预初数学(角c)学科教师版

年级：预初科目：数学课时数：3课时课题角
教学目的1．熟练掌握角的和、差、倍的画法．
2．深刻理解余角、补角的概念及相关的命题，并会进行相关的计算．3．利用角的相关知识解决实际问题．
教学内容
【知识点梳理】
1．角的定义：
一是从静态来定义，二是以动态观点来定义，它强调角的形成过程．
2．角的表示方法：
角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．
【注意】表示角时应注意以下问题：
(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；
(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示；
(3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角.
3．方位角定义及其应用：
(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．
(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．
(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于
旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成
的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线．
4．角的大小比较方法：
角的大小比较一般有两种方法：度量法和叠合法
5．符合各种条件的画的画法：度量法和尺规法
6．余角、补角的定义及性质：
(1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角．性质：同角（或等角）的余角相等．
(2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角．性质：同角（或等角）的补角相等．
【注意】
(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关．
(2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法．
10．角的度量单位、角的换算及角的分类：
(1)角的度量单位是：度、分、秒．
1度的1
60
为1分，记作1'，即160'
︒=．
1分的1
60
为1秒，记作1''，即160
'''
=．
(2)角的分类：
(1)小于90︒的角叫做锐角．
(2)等于90︒的角叫做直角．
(3)大于90︒小于180︒的角叫做钝角．
【典型例题讲解】
【例1】如图，图中共有多少个角？
【分析】找角的个数与找线段方法一样，都按一定的方法分类，找角的个数可按顺
时针方向数．
【解析】以OA 为始边的角有AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠，共4个，以OB
为始边的角有BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠，共3个，以OC 为始边的角有COD ∠、
COE ∠共2 个，以OD 为始边的角有DOE ∠，共1个，所以共有432110
+++=（个）．
【方法总结】也可按逆时针方向数．本题也可看作过点O 引出5条射线共54102
⨯=个角，若过点O 引出n 条射，则共有()12
n n -个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）.
【例2】已知40AOB ∠>︒，用量角器画出AOC ∠,使40AOC ∠=︒，然后比较AOB
∠和BOC ∠的大小．
【分析】因为40AOB ∠>︒，要画出40AOC ∠=︒，所以AOB AOC ∠>∠，又因为OA
是两个角的一条公共边，所以可能在AOB ∠的内部也可能在AOB ∠的外部.
【解析】如图所示，当1AOC ∠在AOB ∠的内部时，1BOC AOB ∠<∠；当2AOC ∠在
AOB ∠的外部时，2BOC AOB ∠>∠.
【借题发挥】
1. 如图①所示，在ABC ∆中，作A ∠的角平分线交BC 于点D ，作B ∠的角平分线交AC 于点E ．AD 与BE 相交于点O ，连结OC ，用量角器测量出BCO ∠与ACO ∠的大小，你认为BCO ∠与ACO ∠的大小关系如何？
【解析】能，确定方法如图②所示，利用图书馆在学校北偏东45︒可确定射线BC ，图书馆在医院的南偏西60︒可确定射线OA .射线BC 与射线OA 相交于点D ，点D 就是图书馆所在地．
【方法总结】给出一个方位角可以确定某地所处方向，给出两个方位角，这两个方位角所在射线有一个交点，这个交点就可确定某地位置.
