2010年徐州市高考信息试卷

2010年徐州市高考模拟试卷
数 学 试 题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答
题线上．
1. 直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，3
1
=AB ．求三棱锥C AB A 11-的
体积 ★ __.
2. 22()cos cos sin f x x x x x =+-的最大值为__ ★ ___.
3. 已知复数z 满足（1＋2i ）z ＝5，则z ＝___ ★ ___.
4. 已知,a b 是两个互相垂直的单位向量, 且1⋅=c a ,1⋅=c b
,||=
c ,则对任意的正实
数t ,1
||t t ++c a b 的最小值是___ ★ ___.
5. 如图，1F 和2F 分别是双曲线
222
2
1(00)x y a b a
b
-
=>>， 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1O F 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双
曲线的离心率为___ ★ ___.
第1页 （共4页）徐州市高三数学信息卷
6. 一长方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为,p 表面积为q ，若
2m p
=，
则n q
= ★ _.
7. 已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω
上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为___ ★ ___. 8. 已知函数上的]4
,
3
[)0(sin 2)(π
π
ωω-
>=在区间x x f 最大值是2，则ω的最小值
等于 ★__. 9. )(|
|1)(R x x x x f ∈+=
，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数)1,1()(-的值域为x f ； 乙：若21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠； 丙：若规定*|
|1)()),(()(),()(11N n x n x x f x f f x f x f x f n n n ∈+===-对任意则恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有___ ★ ___.
10. ()lg(42)x f x k =-⋅在(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是___ ★ ___.
11. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底
面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =___ ★ ___.
12. 某超市采用“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元，就
送20元，满200元就送40元奖励劵，满300元就送60元奖励劵….当是有一位顾客共花
出现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他最多能购买 元的商品。

13. 已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，
（ n N *
∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数
列．老师给出下列五个式子：①1
()2
n
k k n a b x =+=
∑；
②
2
1
1
2
n
k k x n
=>
∑；
<
=
>
其中一定成立的是___ ★ ___.
第2页 （共4页）徐州市高三数学信息卷
14．已知一组抛物线12
12
++=
bx ax
y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取
的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是___ ★ ___.
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）
已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点． （1）求实数k 的值；
（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，△ABC 面积最大？
16. （本小题满分15分）
如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ， D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB 。

（1）求证：AB ⊥平面PCB ；
（2）求异面直线AP 与BC 所成角的大小；
17. （本小题满分15分）设常数0a ≥，函数2
()ln 2ln 1f x x x a x =-+-
（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与0的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；
（3）求证：当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
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18. （本小题满分14分）
{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，
，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ． （I ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)
2
k k n -≤
；
（II ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
19．（本小题满分16分）
公民在就业的第一年就交纳养老储备金1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，
．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．
求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．
20. （本小题满分16分）
数列{}n a 中,()()
111,()2
11n
n n na a a n N n na *
+=
=
∈++,其前n 项的和为n S .
求证：1
1
(1)
1)n
i i i S S =+-
<∑.
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2010年徐州市高考模拟试卷
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．填对得5分，填错不得分. 1. 1/6 2.2 3. 12i -
4.
5. 1+
6
π
7.
9
2 8. 2 9. 1 10.
(),1-∞
2:2 12. 8760 13. 1,2 14. 60
7
二、解答题：本大题共6小题，共90分，分步得分.
15. 解: 1）将k x y +=2代入y x 42=得0482=--k x x ，----------------------2分 由△01664>+=k 可知4->k ， 另一方面，弦长AB 2016645=+⨯
=
k ，解得1=k ；----- --------6分
（2）当1=k 时，直线为12+=x y ，要使得内接△ABC 面积最大，
则只须使得224
1=⨯='C C
x y ，----------- ---------10分
即4=C x ，即C 位于（4，4）点处．--------------------------------------12分 16. （1）∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，
∴PC ⊥AB 。

…………………… ……2分 ∵CD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，
∴OC ⊥AB 。

…………………… ………4分 又PC CD=C ，
∴AB 平面PCB 。

…………………… ……4分 （2）过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连接PF ，CF 。

则∠PAF 为异面直线PA 与BC 所成的角。

……………………5分 由（1）可得AB ⊥BC, ∴CF ⊥AF.
由三垂线定理，得PF ⊥AF 。

则AF=CF=.6,22
2
=+=
CF
PC
PF
在Rt △PFA 中，,32
6tan =
=
=∠AF
PF PAF
∴异面直线PA 与BC 所成的角为
3
π
……………………8分
17. 解：（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞
∴112()1[ln (ln )]a f x x x x
x
x
'=-⨯+⨯
+
，
2ln 21x
a
x x
=-
+
，
……2分 ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞
∴22()1x g x x
x
-'=-=
，令()0g x '=，得2x =， ……4分
列表如下：
)
∴()g x 在x (2)22ln 22g a =-+即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分 (2)2(1ln 2)2g a =-+，
∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，
∴(2)0g >． ……8分 证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，
∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……11分 故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分 又2(1)1ln 12ln 110f a =-+-=， ……14分
∴()0f x >，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>， ……15分 ∴2
ln 2ln 1x x a x >-+
故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+． ……16分
18.解：（I ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2
k 个．
因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，
，，； 又因为当a A ∈时，a A
-∉时，a A
-∉，所以当()i j a a T
∈，时，
()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．
从而，集合T 中元素的个数最多为2
1(1)
()2
2
k k k k --=
，
即(1)
2
k k n -≤
．
（II ）解：m n =，证明如下：
（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，． 如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而
a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．
故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．
可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，
（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，
故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．
可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，
由（1）（2）可知，m n =． 19.解: 11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得
2
121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=
1
2
121(1)
(1)
(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++ ，
①
在①式两端同乘1r +，得
1
2
121(1)(1)(1)
(1)(1)n
n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++
②
②-①，得1
2
1(1)[(1)(1)
(1)]n
n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-
1[(1)1](1)n
n
n d r r a r a r
=+--++-．
即112
2
(1)n
n a r d a r d d T r n r
r
r
++=
+-
-
．
如果记12
(1)n
n a r d A r r
+=
+，12
n a r d d B n r
r
+=-
-
，
则n n n T A B =+．
其中{}n A 是以
12
(1)a r d r r
++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以
12
a r d d r
r
+--
为首项，d r
-
为公差的等差数列．
20.证明： 假设1,n n
b na =
∴11
1,(1)n n b n a ++=
+ ………1分
∵()()
111n
n n na a n na +=
++，
∴11
1111(1)(1)
(1)(1)
n n n
n n
n
n b b na n a na na n n na ++-=
-
=-
++++＝
111n n
n
na na na +-
=
…………………………………3分
∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列. ………………………………4分 2(1)11,n b n n =+-⋅=+ 11(1)n n
a n
b n n ∴=
=
+=
111
n
n -
+, …………6分
11111
(1)(
)(
)2
2
3
1
n S n n ∴=-
+-
++-
+ =111
1
n n n -=++. ……8分
2
2
2
1
(2)21(1)
21i i S i i i i S i i i +++=
=
<+++
， …………………………9分
∴1
1
11(1(
)
i i i
i S S S S ++-
=-
1
)
i i S S +=-
+
=-+
<-. …………………………………13分
∴
1
1
(1)
n
i i i S S =+-
<++-
∑
1)==-
<.…………16分。