【全程复习方略】(广东专用)高考数学 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 理

【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第七章第五节直线、平面垂直的判定及其性质课时作业理新人教A版
一、选择题
1.(2013·清远模拟)已知直线a⊂平面α,直线AO⊥平面α,垂足为O,AP∩平面α=P,若条件p:直线OP不垂直于直线a,条件q:直线AP不垂直于直线a,则条件p是条件q的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2.对于直线m,n和平面α,β,α⊥β的一个充分条件是( )
(A)m⊥n,m∥α,n∥β
(B)m⊥n,α∩β=m,n⊂α
(C)m∥n,n⊥β,m⊂α
(D)m∥n,m⊥α,n⊥β
3.(2013·青岛模拟)已知a,b,c为三条不重合的直线,下面有三个结论:①若a⊥b,a⊥c,则b ∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.
其中正确的个数为( )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
4.a,b,c是三条直线,α,β是两个平面,b⊂α,c⊄α,则下列命题不成立的是
( )
(A)若α∥β,c⊥α,则c⊥β
(B)“若b⊥β,则α⊥β”的逆命题
(C)若a是c在α内的射影,a⊥b,则b⊥c
(D)“若b∥c,则c∥α”的逆否命题
5.(2013·茂名模拟)给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
(A)①和② (B)②和③
(C)③和④(D)②和④
6.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
7.已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( )
(A)n⊥β(B)n∥β
(C)n⊥α(D)n∥α或n⊂α
8.(能力挑战题)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=错误！未找到引用源。

,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是
( )
(A)A′C⊥BD
(B)∠BA′C=90°
(C)CA′与平面A′BD所成的角为30°
(D)四面体A′-BCD的体积为错误！未找到引用源。

二、填空题
9.P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:①PA⊥BC;
②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确的个数是.
10.(2012·安徽高考)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).
①四面体ABCD每组对棱相互垂直;
②四面体ABCD每个面的面积相等;
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.
11.(2013·安庆模拟)如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=错误！未找到引用源。

BC,将直角△ABE沿BE边折起,A点在平面BCDE上的射影为D点,则对翻折后的几何体有如下描述: (1)AB与DE所成角的正切值是错误！未找到引用源。

.
(2)三棱锥B-ACE的体积是错误！未找到引用源。

a3.
(3)AB∥CD.
(4)平面EAB⊥平面ADE.
其中正确的叙述有(写出所有正确结论的编号).
三、解答题
12.在如图所示的几何体中,四边形ACC1A1是矩形,FC1∥BC,EF∥A1C1,∠BCC1=90°,
点A,B,E,A1在一个平面内,AB=BC=CC1=2,AC=2错误！未找到引用源。

.
证明:(1)A1E∥AB.
(2)平面CC1FB⊥平面AA1EB.
13.(2013·阳江模拟)如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=错误！
未找到引用源。

.等边三角形ADB以AB为轴转动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
14.(能力挑战题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯
形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.
(1)若PD∥平面EAC,试确定点E在棱PB上的位置.
(2)在(1)的条件下,求二面角A-CE-P的余弦值.
答案解析
1.【解析】选C.从逆否命题的角度考虑,如图,当OP⊥a时,又a⊥OA,OP∩OA=O,
故a⊥平面APO,从而a⊥AP;反之,当a⊥AP时,同理可得a⊥OP,故p是q的充
要条件.
2.【解析】选C.对于C项:∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β,
又m⊂α,∴α⊥β.
3.【解析】选B.①不对,b,c可能异面;②不对,b,c可能平行或异面;③对,选B.
4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则垂直于另一个,故A正确;若c∥α,∵a是c在α内的射影,∴c∥a.∵b⊥a,∴b⊥c;若c与α相交,则c与a相交,由线面垂直的性质与判定定理知,若b⊥a,则b⊥c,故C正确;
∵b⊂α,c⊄α,b∥c,∴c∥α,因此原命题“若b∥c,则c∥α”为真,从而其逆否命题也为真,故D正确;当α⊥β时,平面α内的直线不一定垂直于平面β,故B不成立.
【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周,也是造成判断错误的因素.
5.【解析】选D.由线面、面面平行、垂直的判定与性质知
①错,②正确,③错,④正确,故选D.
【变式备选】如图,PA⊥正方形ABCD,下列结论中不正确的是( )
(A)PB⊥CB (B)PD⊥CD
(C)PD⊥BD (D)PA⊥BD
【解析】选C.由CB⊥BA,CB⊥PA,PA∩BA=A,知CB⊥平面PAB,故CB⊥PB,即A正确;同理B正确;由条件易知D正确.
6.【解析】选C.若α,β换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;若α,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题;若β,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题,故选C.
7.【解析】选D.如图所示,
图①中n与β相交,②中n⊂β,③中n∥β,n∥α,∴排除A,B,C,故选D.
8.【思路点拨】折叠前AB=AD=1,BD=错误！未找到引用源。