【例5】已知ABC m ∠=，DEF n ∠=，如果m n >，那么移动ABC ∠，使它的角的顶点B 和边BA 分别与的角DEF ∠的顶点E 和边ED 叠合．而射线BC ，EF 都落在BA ．(ED )的同侧，那么射线BC 与DEF ∠有怎样的位置关系？
【分析】本题可以使用实践画图法：画两个角ABC ∠与DEF ∠．使得ABC ∠> DEF ∠．再按题意操作，就能确定射线BC 与DEF ∠的位置关系．
【解析】射线BC 在DEF ∠的外部．
【例6】某人开车南北往南行驶，到一个岔路口，前面有两条路，一条路与原
路成一条直线，另一条路与原路成30度角，如果岔路口到目的地的直线距离
为10千米，那么走斜路要多走多少千米？（保留+位小数）
【分析】要真正理解题义，就要画出图形．
【解析】如图所示，量得图中斜线的长约为2.3厘米．用1厘米表示5千米，
则比例尺为1：500 000设斜线实际距离为x 千米．
根据题意得：1:100000 2.3:x =
解得11.5x ≈（千米）
答：走斜路约要多走1.5 千米．
【方法总结】先要读懂题意画图，在图上利用在小学学过的比例问题，“图距：实距=比例尺”进行计算．
【例7】如图所示，已知：OC 是AOB ∠的角平分线，OD 是AOC ∠内的一条射线，已知AOD ∠比BOD ∠小30︒，求COD ∠的大小．
【分析】根据已知可设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=．则有
BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，利用等量关系，
30BOD AOD ∠-∠=︒列出式子，即可解出β的度数．
【解析】因为OC 是AOB ∠的平分线（已知）．所以AOC BOC ∠=∠ (角平分线的意义)
设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=,
根据题意，得BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，
所以()()30αβαβ+--=︒．解方程，得15β=︒，即15COD ∠=︒．
【例8】如图所示，射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，已知BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒，试用含有m ，n 的式子表示AOF ∠的度数．
【解析】AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠，而射线
OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，因此
2AOB BOC BOC ∠+∠=∠，2DOE EOF DOE ∠+∠=∠，那么
22AOF BOC DOE COD ∠=∠=∠+∠．由于
BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．然后把相关角的式子分别代
入，问题就解决了．
【解】因为射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线(已知)．
所以AOB BOC ∠=∠，DOE EOF ∠=∠（角平分线的意义）．
又因为AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠．
所以222()AOF BOC DOE COD BOC DOE COD ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠.
又因为BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒ (已知)．
所以BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．
所以()()222AOF BOC DOE COD m n n m n ∠=∠+∠+∠=-+=-．
【借题发挥】如图所示，射线OC 、OD 的端点O 在直线AB 上，已知1∠比3∠小13︒，285∠=︒，求1∠和3∠的度数．
【分析】因为点O 在直线AB 上，所以123180∠+∠+∠=︒．若3∠为x ．则1∠就是13x -．然后通过代数的方法列方程来解决．
【解析】设3∠为x ︒．那么1∠就是(13)x -。

，
由题意，得1385180x x +-+=．
解方程，得54x =． 13541341x -=-=．
所以1∠是41︒，3∠是54︒．
【例9】如图所示，已知90AOC BOD ∠=∠=︒．
(1)AOD ∠与BOC ∠有什么关系？为什么？
(2)若35DOC ∠=︒，则AOB ∠等于多少度？
(3)若150AOB ∠=︒，则DOC ∠等于多少度？
【分析】根据图形找出相等或互余的角．
【解析】(1) AOD ∠＝BOC ∠.理由如下：由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，90AOD DOC ∠+∠=︒，
90BOC DOC ∠+∠=︒
所以AOD ∠＝BOC ∠ (同角的余角相等)．
(2)由已知35DOC ∠=︒，
所以903555AOD BOC ∠=∠=︒-︒=︒，
所以553555145AOB AOD DOC BOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒．
(3)由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，150AOB ∠=︒．
所以1509060AOD AOB BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
所以906030DOC AOC AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.
【方法总结】此类题比较常见，这个图形可以作为一个基本图形去记忆．第(3)小题也可以这样解：把DOC ∠看作是两个直角AOC ∠和BOD ∠的重叠部分，那么()18015030DOC AOC BOD AOB ∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒.
