2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：专题十八 简单的复合函数的导数 Word版含解析

专题十八简单的复合函数的导数
挖命题
【真题典例】
【考情探究】
考点内容解读
5年考情
预测热度考题示例考向关联考点
简单的复合函数的导数1.求简单复合函数
的导数
2.简单复合函数导
数的应用
★☆☆
分析解读简单的复合函数的导数在近5年的江苏高考试卷中没有考查,在2008年~2018年这11年高考中偶尔与其他知识结合进行考查,但不是考查的重点.
破考点
【考点集训】
考点 简单的复合函数的导数
1.求下列函数的导数:
(1)y=22x+1+ln(3x+5);
(2)y=(x 2+2x-1)e 2-x .
解析 (1)y'=(2
2x+1)'+(ln(3x+5))'=[(22x+1)ln 2](2x+1)'+(3x+5)'3x+5=22x+2ln 2+33x+5. (2)y'=(x 2+2x-1)'e 2-x +(x 2+2x-1)(e 2-x )'=(2x+2)e 2-x +(x 2+2x-1)·(-e 2-x )=(3-x 2)e 2-x .
2.(2018江苏南京一中调研)已知函数f(x)=e x -ln(x+m).
(1)若x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m ≤2时,证明: f(x)>0.
解析 (1)f '(x) =e x -1x+m
. 由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.
于是f(x)=e x -ln(x+1),定义域为(-1,+∞), f '(x)=e x -1x+1
. 函数f '(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)上单调递增,且f '(0)=0,因此当x ∈(-1,0)时, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时, f '(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)证明:当m ≤2,x ∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0. 当m=2时,函数f '(x)=e x -1x+2
在(-2,+∞)上单调递增. 又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x 0,且x 0∈(-1,0). 当x ∈(-2,x 0)时, f '(x)<0;当x ∈(x 0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x 0时, f(x)取得最小值. 由f '(x 0)=0得e x 0=1x 0+2,ln(x 0+2)=-x 0,故f(x)≥f(x 0)=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0. 综上,当m ≤2时, f(x)>0.
炼技法
【方法集训】
方法 运用导数求解含参复合函数问题的方法
1.已知函数f(x)=ln(ax+1)+1-x 1+x ,x ≥0,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a 的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a 的取值范围.。