,即AB⊥AD,折叠后平面A′BD⊥平面BCD,且CD⊥BD,故CD⊥平面A′BD.
【解析】选B.取BD的中点O,∵A′B=A′D,
∴A′O⊥BD.又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩
平面BCD=BD,
∴A′O⊥平面BCD.
∵CD⊥BD,
∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD,
∵OC为A′C在平面BCD内的射影,
∴OC⊥BD,矛盾,∴A′C不垂直于BD,A错误;
∵CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,
∴CD⊥平面A′BD,A′C在平面A′BD内的射影为
A′D.
∵A′B=A′D=1,BD=错误！未找到引用源。

,
∴A′B⊥A′D,A′B⊥A′C,B正确;∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°,C错误;
V A′-BCD=V C-A′BD=错误！未找到引用源。

S△A′BD·CD=错误！未找到引用源。

,D错误.
9.【解析】如图所示.
∵PA⊥PC,PA⊥PB,PC∩PB=P,
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC,∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC,PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.
答案:3
10.【解析】①错误,当AB=4,AC=3,AD=3时,AC与BD不垂直;
②正确,在△ABC与△CDA中,AB=CD,AD=BC,AC=AC,故△ABC与△CDA全等;同理四面体的四个面都全等,故四面体ABCD每个面的面积相等;
③错误,根据四面体的四个面都全等可得从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角,故其和为180°;④正确,
如图所示,E,F,G,H是所在边的中点时,则四边形EFGH为菱形,故EG与FH互相垂直平分,同理
可得连接四面体ABCD的每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤正确,因为
AD=BC,AB=CD,AC=BD,所以从四面体ABCD的顶点A出发的三条棱的长可组成△
BCD,同理可得从四面体ABCD的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形
的三边长.
答案:②④⑤
11.【解析】翻折后得到的直观图如图所示.
AB与DE所成的角也就是AB与BC所成的角,即为∠ABC.
因为AD⊥平面BCDE,所以平面ADC⊥平面BCDE.
又因为四边形BCDE为正方形,
所以BC⊥CD.
可得BC⊥平面ACD.所以BC⊥AC.
因为BC=a,AB=错误！未找到引用源。

BC=错误！未找到引用源。

a,
则AC=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

a.
在Rt△ABC中,tan∠ABC=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.故(1)正确;
由AD=错误！未找到引用源。

=a,可得
V B-ACE=V A-BCE=错误！未找到引用源。

×错误！未找到引用源。

a2·a=错误！未找到引用源。

,故(2)正确;
因为AB与CD异面,故(3)错;
因为AD⊥平面BCDE,所以平面ADE⊥平面BCDE.
又BE⊥ED,所以BE⊥平面ADE,故平面EAB⊥平面ADE,故(4)正确.
答案:(1)(2)(4)
12.【证明】(1)∵四边形ACC1A1是矩形,
∴A1C1∥AC.又AC⊂平面ABC,A1C1⊄平面ABC,
∴A1C1∥平面ABC.
∵FC1∥BC,BC⊂平面ABC,∴FC1∥平面ABC.
又∵A1C1,FC1⊂平面A1EFC1,
∴平面A1EFC1∥平面ABC.
又∵平面ABEA1与平面A1EFC1、平面ABC的交线分别是A1E,AB,∴A1E∥AB.
(2)∵四边形ACC1A1是矩形,∴AA1∥CC1.
∵∠BCC1=90°,即CC1⊥BC,∴AA1⊥BC.又∵AB=BC=2,AC=2错误！未找到引用源。

