2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考(一)答案

2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）
数学参考答案
一、选择题:每小题5分，满分45分
二、填空题:每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）10.5
511.-27012.
()4
122=+-y x 13.7
92；
14.
2
515.8
3
84-=-<<-a a 或三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（1）解:因为,所以,
…………2分
所以,
因为,所以,所以
,
…………4分又
,所以
;
…………5分
（2）在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π
3
，有22227b a c accosB =+-=，故．…………8分
由正弦定理
，可得sinA =
a<c ，故cosA =…………10分
因此22sin A sinAcosA ==
，2
12217cos A cos A =-=．
…………12分
所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=
1127-=…………14分17.（本小题满分15分）
（1）方法一分别取,AB CD 的中点,G H ，连接,,EG GH FH ，……………1分
由题意可知：点E ､F 分别为线段PB ､CQ 的中点.
所以//,//EG PA FH QD ，因为PA DQ ∥，所以//EG FH ，所以点,,,E G H F 四点共面，因为,G H 分别为,AB CD 的中点，所以//GH AD ，AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，
……………3分
题号123456789答案C A C D B A B D D
又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，
FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面
ADQP ，……………4分
又因为FH GH H = ，,FH GH ⊂平面EGHF ，所以平面//EGHF 平面ADQP ，
因为EF ⊂
平面EGHF
，所以//EF 平面ADQP .
……………5分
方法二因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以,,AP AB AD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，……………1分则(0,0,3)P ，，(0,3,1)Q ，，,
……………3分
（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）所以
，
，
，
易知平面PADQ 的一个法向量)0,0,1(=a ，所以，所以，
……………4分又因为
平面ADQP ,所以//EF 平面ADQP .
……………5分
（2）设平面PCQ 的法向量(,,)m x y z =
，
则·0·0PC m CQ m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即，令1x =，则，
所以平面PCQ 的一个法向量为)3,2,1(=m ，
……………6分
易知平面CQD 的一个法向量(0,1,0)n =
，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，
则
，
所以平面PCQ 与平面CQD
夹角余弦值为……………8分
（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）(3)假设存在点M ，，[]0,1λ∈，
设(),,M x y z ，所以
，
(9)
分
所以
所以……………10分
由（2）得平面PCQ 的一个法向量为)3,2,1(=m ，∴，
……………12分得.即
，
……………13分∴或，……………14分∴
或
.……………15分
18.（本小题满分15分）
（1）由直角三角形面积关系得22241c b b bc +⨯⨯=
，即a b bc ⨯⨯=24
1
解得
2
1=a c ...........................3分
（2）由（1）得c b c a 3,2==，易得)3,0(),3,0(c B c A -，直线l 的方程为
c kx y 3-=,因为直线l 不过右顶点)0,2(c ，所以2
3
≠
k ，..................4分
⎪⎩⎪⎨⎧-==+c
kx y c y c x 313422
22，得038)43(2
2=-+kcx x k ，2
4338k kc x N
+=∴..................6分
从而)
0,3(433334,4338(222k
c P k c c k k kc N ，+-+..................8分
直线AN 的斜率为k kc
c k kc c k c
c k 433836433834333342
22-
=-=+-+-................9分
故直线AN 的方程为c x k
y 343
+-=..................10分令c x 2=，得)323,2(c k
c
c Q +-
，.................11分
直线PQ 的斜率2332432332323=
-+-=-
+-
=c
kc kc c k c c c
k c
k PQ
.................12分
),3,0(c A 左顶点D ()0,2c -，23=
AD k ，即142
22=+=b a AD ，2
1=a c 解得2
,6,82
2
2
===c b a .................14分
∴椭圆的标准方程为16
822=+y x .................15分
19.（本小题满分15分）【详解】（1）因
21=-+n n a a ，∴
数列{}n a 是公差为d=2等差数列，且8
64S =，∴187
82642
a ⨯+
⨯=，解得1=1a ，∴12(1)21n a n n =+-=-；....................2分
设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），
因为13b =，3218b b -=，∴23318q q -=，即260q q --=，
解得2q =-（舍去）或3q =，∴1333
n n n b -=⨯=..................4分n
n 31)1)(2n (2n 2
)2(2b a a 1a c ）得1）由（2（n 1n n 2n n ⋅+--+=
-=++.................5分
()()()()122111
212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦
，....................6分
0112231111111111
[()()()()]
2133333535373(21)3(21)3n n
n n -
=-+-+-+⋅⋅⋅+-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3n
n =-+⋅，.........................8分
