《好题》数学高二下期末经典复习题(含答案)

一、选择题
1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A ．A
B CD B
C DA +=+ B ．AC B
D BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+
D ．AB DA AC DB +=+
2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3
π
，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ） A ．23-
B ．23+
C ．72+
D ．72-
3．函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωφωφ=+>><的部分图象如图所示,若将()f x 图象向
左平移
4
π
个单位后得到()g x 图象,则()g x 的解析式为( )
A ．2()2sin(2)3
g x x π=+ B ．5()2sin(2)6
g x x π=- C ．()2sin(2)6
g x x π
=+
D ．()2sin(2)3
g x x π
=-
4．已知tan 2α=，则2cos α=（ ） A ．
14
B ．
34
C ．
45
D ．
15
5．已知sin cos 1
sin cos 2
αααα-=+，则cos2α的值为（ ）
A ．45-
B ．
35
C ．
35
D ．
45
6．已知1sin()6
2π
θ-=
，且02πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则cos()3πθ-=( )
A ．0
B ．
1
2
C ．1
D 7．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若
()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）
A ．以A
B 为底面的等腰三角形 B ．以B
C 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形
8．在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin A B A B +=+=C 等于（ ）
A ．150
B ．120
C ．60
D ．30
9．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．若将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π
6(k ∈Z ) B ．x =kπ2
+π
6(k ∈Z )x C ．x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )
D ．x =
kπ2
+π
12(k ∈Z )
11．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．
1
2
D ．
14
12．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．sin 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．sin2cos2y x x =+
D ．sin cos y x x =+
13．若02
πα<<
，02π
β-
<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭等于（ ）
A ．
3
B ．3
-
C ．
9
D ．9
-
14．设0>ω，函数2cos 17y x πω⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭的图象向右平移43
π
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．
34
B ．
23
C ．4
3
D ．
32
15．如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）
A ．
1122
a b + B ．
11
24
a b + C ．
11
42
a b + D ．
11
44
a b + 二、填空题
16．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足
CP CB λ=，当PA PC ⋅取到最小值时，λ的值为_________ .
17．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，
AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.
18．已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则()
PA PB PC +⋅=__________．
19．已知a ，b 是单位向量.若2a b b a +≥-，则向量a ，b 夹角的取值范围是_________.
20．求()2
2sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤
=-+∈-
⎢⎥⎣
⎦的值域____. 21．点P 是边长为2的正方形ABCD 的内部一点，1AP =，若
(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为___.
22．已知向量a ，b 满足1a =，且()
2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．
23．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则
||MN 的最大值为__________．
24．已知(,)P x y 是椭圆22
143
x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．
25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是
三、解答题
26．设函数()sin 3cos 1f x x x =++.
（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间；
（2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值. 27．已知平面上三个向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ,的模均为1，它们相互之间的夹角均为1200． （I ）求证：(a ⃗ −b
⃗ )⊥c ⃗ ； （II ）若|ka ⃗ +b ⃗ +c |>1 (k ∈R)，求k 的取值范围．
28．已知圆
．
（1）求过点(3,0)Q 的圆C 的切线l 的方程；
（2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足
2,0,AM AP NP AM =⋅=求N 点的轨迹．
29．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；
（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
AB CD对应的复30．已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,
数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．B
3．C
4．D
5．A
6．C
7．B
8．D
9．B
10．C
11．B
12．A
13．C
14．D
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算
17．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线
18．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义
19．【解析】【分析】设向量的夹角为在不等式两边平方利用数量积的运算律和定义求出的取值范围于此可求出的取值范围【详解】设向量的夹角为两边平方得都是单位向量则有得因此向量的夹角的取值范围是故答案为【点睛】本
20．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的
21．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+2
22．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小
23．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值
24．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y的最大值【详解】由题意可知xy表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c
三、解答题
26．
27．
28．
29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证． 【详解】
DC BC BD =-，DC AC AD =-，
∴AC AD BC BD -=-， ∴AC BD BC AD +=+．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．
2．B
解析：B 【解析】
不妨设(1,0)a =，13
(,
22
b =，(,)
c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以
22(2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆
心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据函数的图象求出函数()f x 的解析式，再根据图象的平移变换得到()g x 的解析式即可. 【详解】 由图象可知，A =2,
541264
T πππ=-=, 2T π
πω
∴==
,
2ω∴=,
又当512x π=时，52sin(2)212
π
φ⨯
+=， 即5sin(
)16
π
φ+=， 2
π
φ<
， 3
π
φ∴=-
，
故()sin()f x x π
=-
223
，
将()f x 图象向左平移
4π
个单位后得到()g x ， ∴ ()2sin[2()]2sin(2)436
g x x x πππ
=+-=+，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据同角三角函数的基本关系，由22
22
cos cos cos sin α
ααα
=+，化为正切即可求解. 【详解】
22
222
cos 1
cos cos sin 1tan ααααα
==++, 且tan 2α=，
∴211cos 145
α=
=+， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.
