2016届中考数学复习第12讲圆试题

图3 第6题图C
第十二讲 圆
12.1圆的性质 基础盘点
1.圆是 的集合.
2．圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 图形， 是它的对称中心.
3．垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分 .
4．如果在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
5．同弧或等弧所对的圆周角 ；半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .
6.圆内接四边形的对角 .
考点呈现
考点1 圆周角与圆心角的关系
例1 （2015•眉山）如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO=45°，则∠B 的度数为（ ）
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
解析：如图2，连接OA.因为
OA=OC ，∠ACO=45°，所以∠OAC=45°，所以∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°
.所以∠B=2
1∠AOC=45°．故选D ． 评注：熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”是解答此题的关键．
考点2 圆内接四边形的性质 例2 （2015·常德）如图3，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形.已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ） A.50° B.80° C.100° D.130° 解析：因为∠BOD ＝100°，所以∠A=50°，所以∠BCD=180°-∠A=180°-50°=130°.故选D.
评注：本题用到了圆周角与圆心角的关系及圆内接四边形的对角互补的性质.
考点3 垂径定理
例3 （2015•衢州）一条排水管的截面如图4所示，已知排水管的半径OA=1m ，水面宽AB=1.2 m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD 等于 m.
解析：如图5，连接OC ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，则OE ⊥CD ，AE=BE ，CF=DF.因为OA=1，AB=1.2，所以AE=0.6，所以OE=22)6.0(1 =0.8（m ）.
图1 图2
因为下雨后，水管水面上升了0.2m ，即EF=0.2m ，所以OF=0.6m.
所以CF=22OF OC -=226.01-=0.8（m ）.所以CD=2CF=1.6（m ）.
评注：作出辅助线OE ⊥AB 构造直角三角形是解答本题的基本思路，而首先利用勾股定理求出OE 进而得到OF 是关键的一步，然后利用勾股定理求出CF.
考点4 圆的性质的综合应用
例4
（2015•威海）如图6，在△ABC 中，AB=AC ，以
AC
为直径的⊙O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．
（1）求证：BE=CE ；
（2）若BD=2，BE=3，求AC 的长．
分析：对于第（1）问，连接AE ，根据圆周角定理，由AC 为直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE ；对于第（2）问，要先连接DE ，证明△BED ∽△BAC ，然后利用相似三角形的性质可计算出AB 的长，从而得到AC 的长．
解：（1）连接AE ，如图7.因为AC 为⊙O 的直径，所以∠AEC=90°，所以AE ⊥BC. 又AB=AC ，所以BE=CE.
（2）连接DE ，CD,如图7.因为BE=CE=3，所以BC=6.因为AC 为⊙O 的直径，所以∠AD C=90°.所以∠BAC=90°-∠ACD.因为∠BED=90°-∠DEA, ∠DEA=∠ACD,所以∠BED=∠BAC.又因为∠DBE=∠CBA ，所以△BED ∽△BAC ，所以BC BD BA BE =，即6
23=BA ，所以BA=9，所以AC=BA=9． 评注：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.
误区点拨
1．对圆内接四边形的概念理解不清致错
例1 （2015·临沂）如图8，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若∠AOC=1000，则∠ABC 等
于( )
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
图4 图5
图6 图7
错解：B
剖析：此题主要考查圆内接四边形的对角的性质，解答的前提是正确理解圆内接四边形的概念.圆内接四边形的四个顶点都要在圆上，本题中的点O 不在⊙O 上，所以不能利用“对角互补”的性质.错解的原因就在于没有搞清楚概念的本质.正确的解答为：如图9，因为∠AOC=100°，所以∠D=2
1∠AOC=50°，因为圆内接四边形的对角互补，所以∠ABC=180°-50°=130°.故选D.
2．忽视分类讨论致错
例2 （2015·绍兴）在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点
P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB. 若PB=4，则PA 的长
为 .
错解：3
剖析：本题应分两种情况，如图10所示，当点P 与点A 在BC 同侧
时，四边形BCAP 1是矩形，P 1A=BC=3；当点P 与点A 在BC 异侧时，四边
形P 2EAP 1是矩形，P 1A=2283 =73.
所以PA 的长为3或73.
跟踪训练
1.（2015·泰安）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）
A ．
．
．．8
第2题图 D C
B A O
第1题图
图
8 图
9
图10
2.（2015·上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A.AD ＝BD
B.OD ＝CD
C.∠CAD ＝∠CBD
D.∠OCA ＝∠OCB
3.（2015•丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将AB 旋转n ︒得到CD ，则CD 的度数是 度.