（3）⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧⋅-+=+为奇数
为偶数n a n n n ,)1(,b 1a d 21n 2
n
2n )d d d d ()d d d d (S 1-2n 5312n 6422n +++++++++=∴ ................................9分])1(a a [b 1a b 1
a b 1a b 1a [1-2n 531332211a a n n
n ⋅-++-+-+++++++++= )]3-n 4()1(13951[]3
n 2363432[
321⋅-++-+-+++++=n n .......................10分n n Q P +=)2(3n 232-n 2363432 P 31)1(3n
2 363432P 1432321++++++=∴++++=
n n n n n 1111
432133n 213n 2311 3n 2311)
311(32 3n 23232323232 P 32:)2()1(+++++-=--=---=-+++++=-n n n n n n n n n
n n 323n 223)33n 21(23P 1⋅+-
=+-=∴+...................12分
n
n n n k k k k k k k k
k n n k n n k n n k n a n n a n 323n 22333n 231n 2(3735(3533[(21)d d d d (P 12),3-k 4()1(k 2),3
3
k 231k 2(2112),3-k 4()1(k 2,3k 21
2,)1(k 2,b 1a ,)1(,b 1
a d 121102n 64211221n 2n 2n ⋅+-
=+-+++-+-=++++=∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=⋅-=+-+=⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-==⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-+=---+ 为奇数
为偶数方法二
①]
)1(13951[Q 1-2n a n n
n ⋅-++-+-= 为偶数时，当，n n
n n 22
*
4444)]34()74([)139(5)1(==+++=-+--+++-++-= ....13分②12)34(2
1
*
4)34(444n +-=---=--+++=n n n n Q n 为奇数时，当...14分⎩⎨
⎧+-=∴为偶数
，为奇数
，n n n n 212Q n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-+-=+=∴++为偶数，为奇数，n n n n n n n n 233n 21(2
3123
3n 21(23Q P S 112n .................................15分
20.（本小题满分16分）
解：(Ⅰ)2sin 2)(--=x e x f x
，求导x e x f x
cos 2)('-=，切线的斜率112)0('=-==f k ,又0)0(=f ，所以切点为)0,0(，所以，切线方程为x
y =……………4分
(Ⅱ)(ⅰ)求导x ae x f x cos )('-=，①当1≥a 时，当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πx 时，1>x ae ，()1,0cos ∈x ，∴0)('>x f ，则)(x f y =在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；……………6分
②当10<<a 时，求二阶导0sin )(''>+=x ae x f x ，所以)('x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,
0π上递增，又01)0('<-=a f ，02'2>=⎪⎭
⎫
⎝⎛π
πae f ，所以)('x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上有唯一零点1x ，
………………8分
当()1,0x x ∈时，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；
当⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈2,
1πx x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，所以函数)(x f y =在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛2,
0π内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是)10(，
………………9分
(ⅱ)由(ⅰ)知10<<a ，当⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，0cos )('>-=x ae x f x ，…………10分
当()1,0x x ∈时，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；当()π,1x x ∈时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；所以()1,0x x ∈时，0)0()(=<f x f ，则0)(1<x f ，
又因为()
01)(>-=-=πππe a a ae f ，所以)(x f 在()π,1x 上有唯一零点0x ，即)(x f 在()π,0上有唯一零点0x …………………12分
因为a x ae
x f x --=1212sin )2(1
，
由(ⅰ)知0)('1=x f ，所以1cos 1x ae x
=，
则1
11
1111121cos cos sin 2cos 2sin )2(x x x e x x x x e a x ae
x f -
-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-
-=2,0),1sin 2(cos 11111πx e x e x x x ，………………13分
设x x e x e x h ---=sin 2)(，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx ，则x x e x e x h -+-=cos 2)('，
∵2>+-x x e e ，2cos 2<x ，所以0
cos 2)('>-+=-x e e x h x x
)(x h 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π为单调递增，又0)0(=h ，所以0)(>x h ，
又⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,
0πx 时，0cos 1>x ，所以01sin 2(cos )2(1
1
111>--=x x e x e x x f .所以0)()2(01=>x f x f .
由前面讨论知ππ<<<<0111,2x x x x ，)(x f 在()π,1x 单调递增，所以102x x <.
……………16分。