【全国市级联考】山西省晋城市2016届高三下学期第二次模拟考试文数试题(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.i 是虚数单位，复数)(1R a i
i a ∈+-的实部与虚部相等，则a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】B
【解析】 试题分析：()(1)1111,,01(1)(1)2222
a i a i i a a a a i a i i i ----+-+==-∴=-∴=++-,故选B. 考点：复数的运算．
2.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学 生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（ ）
A ．2400
B ．2700
C ．3000
D ．3600
【答案】C
【解析】
考点：分层抽样．
3.已知集合},12|{R x y y A x ∈-==，)}2lg(|{-==x y x B ，则下列结论正确的是（ ）
A ．A ∈-1
B ．B ∉3
C ．B B A =
D ．B B A =
【答案】D
【解析】 试题分析：{}
1},12|{->=∈-==y y R x y y A x ，{|lg(2)}{|2},B x y x x x A B B ==-=>∴⋂=，故选D.
考点：集合的运算．
4.已知x
x x a x f 2cos )24()(+⋅=为奇函数，则a 的值为（ ） A ．2- B ．2
1-
C ．21
D ．2 【答案】A
【解析】 试题分析：因为函数为奇函数，则(0)0,f =∴00(42)cos 00,22
a a ⋅+=∴=-，故选A. 考点：函数的奇偶性．
5.等差数列}{n a 中的通项为12-=n a n ，其前n 项和为n S ，若m S 是1+m m a a ，的等差中项，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．
8 【答案】B
【解析】
考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和．
6.已知双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线在第一象限内 与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为B A ,.若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率等于（ ）
A ．3
32 B ．2 C ．2 D ．3 【答案】A
【解析】 试题分析：由题意设直线方程为2222
(),(,),(,)b bc x c c a b A c B a a a ==+∴，因为A 为BF 的中点，所以
2222222242,2,4,4(),,3b bc c b c b c c a c e a a a =∴=∴=∴-=∴=∴=．故选A.
考点：双曲线的简单几何性质．
7.如果执行右图所示的程序框图，那么输出的=a （ ）
A ．2
B ．2
1 C ．1- D ．以上都不正确
【答案】B
【解析】
考点：程序框图．
【易错点睛】识别程序框图运行和完善程序框图的步骤识别运行程序框图和完善程序框图是高考的热点．解答这一类问题，第一、要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二、要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；第三、按照题目的要求完成解答．对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
8.在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为线段C B 1的中点，若三棱锥1ADD E -的外接球的体积为 π36，则正方体的棱长为（ ）
A ．2
B ．22
C ．33
D ．4
【答案】D
【解析】
试题分析：设正方体的棱长为a ，三棱锥1ADD E -的外接球的半径为R ，则3436,33
R R ππ=∴=,在
F OD 1∆
中，222113,3,,)(3)3D O OF a D F a ==-=∴+-=，4=∴a ，故选
D.