,∴AB2+BC2=AC2. ∴∠ABC=90°,即BC⊥AB.∵AB,AA1⊂平面AA1EB,且AB∩AA1=A,
∴BC⊥平面AA1EB.而BC⊂平面CC1FB,
∴平面CC1FB⊥平面AA1EB.
13.【解析】(1)取AB的中点E,连接DE,CE,
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.
由已知可得DE=错误！未找到引用源。

,EC=1,
在Rt△DEC中,CD=错误！未找到引用源。

=2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明:
①当D在平面ABC内时,
因为AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时,
由(1)知AB⊥DE.
又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE.
由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.
综上所述,总有AB⊥CD.
14.【解析】(1)在梯形ABCD中,由题知AB⊥BC,AB=BC,∴AC=错误！未找到引用源。

AB,∠BAC=错误！未找到引用源。

,
∴∠DCA=∠BAC=错误！未找到引用源。

.
又∠CAD=90°,∴△DAC为等腰直角三角形.
∴DC=错误！未找到引用源。

AC=错误！未找到引用源。

(错误！未找到引用源。

AB)=2AB.
连接BD,交AC于点M,连接ME,
∵AB∥DC,∴错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=2.
∵PD∥平面EAC,
又平面EAC∩平面PDB=ME,
∴PD∥EM.
在△BPD中,错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=2,∴PE=2EB,
∴当PE=错误！未找到引用源。

PB时,PD∥平面EAC.
(2)由题意知△PAB为等腰直角三角形,取PB中点N,连接AN,则AN⊥PB.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,
又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.
∵BC⊂平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB,
又平面PAB∩平面PCB=PB,∴AN⊥平面PBC.
∵CE⊂平面PBC,∴AN⊥CE.
在平面PBC内,过点N作NH垂直直线CE于点H,连接AH.
∵AN⊥CE,NH⊥CE,AN∩NH=N,
∴CE⊥平面ANH,
∴AH⊥CE.∴∠AHN是二面角A-CE-P的平面角.
设PA=AB=BC=a,
则PB=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

a,BE=错误！未找到引用源。

PB=错误！未找到引用源。

a,
NE=错误！未找到引用源。

PB-BE=错误！未找到引用源。

PB-错误！未找到引用源。

PB=错误！未找到引用源。

PB=错误！未找到引用源。

a,
CE=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

a.
∵NH⊥CE,EB⊥CB,∠NEH=∠CEB,
∴△NEH∽△CEB,∴错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
∴NH=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

a.
∵AN⊥平面PBC,NH⊂平面PBC,
∴AN⊥NH,则△AHN为直角三角形.
在Rt△AHN中,AN=错误！未找到引用源。

AB=错误！未找到引用源。

a,
∴tan∠AHN=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
∴cos∠AHN=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
∴二面角A-CE-P的余弦值为错误！未找到引用源。

.
【变式备选】如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=错误！未找到引用源。

,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE.
(2)求二面角A-DF-B的大小.
(3)试问:在线段AC上是否存在一点P,使得直线PF与AD所成角为60°?
【解析】(1)令BD交AC于点O,连接OE,
∵O,M分别是AC,EF的中点,
四边形ACEF是矩形,
∴四边形AOEM是平行四边形,∴AM∥OE.
∵OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
(2)在平面AFD中,过A作AS⊥DF于S,连接BS,
∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,
∴AB⊥平面ADF,∴AS是BS在平面ADF上的射影.由三垂线定理得BS⊥DF, ∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.
在Rt△ASB中,AS=错误！未找到引用源。

,AB=错误！未找到引用源。

,
∴tan∠ASB=错误！未找到引用源。

,∴∠ASB=60°,
∴二面角A-DF-B的大小为60°.
(3)假设在线段AC上存在一点P,使得直线PF与AD所成角为60°.
设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,连接QF,则PQ∥AD.
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB∩AF=A,
∴PQ⊥平面ABF.
又∵QF⊂平面ABF,∴PQ⊥QF.
在Rt△PQF中,∠FPQ=60°,∴PF=2PQ.
∵△PAQ为等腰直角三角形,∴PQ=错误！未找到引用源。

(2-t).
又∵△PAF为直角三角形,∴PF=错误！未找到引用源。

,
∴错误！未找到引用源。

=2×错误！未找到引用源。

(2-t).
∴t=1或t=3(舍去),
即点P是AC的中点时,直线PF与AD所成角为60°.。