专题48 直线与抛物线的位置关系-备考2019年高考数学解答题专练系列含答案

专题48 直线与抛物线的位置关系
一、解答题
1．已知抛物线的焦点为，是上关于焦点对称的两点，在点、点
处的切线相交于点.
（1）求的方程；
（2）直线交于、两点，且的面积为16，求的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】
（1）依题意，由抛物线的对称性可知：，，
由x2=2py得：，∴，
故C在点M、点N处的切线的斜率分别为1和﹣1
则C在M处的切线方程为，即,
代入，得，故p=1
所以抛物线的方程为x2=2y.
（2）直线l的斜率显然存在，设直线l：y=kx+b，、
由得：x2﹣2kx﹣2b=0∴x1+x2=2k，x1x2=﹣2b
由，∴b=4
∴直线方程为：y=kx+4，所以直线恒过定点R（0，4）
∴，
∴|x1﹣x2|=8，即，
∴4k2+32=64，即k2=8，∴
所以直线方程为：
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化
思想以及计算能力．
2．已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程以及的值；
（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值.
【答案】（1）y2=4x，2（2）
【解析】
【详解】
解：（1）抛物线的焦点，
，则，抛物线方程为；
点在抛物线上
．
（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．
所以，①且，
又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.
3．已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点.
(1)求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点，的重心恰好为抛物线的焦点.求的面积.
【答案】(1) 点坐标为，（2）
【解析】
【分析】
设点的坐标，运用点到直线距离求出最小值时的结果
设结合已知焦点是的重心计算出直线，求出点到直线的距离为高，从而计算出面积
【详解】
(1)设点的坐标为，则，所以，点到直线的距离：
，得当且仅当时取最小值，此时
点坐标为.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，在计算过程中需要运用点到直线的距离公式计算点线距的最小值及三角形面积时的高，本题较为综合
4．双曲线的左、右焦点分别是，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.
(1)求双曲线及抛物线的标准方程；
(2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于两点，交双曲线于点，若点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】（1），（2）
【解析】分析：(1)先根据M坐标求p,得焦点坐标，再将M坐标代入双曲线方程，联立方程组解得a,b，(2)先求渐近线方程，设直线方程，分别与抛物线方程、双曲线方程联立方程组，
利用韦达定理以及中点坐标公式列方程，解得直线的方程.
详解：
(2)渐近线
设直线，
别消去得
将代入得
，解得或，经验证，不合题意，故舍去.
所以
点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.
5．设抛物线，直线交抛物线于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）互相垂直的直线分别切抛物线于两点，试求两切线交点的轨迹方程.
【答案】(1)；(2).
详解：（1)联立消去得，
∵，∴，
∴抛物线的方程为.
（2）设切点，不妨设.
当时，，，
.
∵在抛物线上，.∴，
∴，即.
当时，，，
.
点睛：求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
6．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）斜率存在的直线与抛物线相交于相异两点，.若的垂直平分线交轴于点，且，求直线方程．
【答案】(1);(2)或.
【解析】分析：（Ⅰ）由抛物线定义可求得，
（Ⅱ）设中点坐标，直线的斜率存在，所以，直线方程为：
与抛物线组方程组，求得的垂直平分线方程为：，所以
，由向量数量积的坐标运算和韦达定理，可求得直线方程。

详解： (Ⅰ)由抛物线定义知，所以，
所以，抛物线方程为.
因为，所以
，③，
把②代入③得
，，
，
所以，直线方程为或.
点睛：本题考查的是抛物线的定义，直线与抛物线相交及韦达定理，涉及函数、方程、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，难度中等。