4.（2015·绍兴）如图，已知点A （0，1），B （0，-1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于 度.
5.（2015·台州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC.
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数；
（2）求证：∠1=∠2.
12.2 与圆有关的位置关系
基础盘点
1．点和圆的位置关系有三种：点在 、点在 和点在 .
2.直线和圆的位置关系有三种：
（1）如果一条直线与一个圆 公共点，那么就说这条直线与这个圆 ；
（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线就做圆的 ，这个公共点叫做切点；
（3）如果一条直线与一个圆有 个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线就做圆的 ，这两个公共点叫做 点.
3.圆的切线 于经过切点的 ；经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线.
4.过圆外一点可以引圆的 切线，其 相等.
5.经过三角形的三个顶点可以确定一个圆，该圆的 是这个三角形的外心；和三角形各边都相切的圆是三角形的 ，其圆心叫做三角形的内心.
考点呈现
考点1 点和圆的位置关系
例1 （2015·上海改编）在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12．如果点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于_____．(只需写出一个符合要求的数)
解析：BD==+22BC AB 22125+=13，要保证点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长应大于13.这样的数有无数个，只要是大于13的数就可以.例如14就符合要求.
评注：点和圆的位置关系有三种，要保证一个点B 在⊙D 内，那么点B 到圆心D 的距离应小于⊙D 的半径.
考点2 三角形的外接圆和内切圆
例2 2015•台州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆的半径为（ ）
第3题图
第4题图
第
5题图
A.2
B.22-2
C.2-2
D.2-1
解析：如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°,⊙D 为外接圆，可知D 为AB 的中点，因此AD=2，AB=2AD=4，根据勾股定理可求得AC=22.根据内切圆性质可知，四边形EFCG 是正方形，AF=AD ，因此EF=FC=AC-AF=22-2.故选B.
评注：首先根据等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，求出等腰三角形的腰长，然后根据内切圆判定出四边形EFCG 为正方形是．
考点3 切线长定理
例3 （2015·南京）如图2，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( ) A.313 B.29 C.133
4 D.25
解析：如图2，连接OE ，OD ，ON ，OF.因为AB=4，所以⊙O 的半径为2.易证四边形AEOF 是正方形，所以AE=AF=BF=2.由切线长定理，得DN=DE=AD-AE=5-2=3，BG=BF=2.设MN=MG=x ，则CM=BC-BG-MG=3-x ，DM=DN+MN=3+x.因为DM 2=DC 2+CM 2，所以(3+x)2=42+(3-x)2，所以x=34,所以DM=3+34=3
13.故选A. 评注：本题由切线长定理得出DN=DE 及MN=MG ，并利用勾股定理建立方程是.
考点4 切线的性质
例4 （2015·舟山）如图3，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为（ ）
A. 2.3
B.2.4
C.2.5
D.2.6
图2 图
1
解析：如图3，作CD ⊥AB 于D,则CD 是⊙C 的半径.因为52=32+42，即AB 2=BC 2+AC 2，所以
△ABC 是直角三角形.所以由面积公式，得AB ·CD=AC ·BC ，即5CD=4×3，所以CD=2.4，即⊙O 的半径为2.4.故选B.
评注：由切线的性质得到CD 为半径是关键.
例5 （2015•资阳）如图4，在△ABC 中，BC 是以AB 为直径的⊙O 的切线，且⊙O 与AC 相交于点D ，E 为BC 的中点，连接DE.
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接AE ，若∠C=45°，求sin∠CAE 的值.
解析：（1）如图4，连接OD ，BD ，则OD=OB ，所以∠ODB=∠OBD．
因为AB 是直径，所以∠ADB=90°，所以∠CDB=90°．
因为E 为BC 的中点，所以DE=BE ，
所以∠EDB=∠EBD .
所以∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
因为BC 是以AB 为直径的⊙O 的切线， 所以AB⊥BC，所以∠EBO=90°.所以∠ODE=90°，
所以DE 是⊙O 的切线.
（2）如图4，作EF⊥CD 于F ，设EF=x.因为∠C=45°，
所以△CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，所以CF=EF=x ，
所以BE=CE=2x ，所以AB=BC=22x.
在Rt △ABE 中，AE=1022=+BE AB x ，所以sin∠CAE=10
10=AE FE ． 评注：本题属于圆的综合问题，主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理等知识.
