辽宁省沈阳市第二十中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷

辽宁省沈阳市第二十中学2023-2024学年高二下学期4月阶
段测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列{}n a 中，45660a a a ++=，则28a a +的值为（ ） A ．15
B ．20
C ．30
D ．40
2．在数列{}n a 中，若14
3
a =，122n n a a +=-，则下列数不是{}n a 中的项的是（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
2
D ．3
3．用数学归纳法证明：
()()()()()()()12321352121n n n n n n n n n *++++=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯+∈N L L 时，从n k =到
1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（ ）
A ．21k +
B ．
21
1
k k ++ C ．
23
1
k k ++ D ．()221k +
4．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，n S 为n a 的前n 项和，5354S S =-，则4S =（ ） A ．7 B ．9
C ．15
D ．20
5．若()()()131
,,1054
P AB P A P B =
==，则（ ） A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 相互独立
C ．()1320
P A B +=
D ．1
()5P AB =
6．等比数列{}n a 中，12a =，2q =，数列()()111n
n
n n a b a a +=--，{}n b 的前n 项和为n T ，则10T 的值为（ ） A ．
4094
4095
B ．
2046
2047
C ．
1022
1023
D ．
510
511
7．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X ，Y ，定义协方差为()()()()Cov ,X Y E XY E X E Y =-，已知X ，Y 的分布列如下表所示，
其中01p <<，则()Cov ,X Y 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1112,21
n
n n a a a a +==+，若2024(1,)S k k ∈-，则正整数
k 的值为（ ）
A ．2024
B ．2023
C ．2022
D ．2021
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A ．在回归分析中，相关指数r 越小，说明回归效果越好
B ．已知2( 3.841)0.05P χ≥=，若根据2×2列联表得到2χ的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关
C ．已知由一组样本数据(),i i x y （1i =，2，⋅⋅⋅，n ）得到的回归直线方程为$420y x =+，
且1
110n
i i x n ==∑，则这组样本数据中一定有()10,60 D ．若随机变量()~,4X N μ，则不论μ取何值，()46P X μμ-<<+为定值 10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，78S S >，则（ ）
A ．在数列{}n a 中，1a 最大
B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大
C ．310S S <
D ．当8n ≥时，0n a <
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*
13N ,R n n n a pa n p +=+∈∈，则下列结
论正确的是（ ）
A ．若0p =，则131
2n n S -+=
B ．若1p =，则131
2
n n a --=
C ．若2p =，则数列{}3n
n a -是等比数列
D ．若3p =，则数列3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列
三、填空题
12．若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式n a =.
13．小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为3
5．若她下午去逛街，则
晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为1
6
．已知小王在某个周
末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为．
14．已知各项均大于零的数列{}n a 的前n 项和为13,1,2n S a a ==，且21320n n n n a a a a +++-=，则100S 的最小值等于.
四、解答题
15．已知数列{}n a 满足*111,235,n n a a a n n +=+=-∈N . (1)设2n n b a n =-+，证明：{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .
16．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++=-+. (1)求证：数列{}1n n a a +-为等差数列； (2)求数列{}n a 的通项公式； (3)求数列(1)2n n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n T .
17．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A 、B 、C 、D 四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
(1)若某道多选题的正确答案是AB ，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A 选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
18．2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件A=“了解人工智
能”，B=“学生为男生”，据统计
34 (),()
57 P A B P B A
==
∣∣.
(1)根据已知条件，填写下列22
⨯列联表，是否有99%把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差.
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
a b c d a c b d
χ
-
=
++++
.常用的小概率值和对应的临界值如下表：
19．按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：21,23
++；即3，5，第三行是：31,33,51,53
++++，即4,6,6,8;L（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第n行所有的项的和为n a.
(1)求5346,,,a a a a ；
(2)试求1n a +与n a 的递推关系，并据此求出数列{}n a 的通项公式； (3)设()32412231
1N n n n n a a a
S n ,n a a a a a a ++=++≥∈L ，求n S .。