【借题发挥】
如图所示．已知直线AB 、CD 相交于O 点，90BOE ∠=︒，445∠=︒，则1∠= ，2∠= ，3∠= ，1∠与2∠互为 角．
【分析】解决此类问题，要认真观察图形，根据已知条件求解．
Q 4∠与2∠为一对对顶角，4∠＝2∠＝45︒，
又Q 180AOB ∠=︒，90BOE ∠=︒，90AOE ∠=︒，
∴12904545AOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒。

3∠Q 与2∠互补，故3135∠=︒
由图可知1∠与2∠互为余角, 3∠与4∠互为补角，
【答案】45︒； 45︒ ； 135︒； 余 ；补.
【方法总结】结合图形，弄清各个角之间的关系．
【例10】将一张长方形的纸片ABCD 折一下．折痕为MN ．再将MC 与MN 叠合、MB 与MN 叠合,折痕分别为ME 、MF ．如图7-6-4所示，探究一下EMF ∠的大小，与CMF ∠互余的角有哪些？图中以M 为顶点的哪些角互补？
【解析】由于折叠时MC 与MN 叠合、MB 与MN 叠合，所以BME EMN ∠=∠，CMF FMN ∠=∠．而180BMN NMC ∠+∠=︒，所以90EMF ∠=︒,由此容易得出CMF ∠与BME ∠、EMN ∠均互余，从图形中容易发现BME ∠与EMC ∠，BMN ∠与NMC ∠，CMF ∠与FMB ∠互补，因为它的有一边在一条直线上．由于,,BME EMN CMF FMN ∠=∠∠=∠所以EMN ∠与EMC ∠，FMN ∠与FMB ∠也是互补的．
【答案】90EMF ∠=︒；与CMF ∠互余的角有BME ∠、EMN ∠，以M 为顶点的互补的角有BME ∠与EMC ∠，EMN ∠与EMC ∠，BMN ∠与NMC ∠，CMF ∠与FMB ∠，FMN ∠与FMB ∠．
【随堂练习】
1.如图所示，小明从A 处出发沿北偏东60︒方向行走至B
处，又沿北偏西20︒方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是北( )．
A ．右转80︒ ＆左转80︒ C 右转100︒ D ．左转100︒
【答案】A
2.如图①所示，已知线段a 、b 和1∠，根据所给的语句画图．
(1)画射线AD ;
(2)在射线AD 上截取AB a =；
(3)以点A 为顶点，在AD 的一侧面1EAB ∠=∠；
(4)在射线AE 上截取AC b =；
(5)联结BC ．
△ABC 就是所要画的三角形．
【答案】在根据作图语句作图时要清楚线段的端点用什么字母，角的顶点是那
个字母，按照作图语句的顺序一步一步的完成作图要求．如图②所示，ABC ∆就
是所要画的三角形．
① ②
3.在平行四边形ABCD 中，(1)求作DAB ∠和ABC ∠的角平分线；(2)若两角
平分线相交于E 点，测量AEB ∠的度数．
【分析】利用尺规作图，可得DAB ∠和ABC ∠的角平分线，再利用量角器
量出AEB ∠的度数．
【解析】 (1)在AD 、AB 上分别截取AM AN =．
分别以M 、N 为圆心，以大于
12
MN 的同一长度为半径作弧，两弧交 于DAB ∠内一点P ．作射线AP ．则AP 即为DAB ∠的角平分线，同样可
得的角ABC ∠平分线，交AP 于点E （如图）
(2)用量角器可测得90AEB ∠=︒．
【方法总结】无论平行四边形ABCD 的内角是多大，AEB ∠的大小都是90︒．
4. (1)用度、分、秒表示54. 12︒; ( 2)用度表示652512'''︒.
【解】(1)0.120.12607.2''︒==⨯，0.20.26012'''''=⨯=，所以54. 1254712'''︒=︒.