误区点拨
1．对切线的性质理解不清致错
例1 （2015·梅州）如图1，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心.若∠B=20°，则∠C 的大小等于（ ）
A ．20°
B ．25° C．40° D．50°
图 1 D
图
3 图4
错解：C
剖析：本题由于不能正确理解圆的切线的性质，导致无从下手，凭直观错误的认为∠C 应该是∠B 的2倍.正确的解答过程应为：如图5，连接OA.因为AC 是⊙O 的切线，所以∠OAC=90°.因为OA=OB ，所以∠B=∠OAB=20°，所以∠AOC=40°，所以∠C=50°．正确答案应选D.
2．不能灵活运用切线的判定条件导致证明错误
例2 如图2，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．求证：CE 为⊙O 的切线．
错证：因为CE ⊥AD ，并且点C 在⊙O 上，所以CE 为⊙O 的切线．
剖析：错误的原因在于不理解切线的判定方法.根据切线的判定方法，只要证明OC ⊥EC 即可.正确的证明过程如下：
连接OD ，如图2.因为点C ，D 为半圆O 的三等分点，所以∠BOC ＝2
1∠BOD.
因为OA=OD,所以∠OAD ＝∠ODA.又∠BOD ＝∠BAD+∠ODA ，所以∠BAD ＝2
1∠BOD ，所以∠BOC ＝∠BAD ，所以AE ∥OC.
因为AD ⊥EC ，所以OC ⊥EC ，所以CE 为⊙O 的切线．
跟踪训练
1.（2015·广州）已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（ ）
A.2.5
B.
C.5
D.10
2.（2015•湖州）如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD=2， tan ∠OAB=2
1，则AB 的长是( ) A.4 B.23 C.8 D.43
图2
3.（2015·宁波）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=12，过点A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为 .
4.（2015·常德）已知如图，以Rt △ABC 的边AC 为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长，交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长.
5.（2015·呼和浩特）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 外的一点，AM 是⊙O 的直径，∠PAC=∠ABC.
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为BC ⌒的中点，且∠DCF=∠P ，求证：BD FD CD PD ED AD
==.
12.3 有关圆的计算
基础盘点
1．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ，外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 .
2.圆的半径为R ，n °的圆心角所对的弧的长为l ，则l = .
3.圆心角为n °，半径为R ，弧长为L 的扇形的面积计算公式S 扇形
= .
第5题图 D F
C B 第4题图
第3题图
第2题图
图
5
考点呈现
考点1 圆内接多边形
例1 （2015·青岛）如图1，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB 等于（ ）
A ．30°
B ．35° C．45° D ．60°
解析：如图2，过点A 作⊙O 的切线PA ，连接OA ，OB ，则OA ⊥PA.因为∠OAB=60°，所
以∠PAB=900-60°=30°.故选A.
评注：解答此题的关键是利用正六边形的半径等于其边长，从而得到△OAB 是等边三角形.
考点2 弧长的计算
例2 （2015·滨州）如图3,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.
（1）求BC 的长；（2）求弦BD 的长.
解析：（1）如图4，连接OC.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt △ABC 中，因为cos ∠BAC=
2
1105==AB AC ,所以∠BAC=60°，所以∠BOC=2∠BAC=120°.所以BC 的长为ππ3101805120=⨯⨯. （2）如图4，连接OD.因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD=∠BCD,所以AD=BD.
因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB=90°，∠BAD=∠ABD=45°，BD=25102
222=⨯=AB . 评注：（1）熟记弧长计算公式l =180
R n π是关键. 考点3 扇形的面积公式
例3 （2015·自贡）如图5，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB
＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（
）
图3 图
4
P
图2 图1
A.2π
B.π
C.3
π D.32π 解析：如图5，连接OD ，则阴影部分的面积即为扇形OBD 的面积.
因为CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，所以∠DBO ＝60°.
因为OB=OD ，所以△OBD 为等边三角形.因为CD ＝32，CD ⊥AB ，所以 60sin r
3=，所以r=2.所以扇形的面积为ππ322360602=⨯，即阴影部分的面积3
2π.故选D. 评注：本题抓住圆的相关性质切入， 把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件得知E 是弦CD 的中点,B 是CD 的中点是关键.
