第二讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式课件-2025届高三数学一轮复习

正弦 sin α
－sin α
－α －sin αFra bibliotekπ－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
函数名不变，符号看象限
函数名改变， 符号看象限
【常用结论】
)
1 A.3
22 B. 3
C.－13
D.－2 3 2
解析：由 sinα－1π2＝31，得 cosα＋1172π＝cosα＋32π－1π2＝ sinα－1π2＝13.故选 A.
答案：A
考点三 同角三角函数基本关系式和诱导 公式的综合应用
[例 3](1)已知角 θ 的终边在第三象限，tan 2θ＝－2 2，则 sin2θ ＋sin(3π－θ)cos (2π＋θ)－ 2cos2θ 等于( )
1.已知 sin x＋cos x＝ 32－1，x∈(0，π)，则 tan x＝(
)
A.－
3 3
3 B. 3
C. 3
D.－ 3
解析：因为 sin x＋cos x＝ 32－1，且 x∈(0，π)，所以 1＋ 2sin x cos x＝1－ 23，所以 2sin x cos x＝－ 23<0，所以 x 为钝角， 所以 sin x－cos x＝ (sin x－cos x)2＝1＋2 3，结合已知解得 sin x＝ 23，cos x＝－21，则 tan x＝csoins xx＝－ 3.故选 D.
A.－
2 6
2 B. 6
C.－23
2 D.3
解析：由 tan 2θ＝－2 2可得 tan 2θ＝1－2tatnanθ2θ＝－2 2， 即 2tan2θ－tanθ－ 2＝0，
解得 tan θ＝ 2或 tan θ＝－ 22. 又角 θ 的终边在第三象限，故 tan θ＝ 2，
故 sin2θ＋sin(3π－θ)cos (2π＋θ)－ 2cos2θ＝
【题后反思】
(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现正弦、余弦的互化，开方时要 根据角 α 所在象限确定符号；利用csoinsαα＝tan α 可以实现角 α 的弦 切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α， sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1± 2sin αcos α，可以知一求二.
所以 f(α)＝－cos α＝15.
考向 2 “整体代换”的应用
[例 2]已知 cos 6π－θ＝a，则 cos 56π＋θ＋sin 23π－θ的值
是________.
解析：因为 cos 56π＋θ＝cos π－π6－θ＝－cos π6－θ＝ －a，sin 23π－θ＝sin π2＋π6－θ＝cos π6－θ＝a，
解析：原式＝sicnoαs(－α(－sincoαs)(α－)tasinn2αα) ＝－cossi2nα3·αcsoins22αα＝－si1nα.
答案：－sin1 α
(2)(2023 年抚州市校级期中)已知函数
sin f(α)＝
(αc－os π()－coπs－(2απ)－sinα)(s－inπ－－απ2) －α.
3.正弦与余弦的相互转化
sin α＝cos α－π2； cos α＝sin α＋π2.
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于( )
A.－153
5 B.13
C.－152
12 D. 5
答案：C
2.(2023
年珠海市校级期中)已知
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，故 sin x－cos x＝－75.
sin
12－x＋ta2nsxin2x＝2sin
x(cos x＋sin
1－csoins
x x
x)＝2sin
x
cos cos
x(cos x＋sin x－sin x
x)＝
－22457×15＝－12745.
5
【变式训练】
1.(2023 年黄浦区期末)若 tan α＝41，则sin
∴P 坐标为(3，4)，
∵角α的始边与 x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终 边过点 P，
∴sin α＝
4 32＋42
＝45，cos α＝
3 32＋42
＝53，则原式＝4545＋－6535
＝10. 答案：10
π4＋α 与π4－α 等，常见的互补关系有π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等.
【考法全练】 1.(考向 1)(2023 年银川市校级月考)已知角α的终边经过点
(－1，2)，则 sin (2α－3π)＋tan2π－α＝(
)
3 A.5
B.－35
C.－130
3 D.10
解析：因为角 α 的终边经过点(－1，2)，
所以 cos 56π＋θ＋sin 23π－θ＝0.