考点：几何体的外接球．
9.已知变量y x ,满足约束条件Ω：
⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤a y x y x y 12，若Ω表示的区域面积为4，则y x z -=3的最大
值为（ ）
A ．5-
B ．3
C ．5
D ．7
【答案】D
【解析】
考点：简单的线性规划．
10.已知函数21)6sin()(+-
=πωx x f ，R x ∈，且21)(-=αf ，21)(=βf . 若||βα-的最小值 为4
3π，则函数的单调递增区间为（ ） A ．Z k k k ∈++-],2,22[ππππ
B ．Z k k k ∈++-],3,32[ππππ
C ．Z k k k ∈++],225,2[ππππ
D ．Z k k k ∈++],32
5,3[ππππ
【答案】B
【解析】
试题分析：由21)(-=αf ，21)(=βf . 若||βα-的最小值为4
3π可知322,3,443T T πππωω=∴==∴=, 212()sin(),22,3336223622
f x x k x k k x k ππππππππππ∴=-+∴-+≤-≤+∴-+≤≤+，故选B. 考点：三角函数的性质．
11.如图所示为某几何体的三视图，其体积为π48，则该几何体的表面积为（ ）
A ．π24
B ．π36
C ．π60
D ．π78
【答案】D
【解析】
考点：由三视图求体积、面积．
【易错点睛】本题主要考查了三视图求体积和表面积．面积和体积求解中注意的事项：(1)柱、锥、台体的侧面积分别是侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键．(2)求柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底面积和高．充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面问题．
12.已知函数4)(2
3--=bx x x f ，则下列说法正确的是（ ）
A ．当0>b 时，00<∃x ，使得0)(0=x f
B ．当0<b 时，0<∀x ，都有0)(<x f
C ．函数)(x f 有三个零点的充要条件是 3-<b
D ．函数)(x f 在区间),0(+∞上有最小值的充要条件是0<b
【答案】C
【解析】
考点：利用导数研究函数的单调性．
【易错点睛】本题考查了函数单调性问题，考察导数的应用，函数的零点问题，是一道中档题．函数零点个数的判断函数零点的个数即为方程0)(=x f 根的个数，可转化为函数)(x f 的图象与x 轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数．函数零点的判断也常常和导数结合在一起，利用单调性判断零点个数．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13. 已知x 与y 之间的一组数据：
根据数据可求得y 关于x 的线性回归方程为85.01.2ˆ+=x y
，则m 的值为 . 【答案】2
1
【解析】 试题分析：1111(44)1,(15.5),(15.5) 2.1(1)0.85,4442x m m y m m m m =⨯+=+=⨯+∴⨯+=⨯++∴=． 考点：回归方程．
14.已知向量)1,(x a =在)3,1(=方向上的投影为3，则=x . 【答案】3
【解析】
试题分析：2,3,a b
b x b ⋅=∴=∴=∴=． 考点：向量的数量积．
15.已知抛物线C ：x y 62
=，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，交抛物线的准线于点 B ，若3=，则点A 到原点的距离为 .
【答案】
2
13 【解析】
考点：抛物线的定义和性质．
【易错点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点
想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．本题转化为求AC ，利用三角相似即可得到．本题难度中等．
16.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=a ，4cos cos =-B c C b ，
34ππ≤≤C ， 则A tan 的最大值为 . 【答案】2
1 【解析】
623≤≤∴b ，由222221cos ,8,tan 2a c b B b c c A ac c
+-==-∴-=≤≤∴取最大值时，10,23==c b ，此时由余弦定理可得552cos =
A ,从而求得21tan =A ，即A tan 最大值为2
1． 考点：正余弦定理． 【易错点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理．解三角形问题的技巧解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列}{n a 满足121-+=+n a a n n ，且11=a .
（1）求证：}{n a n +为等比数列；
（2）求数列}{n a 的前n 项和为n S .
【答案】(１)证明见解析；(２) 22
2
21-+-=+n n S n n ． 【解析】
（2）122-⨯=+n n n a ，n a n n -⨯=-122，
2)1(21)21(2+---⨯=n n S n n ，22
221-+-=+n n S n n . 考点：等比数列的定义；数列求和．
【易错点睛】本题主要考查了等比数列的定义；数列求和．分组转化求和通法：若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．分组求和求数列的前n 和是数列求和中常见的题型，难度不大，属于简单题．
18.如图，在底面是菱形的四棱柱1111D C B A ABCD -中，
60=∠ABC ，21==AC AA ， 2211==D A B A ，点E 在D A 1上.
（1）求证：⊥1AA 平面ABCD ；
（2）当ED
E A 1为何值时，//1B A 平面EAC ，并求出此时直线B A 1与平面EAC 之间的距离.
【答案】(１)证明见解析；(２) 证明见解析；7
212．
【解析】
试题解析： （1）证明：∵底面ABCD 是菱形，
60=∠ABC ，∴2===AC AD AB ， 在B AA 1∆中，由21221B A AB AA =+知AB AA ⊥1.
同理，AD AA ⊥1.
