(，12)7(2+-a a ，其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围（取值范围求法）
（1）
x x --
+31
5；（2）
2
2)-(x
例3、 在根式1) 222;2)
;3);4)275
x
a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)
例4、已知：
的值。

求代数式22,211881-+-
+++-+-=x y
y x x y
y x x x y
例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2
()a b -=b －a ，则 ( )
A. a>b
B. a<b
C. a ≥b
D. a ≤b 2、二次根式的化简与计算
例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )
A. ；
B. －；
C. －；
D.
例2. 把（a －b ）
－1
a －
b 化成最简二次根式
例3：先化简，再求值：
11()b
a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．
例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222
()a b a b ---
例4：（1）49.0381003⨯-⨯
（2）
9
144
20045243
⨯
⨯⨯
（3） 83122)10(973.012
3+--⨯-
3、在实数范围内分解因式 例1. 在实数范围内分解因式。

（1） 342-x （2）494-y 4、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4
415
的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n ≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2. 已知，则a _________
发展：已知，则
a ______。

例3、化简下列各式：
（1）423+ （2）526-
例4、已知a>b>0，a+b=6ab ，则
a b
a b
-+的值为（ ）
A ．
22 B ．2 C ．2 D ．12
例5、甲、乙两个同学化简
时，分别作了如下变形：
甲：
=
=
；
乙：=。

其中，
（ ）。

A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确 B.
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确 5.利用二次根式解方程
（1）0324)1(2=--x （2）x x 1225)32(2-=- （3）27(x+1)3=64
6.二次根式与相反数的混合运算： 例1：若312-a 和331b -互为相反数，求b
a
的值。

7.二次根式与绝对值的混合运算：
例1：|26||21||63|-+---
例2：
a a a =-+-20082007，求2
2007-a 2008-a 有意义，所以02008≥-a
2008≥∴a
20072007-=-∴a a
a a a =-+-20082007 a a a =-+-∴20082007
200820072+=∴a
20082007200820072007222=-+=-∴a
8.二次根式中分母有理化
例1：计算：
)3223)(3223(1
31
3+---+。