5．A
解析：A 【解析】 ∵
sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11
tan α3tan α12
-==+，.
∴cos2α=222222
cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5
αααααα--==-++ 故选A
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】 解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭=cos01=，故选C ．
解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】
本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+
OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为
故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．
点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题：()()2
2
4sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出
sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.
【详解】
由题：()()2
2
4sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，
2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，
2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：
()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，
1sin()2A B +=
，所以1
sin sin(())2
C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =. 故选：
D 【点睛】
此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 先化简“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.
α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，
α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，
所以“cos 02πα⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的必要非充分条件.
故答案为：B. 【点睛】
(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，得到y =
cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2
−π
12,k ∈Z ，即平移后的
函数的对称轴方程为x =
kπ2
−
π12
(k ∈Z )，故选C ．
11．B
解析：B 【解析】 将函数y =2sin （ωx +
π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π
2，k ∈Z ，即ω=–31
–22
k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 12．A
解析：A 【解析】 【分析】
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 解：y ＝cos （2x 2
π
+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2
π
+
）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；
y ＝sin2x +cos2x =（2x 4
π
+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；
y ＝sin x +cos x =（x 4
π
+
），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确； 故选A ．
考点：三角函数的性质.
解析：C 【解析】 【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
与sin 42πβ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】
02
π
α<<
，34
4
4π
π
πα∴
<+
<
，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，
02
π
β-
<<，则
4
4
2
2
π
π
β
π
<
-
<
，所以，sin 423
πβ⎛⎫-==
⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+
=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
1cos cos sin sin 44244233ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+-++-=+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．
14．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意得出43π是函数2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的周期，可得出()423k k N ππω*=∈，可得出ω的表达式，即可求出ω的最小值.
【详解】 由题意可知，43π是函数2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的周期，则()423k k N ππω*=∈， 即32k ω=
，又因为0>ω，当1k =时，ω取最小值3
2
，故选D. 【点睛】
本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题.
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出． 详解：∵在ABC ∆中，BE 是AC 边上的中线 ∴1
2
AE AC =
∵O 是BE 边的中点 ∴1
()2
AO AB AE =+ ∴11
24AO AB AC =
+ ∵,AB a AC b == ∴1124
AO a b =+ 故选B.
点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．
二、填空题
16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算
解析：1
8
【解析】 【分析】
将PA PC ⋅用AB ，AC 表示出来，注意AB ，AC 的数量关系，再根据λ的二次函数求最值. 【详解】
设AC a =，因为90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，所以3AB a =
，2BC a =；
22()()PA PC PC CA PC BC CA BC BC BC CA λλλλ⋅=+⋅=+⋅=+⋅，
所以2
2
2
2
2142cos1204()816
a PA PC a a a a λλλ⋅=+⋅⋅⋅︒=--，故当18λ=时，PA PC
⋅有最小值. 【点睛】
图形中向量的数量积问题，主要是将未知的向量用已知的向量表示，这样可以方便计算.
17．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线
解析：
2116
【解析】 【分析】 建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，利用向量的数量积公式即可
得出233
22
AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】
因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，
又因为120DAB ︒
∠=，所以直线AB 3332B ⎛ ⎝⎭
， 因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3
3
-， 所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭
， 令0x =，解得3y =
3)C ，
设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，
则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭
， 所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫
⋅=-⨯-
+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭
又因为t ∈，所以当4
t =时，AE BE ⋅取得最小值为2116．
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．
18．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义 解析：2-
【解析】 【分析】
先用中点公式的向量式求出PA PB +，再用数量积的定义求出()
PA PB PC +⋅的值． 【详解】
2PA PB PO +=，()
2211cos1802PA PB PC PO PC ο
∴+⋅=⋅=⨯⨯⨯=-
【点睛】
本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义．
19．【解析】【分析】设向量的夹角为在不等式两边平方利用数量积的运算律和定义求出的取值范围于此可求出的取值范围【详解】设向量的夹角为两边平方得都是单位向量则有得因此向量的夹角的取值范围是故答案为【点睛】本
解析：0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设向量a 、b 的夹角为θ，在不等式2a b b a +≥-两边平方，利用数量积的运算律和定义求出cos θ的取值范围，于此可求出θ的取值范围． 【详解】
设向量a 、b 的夹角为θ，
2a b b a +≥-，两边平方得2222244a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+， a 、b 都是单位向量，则有22cos 54cos θθ+≥-，得1cos 2
θ≥
， 0θπ≤≤，03
π
θ∴≤≤
，因此，向量a 、b 的夹角的取值范围是0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 故答案为0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求
解能力，属于中等题．
20．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的
解析：3,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数()f x 在2,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域。

【详解】
()()22sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++
设sin t x =
2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 1,12t ⎡⎤
∴∈-⎢⎥⎣⎦
故()f x 在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域等价于2
2
13124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域 3,34y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数在区间上的值域，属于中档题。

21．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+2
解析：(
1,22
] 【解析】 【分析】
根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对AP =λAB +μAD 两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λ+μ的最大值． 【详解】
解：依题意知，λ＞0，μ＞0；
根据条件，1AP =2＝λ2AB 2+2λμAB •AD +μ2AD 2＝4λ2+4μ2．令λ1
2
cos θ=
，μ＝12sin θ,θ0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．
∴λ+μ＝12cos θ12+sin θ＝2
sin （θ4π+）；
θ3,444π
ππ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭, sin （θ4π+）∈]
∴λμ+的取值范围为(
12 故答案为（122
，]． 【点睛】
本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．
22．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒
【解析】 【分析】
先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】
因为1a =，且()
2a a b ⋅-=，所以2
-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112π
cos ,,1223
a b a b a b a b
⋅-==
=-∴=⨯⋅. 【点睛】
求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a b
θ⋅=
⋅；二是坐标公式
cos θ=
；三是几何方法，从图形判断角的大小.