误区点拨
1. 不能熟记有关的计算公式从而导致错误
例1 （2015·绍兴）如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）
A.π2
B.π
C.2π
D.3π
错解：如图2，连接OA ，OC.因为∠B=135°，所以∠D=180°﹣135°=45°， 则的长=180245⨯π=2
π.故选C. 剖析：错解的原因在于不能正确理解并记住弧长的计算公式，在弧长计算公式l =
180R
n π中，R 为圆的半径，n 是圆心角的度数，错解中误把它当成圆周角的度数.正确的解答为：
如图7，连接OA,OC.因为∠B=135°，所以∠D=180°﹣135°=45°，所以∠AOC=90°， 则的长=180
290⨯π=π．应选B. 2. 考虑问题不全面造成解答错误
例2 （2015•泉州）在以O 为圆心3 cm 为半径的圆周上，依次有A ，B ，C 三个点，若四边形OABC 为菱形，则该菱形的边长等于 cm ；弦AC 所对的弧长等于 cm ．
错解：3，2π．
剖析：本题的第一问正确，第二问有两个答案，AC 所对的弧可以是优弧也可以是劣弧.本题漏掉了一解，考虑问题不全面，这是常出现的问题.当弦AC 所对的弧是是劣弧是，弧长为2π，当弦AC 所对的弧为优弧时，弧长为4π，所以正确答案为3，2π或4π．
跟踪训练
1．（2015·广东）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为（ ）
图
2
图1
A.6
B.7
C.8
D.9
2.（2015·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A=30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )
A ．
43π
．43π-
．π D
．23
π3．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为1，则的长为 .
4.（2015·丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F.
（1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.
第4题图
第1题图
第2题图
参考答案
12.1圆的性质
1.A
2.B
3.20
4.60
5.解：（1）因为BC=DC ，∠CBD=39°，所以∠BDC=∠CBD=39°.
因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠BAC=∠BDC ，∠CAD=∠CBD.
所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠BDC+∠CBD=78°.
（2）证明：因为BC=DC ，所以∠BDC=∠CBD.
因为EC=BC ，所以∠CBE=∠CEB.
因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠BAC=∠BDC.
所以∠1=∠CBE -∠CBD=∠CEB -∠CBD=∠2+∠BAC -∠CBD
=∠2+∠BDC -∠CBD=∠2.
12.2与圆有关的位置关系 1.C 2.C 3.4
25 4.（1）证明：连接OF ，则OF∥AB .因为AC 为⊙O 的直径，所以CE⊥AE，所以OF⊥CE，
所以OF 所在直线垂直平分CE.
所以FC ＝FE ，OE ＝OC ，所以∠FEC ＝∠FCE ，∠0EC ＝∠0CE ，
因为∠ACB ＝90°，即∠OCE ＋∠FCE ＝90°，所以∠0EC ＋∠FEC ＝90°，即∠FEO ＝90°， 所以FE 为⊙O 的切线.
（2）解：因为⊙O 的半径为3，所以AO ＝CO ＝EO ＝3.
因为∠EAC ＝60°，OA ＝OE ，所以∠EOA ＝60°，
所以∠COD ＝∠EOA ＝60°.
所以CD ＝33，所以AC ＝6，所以AD ＝
2222)3(36+=+CD AC =37. 5.证明：(1)连接MC. 因为AM 为⊙O 的直径，所以∠ACM=90°， 所以∠AMC+∠MAC =90°.又因为∠AMC=∠ABC，所以∠ABC+∠MAC=90°.
又 因为∠ABC=∠PAC，所以∠PAC+∠MAC=90°， 所以∠PAM=90°，即MA⊥AP . 所以AP 为⊙O 的切线.
(2)连接AE.
因为M 为BC ⌒的中点，AM 为⊙O 的直径，所以AM⊥BC .
又因为AM⊥AP，所以AP∥BC，所以△ADP∽△CDB，所以
AD CD PD BD =. 因为AP//BC ，所以∠CBE =∠P .
又因为∠CBE=∠CAE，所以∠P=∠CAE .
又因为∠P=∠DCF，所以∠DCF=∠CAE . 又因为∠ADE=∠CDF，所以△ADE∽△CDF，所以
AD CD ED FD =. 综上，可得=PD BD AD
CD ED FD =. 12.3有关圆的计算 1.D 2.A 3. 3
π 4.（1）证明：连接OD.
因为OB=OD ，所以∠ABC=∠ODB.因为AB=AC ，所以∠ABC=∠ACB.
所以∠ODB=∠ACB.所以OD ∥AC.
因为DF 是⊙O 的切线，所以DF ⊥OD.所以DF ⊥AC.
解：（2）连接OE.
因为DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，所以∠ABC=∠ACB=∠ODB=67.5°. 所以∠BOD=45°.因为OD ∥AC,所以∠BAC=45°.因为OA=OE ，所以∠AOE=90°.
因为⊙O 的半径为4，所以S 阴影=S 扇形OAE -S △AOC =8-4421-360490ππ=⨯⨯⨯⨯.。