高二下数学周考1

数学周考（一）
一、选择题
1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，
11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是
A .－
21a +21b +c B .21a +2
1
b +
c C .
21a －21b +c D .－21a －2
1b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A .OC OB OA OM --=23 B .OC OB OA OM 5
1
3121++=
C.0=+++OC OB OA OM D .0=++MC MB MA
3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则⋅等于 A .
41 B .41- C .43 D.4
3
- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为0
60，则λ的值为 A .17或-1 B .-17或1 C .-1 D .1
5.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A .
213 B.253 C .4
53
D .453
6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱
7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A .9π B .10π C .11π D .12π
8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD C .AC 1⊥平面CB 1D 1
D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60°
9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A
B .552 C
D
10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为
A .5
B .41
C .4
D .52
11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=
+b a λ
且0λ>，则λ=________.
13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），
B （3，-2），沿
x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ．
14. 已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，
，，，，，，，，则顶点D 的坐标为
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
俯视图
侧视图
正视图
E D
C
B
A P
三、解答题
15.已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积；
（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论; （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小
16.正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角
17.在底面是直角梯形的四棱锥S A B C D -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ，
1
12
SA AB BC AD ====
，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值
《空间向量与立体几何》单元练习题参考答案
一、选择题
1.)(2
1
111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.
2.
1
),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(
共面使所以存在MC MB MA MC y MB x MA y x ,,,1,1∴+==-=
四点共面，
、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 2
1
,21//=∴=
∴且,
4
1
120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=
⋅∴ 故选B .
4.B
5.B
6.D
7.D
8.D
9.D 10.
由于4,cos ==><=
，所以5==
,故
选A
二、填空题 11.9 12.3
13.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则DB CD AC AB ++=
∵
θθcos 6)180,0,0,2530-=-⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC
0022222
120,1800 .2
1
cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC
14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系
设平面P AD 的法向量是(,,)m x y z =，
(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，
1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15
B A m d m
⋅==
三、解答题
15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([2
1
)(21BM -+=+=
c b a a c b 2
12121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于
160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于
),
(2
1
c b a ++-=
BM 由于 2
3)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=
c
b c a b a c b a c b a 2
6
26的长为，BM ∴=
. 16.解：（1）如图
（
2
）
所
求
多
面
体
体
积
V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫
=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥，
从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ， 所以BC '∥面EFG ．
17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，
∵AD ⊂面ACD ，E F ