山东省淄博市桓台世纪中学2022年高三数学理期末试题含解析

山东省淄博市桓台世纪中学2022年高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则++=（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】根据向量的三角形法则即可求出答案．
【解答】解：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，
所以++=（+）+（+）+（+）
=（+）+（+）+（+）=，
故选：D
2. 定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）=x?e x，且，则的最大值为（）
A．1 B．﹣C．﹣1 D．0
参考答案：
A
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．
【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据基本不等式即可求出最大值．
【解答】解：令F（x）=，则F′（x）==x，
则F（x）=x2+c，
∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，
∴c=，
∴f（x）=e x（x2+），
∴=，
x＞0， ==≤1，
∴的最大值为1，
故选：A．
【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用基本不等式求函数的值域，属于中档题．
3. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，则的值为（）
Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ.
参考答案：
A
4. .若x，y满足约束条件则的最大值为( )
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
参考答案：
A
【分析】
画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线并结合的几何意义得到最优解，进而可得所求最大值．
【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
由得，
所以表示直线在轴上截距的相反数．
平移直线，结合图形可得当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值．
由解得，
所以，
所以．
故选A．
【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．
5. 若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
C
【考点】二项式定理．
【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．
【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1=，
令12﹣3r=0，则r=4．即有m==3．
则=（x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=．
故选：C．
6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
A．B．C．
D．
参考答案：
C
以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为
，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
7. 设都是实数，则“”是“依次成等差数列”的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：
C
8. 如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】平面向量数量积的运算；向量加减法的应用．
【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，可得， =∠ABF=30°，然后根据向量的数量积，即可得到答案
【解答】解：由正六边形的性质可得， =∠ABF=30°
∴==||?||cos30°==
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量的加法及向量的数量积的定义的应用，其中根据正六边形的性质得到得， =∠ABF=30°，是解题的关键．
9. 为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简的结果是（）A．B．C．D．
参考答案：
C
略
10. 已知直线：，直线：，若，则（）A．B．C．D．
参考答案：
D
因为，所以，所以，所以
.故选D.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是正实数，设，若对每个实数a ，
∩的元素不超过２个，且存在实数a使∩含有２个元素，则的取
值范围是．
参考答案：
略
12. 若数列中，，其前n
项的和是，则在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为。

参考答案：
-9
13. 函数的递增区间为 .
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.
【试题分析】因为的递增区间为，所以
又因为，所以，故答案为.
14. 已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为
．
参考答案：
略
15. 设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．
参考答案：
4
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，1），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，
由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c= ．
参考答案：
2
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】直接利用余弦定理，代入化简，即可求出c．
【解答】解：由acosB+bcosA=2得a?+b?=2，
所以c=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
17. 设则
参考答案：
110
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的《中国诗词大会》，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的
擂主，在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为，乙答对的概率
为，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为，各题答题情况互不影响．
（Ⅰ）求抢答一道题目，甲得1分的概率；
（Ⅱ）现在前5题已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
参考答案：
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．
（II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=，P（ξ=1）
=××，P（ξ=2）=×，P（ξ=3）=1﹣P（ξ=0）﹣P
（ξ=1）﹣P（ξ=2）．
【解答】解：（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后
答对或乙抢到答题权后答错．∴P（A）=+=．
（II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）=××=，P（ξ=2）
=×=，P（ξ=3）=1﹣﹣﹣=．
∴ξ的分布列：
Eξ=0×+1×+2×+3×=．
19. (14分)设函数，
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）若关于的方程在区间[3，5]内恰有两个相异的实根，求实
数的取值范围。

参考答案：
解析：（1）对求导得，的定义域为，
所以的单调增区间为，的单调减区间为………………6分（2）由方程化简得到，令
则，所以满足在单调增，在单调减，…8分
，
，
所以的取值范围为
……………14分
20. 如图：四棱锥中，,,．∥，
．．
（Ⅰ）证明: 平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于
，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由．
参考答案：
（Ⅰ）证明：取线段中点，连结．
因为，
所以
……1分
因为∥，所以
，……2分
又因为，所以，而
所以
．
……4分
因为，所以即
因为，且
所以平面……6分
（Ⅱ）解：以为坐标原点，以
所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：ks5u
则四点坐标分别为：
；；；
……8分
设；平面的法向量．
因为点在线段上，所以假设，所以
即，所以
．Ks5u…9分又因为平面的法向量．所以，所以
所以
……10分
因为直线与平面成角正弦值等于，所以．
所以即．所以点是线段的中点．……12分
略
21. （本小题12分）某绿化队甲组有6名工人，其中有2名女工人；乙组有3名工人，其中有1名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；
参考答案：
（I）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人.
（II）从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率
22. （本题满分14分）
设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且
成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求.ks5u
参考答案：
解：（Ⅰ）∵，，，-------------------------------2分
由成等差数列得，，即，
解得，故
；---------------------------------------4分
（Ⅱ）， ---------------------------------------6分
法1：，①
①得，，②
①②得，
， ---------------------------------------10分
∴．--ks5u--------------------------14分
略。