人教版八年级数学上册金榜名师推荐课时提升作业13.3.2等边三角形(含答案解析)

课时提升作业(十八)
等边三角形
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共8分)
1.若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边,则这个三角形是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.已知一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边,则角平分线分成的两个三角形全等(ASA),则这两个角所在的边均相等,即三边相等,所以这是一个等边三角形.
【易错提醒】等边三角形是特殊的等腰三角形,本题判定是等边三角形时,注意不要考虑等边三角形是特殊的等腰三角形而选择等腰三角形.
2.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40n mile 到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地,则A,C两地相距( )
A.30n mile
B.40n mile
C.50n mile
D.60n mile
【解析】选B.连接AC.由题意得∠ABC=60°,AB=BC.∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=40n mile.
二、填空题(每小题4分,共12分)
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D在BC上,且AD⊥AC.若AD=1,则BC的长为.
【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠B=30°,∴∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°- 30°=120°,∵AD⊥AC,∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°,CD=2AD,∴∠B=∠BAD,∴BD=AD,∵AD=1,∴CD=2×1=2,BD=1,∴
BC=BD+CD=1+2=3.
答案:3
4.(2013·黔西南州中考)如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E 在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= .
【解析】∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,
∵CG=CD,∴∠CDG=30°,
∵DE=DF,∴∠E=15°.
答案:15°
5.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠A=30°,那么S△ABC= .
【解题指南】过B作BD⊥AC于D,根据含30度角的直角三角形性质求出BD,根据三角形面积公式求出即可.
【解析】过B作BD⊥AC于D,
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=90°,∵∠A=30°,
∴BD=AB=×4=2,
∴S△ABC=AC×BD=×4×2=4.
答案:4
三、解答题(共30分)
6.(8分)如图,已知△ABC是等边三角形,过点B作BD⊥BC,过A作AD ⊥BD,垂足为D,若△ABC的周长为12,求AD的长.
【解析】∵BD⊥BC,在等边三角形ABC中,∠ABC=60°,∴∠ABD=90°-60°=30°.
又∵AD⊥BD,即△ABD是直角三角形,
∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半.
∵等边三角形ABC的周长为12,
∴边长AB=4.∴AD=AB=2.
【方法归纳】等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形中的边和角的关系往往成为解决问题的重要条件,所以解题时要注意挖掘等边三角形中所隐含的条件;含30°角的直角三角形的性质为求线段长度及证明线段倍分关系提供了重要的方法.
7.(8分)如图,点C在线段AB上,△DAC和△DBE都是等边三角形.求证:△DAB≌△DCE.
【解题指南】由△DAC和△DBE都是等边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,两个角为60度,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS即可得证.
【证明】∵△DAC和△DBE都是等边三角形,∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°,∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,即∠ADB=∠CDE,在△DAB 和△DCE中,
∴△DAB≌△DCE(SAS).
【互动探究】如何求证DA∥EC?
【证明】∵△DAC和△DBE都是等边三角形,∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°,∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,即∠ADB=∠CDE,在△DAB 和△DCE中,
∴△DAB≌△DCE(SAS).
∴∠A=∠DCE=60°,
∵∠ADC=60°,
∴∠DCE=∠ADC,
∴DA∥EC.
【培优训练】
8.(14分)数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论.
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目.
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”“<”或“=”).
理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成以下解答过程).
【解题指南】(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°,求出∠DEB=30°,求出BD=BE即可.
(2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证明△DEB≌△ECF,求出BD=EF即可.
【解析】(1)=.
(2)∵等边三角形ABC,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠
BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中,
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴BD=EF=AE,即AE=BD.
答案:=。