又∵A AD AB = ，∴⊥1AA 平面ABCD . （2）解：当
11=ED
E A 时，//1B A 平面EAC . 证明如下：连结BD 交AC 于O ，当11=ED E A 时，即点E 为D A 1的中点时，连接OE ，则B A OE 1//， ∴//1B A 平面EAC .
直线B A 1与平面EAC 之间的距离等于点1A 到平面EAC 的距离.
∵点E 为D A 1的中点，可转化为D 到平面EAC 的距离，ACD E EAC D V V --=，
设AD 的中点为F ，连接EF ，则1//AA EF ，∴⊥EF 平面ACD ，且1=EF ，可求得3=∆ACD S ， ∴3
33131=⨯⨯=-ACD E V . 又2=AE ，2=AC ，2=CE ，2
7=∆AEC S ， ∴3331=⋅∆d S AEC （d 表示点D 到平面EAC 的距离），7
212=d ， ∴直线B A 1与平面EAC 之间的距离为7212.
考点：直线与平面平行的判定定理；直线与平面垂直的判定定理；等体积法求点到平面的距离．
19.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度
进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
2 列联表，并判断是否有99%的把握认为（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2
“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
（2）若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.
参考数据如下：
【答案】(１)列联表见解析；有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；(２)
10
9． 【解析】
试题解析： （1）22⨯列联表：
∴635.698.9)
310)(2710)(327)(1010()2710310(502
2>≈++++⨯-⨯⨯=K . ∴有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
（2）设[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为C B A ,,，赞成“使用微信交流”的人为b a ,，则从5人中选取2人有：ab Cb Ca Bb Ba BC Ab Aa AC AB ,,,,,,,,,共10个结果，其中两人都赞成“使用微信交流”的有1个结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为1091011=-
=P . 考点：独立性检验；古典概型．
20.已知曲线E 上的点),(y x M 到点）（0,2F 的距离与到定直线25=
x 的距离之比为552. （1）求曲线E 的轨迹方程；
（2）若点F 关于原点的对称点为'F ，则是否存在经过点F 的直线l 交曲线E 于B A 、两点，且三角形 AB F '的面积为21
40，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(１) 1522
=+y x ；(２)存在；)2(2-±=x y 或)2(59
295-±=x y ． 【解析】
试题解析： （1）依题意得，552|2
5|)2(22=-+-x y x ，化简整理可得1522
=+y x ∴曲线E 的轨迹方程为15
22
=+y x （2）依题意得)0,2('-F .
若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为2=x ，此时5
52||=AB ，'F 到直线2=x 的距离为4， 三角形AB F '的面积为5
54，不满足题意. 若直线l 的斜率存在，根据题意设直线l 的方程为：)2(-=x k y ，),(11y x A ，),(22y x B ， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=15
)2(22y x x k y ，消去y 可得：052020)15(2222=-+-+k x k x k ， 15202221+=+k k x x ，1
55202221+-=k k x x ， 则22212
21221251)1(524)(1||1||k k x x x x k x x k AB ++=-++=-+=， 设点'F 到直线l 的距离为d ，则21|
4|k k d +=，
22222'511||5451)1(521|4|21||21k k k k k k
k AB d S AB F ++=++⨯+⨯=⨯⨯=∆， 根据题意可得：2140511||5422=++k k k ，解得2±=k 或59
295±=k ，
∴存在直线)2(2-±=x y 或)2(59
295-±=x y 满足题意. 考点：椭圆的定义；直线与椭圆的位置关系．
21.已知函数x b x x a x g )1(2
1ln )(2-++=. （1）若）x g (在点))1(,1(g 处的切线方程为0328=--y x 平行，求a ，b 的值；
（2）若1+=a b ，21,x x 是函数）x g (的两个极值点，求证：04)()(21<++x g x g .
【答案】(１)1,1-==b a ；(２)证明见解析．
【解析】
试题解析：（1）解：根据题意可求得切点)25
,1(，由题意可得， )1(('b x x
a x g -++=） ∴⎪⎩⎪⎨⎧==4)1('25)1(g g ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+4
1125121b a b ，解得1,1-==b a .