23．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值
【解析】
sin cos )
4
MN a a a π
=-=
-≤MN .
方法点睛：本题考查数形结合思想的应用，(),sin M a a ，(),cos N a a ，根据两点间距离
公式sin cos MN a a =
=-，再根据辅助角公式转化为
sin cos )4a a a π
-=-，当()42
k k Z ππ
απ-=+∈时，MN 取得最大值.
24．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
【解析】
P x y （，）是椭圆22
143
x y +=＝1上的一个动点，
设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），
25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c 解析：2√2
【解析】 【分析】
由题意将原问题转化为三角函数的问题，然后结合辅助角公式即可确定x −y 的最大值. 【详解】
由题意可知(x,y )表示坐标原点为圆心，2为半径的圆上的点，
设点的坐标为(2cosθ,2sinθ)，则x −y =2cosθ−2sinθ=−2√2sin (θ−π
4)， 当sin (θ−π
4)=−1时，x −y 取得最大值2√2. 【点睛】
本题主要考查三角函数最值的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题 26．
（1）值域是[]1,3-，单调递增区间为52+266k k ππππ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣⎦
，；（2）2425-.
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间． （2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论． 【详解】
（1）依题意()sin 1f x x x =+ 2sin 13x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
.
因为22sin 23x π⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭，则12sin 133x π⎛
⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭
. 即函数()f x 的值域是[]1,3-. 令3
222
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤+，Z k ∈，解得52+266
k x k ππ
ππ-
+≤≤，Z k ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤
-+⎢
⎥⎣⎦
，，Z k ∈. （2）由()132sin 135f παα⎛
⎫
=++= ⎪⎝
⎭，得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭. 因为
26
3π
πα<<，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭.
所以2sin 2sin23
3π
παα⎛
⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛
⎫++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
432425525-⨯⨯=-. 【点睛】
三角函数求值的类型如下：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
27．
（Ⅰ）证明见解析；（II ）k >2或k <0 【解析】 【分析】 【详解】
（I ）因为向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ,的模均为1，
它们相互之间的夹角均为1200 ∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ −b ⃗ ⋅c ⃗ =0， (a ⃗ −b
⃗ )⊥c ⃗ . (II) 不等式|ka ⃗ +b ⃗ +c |>1⇔|ka ⃗ +b ⃗ +c |2
>1
⇔k 2a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2+2ka ⃗ ⋅b
⃗ +2ka ⃗ ⋅c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ >1 ∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|c |=1,且a ⃗ ,b ⃗ ,c ,的夹角均为120°,
∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=c 2
=1,a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c =a ⃗ ⋅c =−12
,∴k 2−2k >0,∴k >2或k <0.
28．
（1），
（2）
【解析】 【分析】 【详解】
（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，
即； 由
得
，解得， 从而所求的切线方程为，
．
（2）
∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|． 又
∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆． 且椭圆长轴长为焦距2c=2．
∴点N 的轨迹是方程为
29．
（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪
⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；
（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】
解：（1）因为()1,2a =，且//c a ， 则(,2)c a λλλ==，
又25c =，所以22
(2)20λλ+=，即2λ=±，
故2,4c
或()2,4--；
（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++， 由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53
λ>-
， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，
故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题. 30．
（1）124,32z i z i =-=-+；（2）4,2a b ==
【解析】
【分析】
（1）向量()()1,1,3,3AB a CD b =--=--对应的复数分别为()11i z a =--， ()233i z b =-+-，利用()()1244i 1i z z a b +=-+-=+，即可得出,a b ；（2） 12122,z z z z +=-为实数，可得
()()22442,20a b b -+-=-=，即可得出结论.
【详解】
(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),
∴z 1=(a-1)-i,z 2=-3+(b-3)i, ∴z 1+z 2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1,
解得a=b=5,
∴z 1=4-i,z 2=-3+2i.
(2)∵|z 1+z 2|=2,z 1-z 2为实数,z 1+z 2=(a-4)+(b-4)i,z 1-z 2=(a+2)+(2-b)i,
∴
=2,2-b=0,∴a=4,b=2. 【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，复数的模以及复数与向量的综合应用，属于中档题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离.。