答案：0
【题后反思】应用诱导公式的一般思路 (1)化大角为小角，化负角为正角； (2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍. (3)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系，巧 用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；
＝( )
A.－2
2 B.
2 3＋3 C. 5
D.53
2sin θ－π6·sin θ＋π4
3＋1 5
解析：因为 tan (－2 023π＋θ)＝－2，所以 tan θ＝－2.
则 2 2sin θ－π6sin θ＋π4＝( 3sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)＝ 3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos θ＝
①化简 f(α)；
②若 sin 32π－α＝15，求 f(α)的值.
解：①函数
sin f(α)＝
(α－π)cos (2π－α)sin －π2－α cos (－π－α)sin (－π－α)
＝(－si(n－αc)coossαα)··s(i－n cαos α)＝－cos α.
②因为 sin 32π－α＝51，即 cos α＝－15，
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
解析：因为 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝14699， sin θcos θ＝－16609. 由根与系数的关系，知 sin θ，cos θ 是方程 x2－173x－16609＝0 的两根，
所以 x1＝1123，x2＝－153. 因为 θ∈(0，π)，sin θcos θ<0，所以 sin θ>0，cos θ<0， 所以 sin θ＝1123，cos θ＝－153， 所以 tan θ＝csoins θθ＝－152. 答案：－152
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ＋( 13－1)tanθ＝4
3－1－2( 4＋1
3－1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
sin2θ＋sinθcos θ－ 2cos2θ＝
sin2θ＋sinθcos θ－ sin2θ＋cos2θ
2cos2θ＝
tan2θ＋tanθ－ tan2θ＋1
2＝(
2)2＋ 2－ ( 2)2＋1
2＝23.
答案：D
(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－15.求sin 12－x＋ta2nsxin2x的 值.
π2＋α＋2cos (π＋α) sin (π－α)
＝__________.
解析：因为 tan α＝41，
sin 则
π2＋α＋2cos sin (π－α)
(π＋α)＝cos
α－2cos sin α
α＝ta1n－α2 ＝－11
4
＝－4.
答案：－4
2.已知 tan (－2 023π＋θ)＝－2，则 2
(1)求 m 的值； (2)求 tan θ的值.
解：(1)由题意得 sin θ＋cos θ＝173，sin θcos θ＝1m3， 因为 1＝sin2θ＋cos2θ＝(sinθ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝14699－21m3 ， 所以 m＝－6103.
(2)由(1)得 sin θ＋cos θ＝173，sin θcos θ＝1m3＝－16609＜0， 因为 θ∈(0，π)，所以 sin θ＞0，cos θ＜0. 所以 sin θ＝1123，cos θ＝－153. 所以 tan θ＝csoins θθ＝－152.
解：由已知，得 sin x＋cos x＝15， 两边平方得 sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝215， 整理得 2sinx cos x＝－2245. ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝4295，
由－π<x<0 知，sin x<0，又 sin x cos x＝－1225<0，
答案：D
2.已知函数 f(x)＝loga(x－2)＋4(a＞0 且 a≠1)，其图象过定点 P，角α的始边与 x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边 过点 P，则ssiinnαα＋－2ccoossαα＝________.
解析：∵函数 f(x)＝loga(x－2)＋4(a＞0 且 a≠1)，其图象过定 点 P，
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第二讲 同角三角函数的基本 关系与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：csoinsαα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
1.同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍 和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.例如，在公式 cos α＋π2＝ －sin α 中，不妨设 α 为第一象限角，α＋π2为第二象限角，cos α＋π2 为负值，因此需要在 sin α 前添加负号.诱导公式适用于任意角.
【反思感悟】对于 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 这三 个式子，知一可求二，若令 sin α＋cos α＝t(t∈[－ 2， 2])，则 sin αcos α＝t2－2 1，sin α－cos α＝± 2－t2(注意根据 α 的范围选取 正、负号).
【高分训练】
tan
α＝－3，则22ssiinn
α－cos α＋cos
αα的
值为( )
5 A.7
B.－57
7 C.5
D.－75
解析：因为
tan
α＝－3，所以22ssiinn
α－cos α＋cos
αα＝22ttaann
αα－ ＋11＝
22× ×((－ －33))－ ＋11＝57.故选 C.
答案：C
3.(2023 年秦皇岛市校级期中)已知关于 x 的方程 13x2－7x＋ m＝0 的两根为 sin θ，cos θ，θ∈(0，π).