（2）证明：∵1+=a b ，∴ax x x a x g -+
=221ln )(，则a x x a x g -+=）('. 根据题意可得02=+-a ax x 在),0(+∞上有两个不同的根21,x x ， 即⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>>->0040
22a a a a ，解得4>a ，且a x x =+21，a x x =21. ∴a a a a x x a x x x x a x g x g --=+-++
=+2212221212121ln )()(21)ln()()(. 令)4(2
1ln )(2>--=x x x x x x f ，则x x x x x f -=--+=ln 11ln )('， 令x x x h -=ln )(，则当4>x 时，011)('<-=x
x h ，
∴)(x h 在),4(+∞上为减函数，即044ln )4()(<-=<h x h ，0)('<x f ，
∴)(x f 在),4(+∞上为减函数，即122ln 8)4()(-=<f x f ，
∴122ln 8)()(21-<+x g x g ， 又∵e 2ln
8)12(ln 882ln 84122ln 8=-=-=+-，02ln <e ， ∴02ln 8<e
，即04122ln 8<+-， ∴04)()(21<++x g x g .
考点：利用导数研究函数的极值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，以C B 、为切点的圆O 的两条切线交于点D ，AD 交圆O 于点E .
（1）求证：四边形ABDC 为菱形；
（2）若2=DE ，求等边三角形ABC 的面积.
【答案】(１)证明见解析；(２)33．
【解析】
又∵DC BD 、分别为以C B 、为切点的圆O 的切线，
∴DC BD =，且BC DO ⊥，∴D A O 、、三点共线.
∵ 60=∠A ，∴ 60=∠BOC ，又∵O C D B 、、、四点共圆，∴
60=∠BDC ，
∴BDC ∆为等边三角形，∴可得 60=∠=∠ACB CBD ， 60=∠=∠ABC BCD ，
∴BD AC //，CD AB //，∴四边形ABDC 为平行四边形，
又∵DC BD =，∴四边形ABDC 为菱形.
（2）解：∵BD 是圆O 的切线，根据切割线定理得：AD DE BD ⋅=2
在直角三角形ABE 中， 30=∠BAE ，∴AB AE 3
32=
.
考点：与圆有关的比例线段．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程分别是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23214（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；
（2）若直线6πθ=
与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值. 【答案】(１)x y x 222=+，32)6cos(=+
πθρ；(２)33||=AB ．
【解析】 试题分析：(１)利用极坐标与普通方程转化可得曲线C 的直角坐标方程；通过消参的方式将直线l 的参数方程转化为普通方程，再转化成极坐标方程；(２)将直线极坐标方程分别代入曲线C 和直线l 的方程，可求得3||=OA ，34|OB |=．利用三点共线可求和||AB 的值.
试题解析： （1）根据题意可得θρcos 2=可化为θρρcos 22
=，
根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x y x 222=+，
∴曲线C 的直角坐标方程为x y x 222=+.
直线l 的参数方程分别是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23214（t 为参数），化为普通方程为343-=x y 即0343=--y x ，化为极坐标方程为32)6cos(=+
πθρ. （2）根据题意可得，将6πθ=
代入θρcos 2=，可求得3||=OA ， 将6π
θ=代入32)6cos(=+π
θρ，可求得34|OB |=，
根据题意可知B A O 、、三点共线，且||||||OA OB AB -=，∴33||=AB . 考点：极坐标方程与普通方程的转化；参数方程与普通方程的转化．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数|2||2|)(-++=x x x f ，R x ∈.
（1）求不等式6)(≤x f 的解集；
（2）若方程|1|)(-=x a x f 恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围.
【答案】(１)3],3[-；(２)),2()2,3
4(+∞∈U a ．
【解析】
∵6)(≤x f ，结合图象可解得33≤≤-x ，∴不等式6)(≤x f 的解集为3],3[-
（2）画函数)(x f y =与|1|-=x a y 的图象如图所示，
根据图象可求得点)4,2(-A ，)0,1(B ，。