数列的存在性问题.doc

数列的存在性问题
.数列中的一类存在性问题执教者：罗建宇（江苏省张家港市暨阳高级中学）题组一1．设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）设数列的通项公式为，问：
是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m 的值；
若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）（2），要使得成等差数列，则即：
即：
∵，∴只能取2，3，5 当时，；
当时，；
当时，．
【注】
“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决．2．（09年江苏卷17）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足．（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】
（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，
解得，,所以的通项公式为，前n项和．(2) =，若其是中的项，则，令，则=, 即：
所以为8的约数．因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；
当，即时，（舍去）．所以满足条件的正整数．
【注】
不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析．3．（南通市XXXX年江苏卷17）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足．（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】
（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和．(2) =，若其是中的项，则，令，则=, 即：
所以为8的约数．因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；
当，即时，（舍去）．所以满足条件的正整数．
【注】
不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析．3．（南
（1）通市2013届高三期末）已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．
求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1
若不存在，说明理由．
【解析】
（1）令n=1，则a1=s1==0．（2）由，即，①得．②②－①，得．③于是，．④③+④，得，即．又a1="0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．" （3）解法1：
假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．时，0，故数列{}( )为递减数列，时，2m：（1）当时，且，所以，又当时，且，，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，．（2）因为，所以，所以，，假设存在，，使得为等比数列，则，，，故，化简得，与题中矛盾，故不存在，使得为等比数列．（3）因为，所以．又，所以，所以．由（1）知，，所以．，，所以，word 资料div £1．6．（徐州市2013届高三期末）已知且令且对任意正整数，当时，当时，（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；
若不存在，说明理由；
（3）若对任意的正整数且求数列的通项公式．解：
（1）当时，£1．故存在实数a、b满足条件，a与b的取值
范围是a=，)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；
若不存在，说明理由．
【解析】
（1）令n=1，则a1=s1==0．
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