(2)112120.260'⎛⎫'''=⨯= ⎪⎝⎭
，125.225.20.4260⎛⎫'=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭．所以652512=65.42'''︒︒． 【方法总结】几分几秒化成度，分别除以进率60，度化成几分几秒，分别乘以进率60．
高化低用乘，即160'︒=，160'''=；低化高用除．即1160⎛⎫'=︒ ⎪⎝⎭，1160'⎛⎫''= ⎪⎝⎭
．
5.某地有一座宋代古塔，为了实地测量这座古塔外墙底部墙角如图7-6-6中的ABC ∠的大小，
而古塔又不可入内，怎么测量？并说明理由．
【解】延长AB ．如图在AB 的延长线取一点D ．测得DBC ∠的度数是50︒，则
18050130ABC ∠=︒-︒=︒．
【方法总结】解决此类问题，只要应用平角定义即可解决．利用补角定义计算不可进入的墙的
墙角的大小，我们可测得墙外的某一角度来计算墙内角的度数．
【课堂总结】
【课后作业】
1.理解判断：如果两个角有公共顶点和一条公共边，且这两个角互补，那么这两个角是邻补角，这句话对吗？
2.根据给出的图形填空：
(1)如图①所示，因为90,90,AOB BOC BOC COD ∠+∠=︒∠+∠=︒
所以AOB ∠=∠ （理由: ）
(2)如图②所示，因为90,90B C BAD CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒，且C BAD ∠=∠，所以B CAD ∠=∠ (理由: )．
3.计算：
(1)9032132'''︒-⨯； (2)12345543642183''''''︒+︒÷ ．
4.画图：点B 在点A 的北偏西20︒方向，且两点相距3厘米，点C 在点A 的北偏西30︒方向，且两点相距2厘米．用刻度尺量出点B 和点C 之间的距离．
思考 在点A 的北偏西306方向上还能找到几个点，使它到点C 的距离等于B 、C 之间的距离？这点与点A 相距
多远？（提示：用画图、测量等方法解决）
5．小丽从家出发向东走300米，再向东南方向走600米，然后向北偏东70︒方向走200米来到青少年活动中心，试画出青少年活动中心的位置．
6．已知两个角α∠、β∠，α∠比β∠多4︒，且311αβ∠+∠是一个平角，求α∠和β∠的度数．
7.上午六点钟时，钟面上时针和分针的夹角是多少度？下午三点半呢？
8.如右图，已知90AOB COD ∠=∠=︒，OE 是OA 的反向延长线．
(1)在图中找出相等的角．
(2)哪些角互为余角？
(3)哪些角互为补角？
9．用量角器画50AOM ∠=︒．
(1)画出AOM ∠的邻补角AOB ∠；
(2)在AOM ∠的外部画MON ∠，使得MON ∠与AOM ∠互余；
(3)计算BON ∠的度数．
【参考答案】
1.这句话是错误的．如图，12,1180AOD ∠=∠∠+∠=︒，所以2∠与AOD ∠互
补，且2∠与AOD ∠有公共顶点D ，公共边OA ，但2∠与AOD ∠不是邻补角．
2.(1)COD ∠,同角的余角相等；(2)等角的余角相等．
3.(1)88.93︒；(2)136︒ ．
4. 如图所示，点B 与点C 的距离是1厘米，点E 与点C 的距离是1厘米，点D
与点C 的距离也是1厘米，点D 与点A 的距离是1厘米，点E 与点A 的距离是
3厘米．
5. 如图所示：
6. 16,12αβ∠=︒∠=︒．（提示：设x β∠=︒，则(4)x α∠=+︒，然后根据题意建立方程求解）
7.上午六点钟时，所求夹角为180︒；下午三点半时，所求夹角为75.︒
8.(1)90AOB BOE COD ∠=∠=∠=︒，.BOE DOE ∠=∠(2)COE ∠和DOE ∠，COE ∠和BOC ∠.(3)AOC ∠和.COE ∠
9.(1)(2)略，(3)140.BON ∠=︒。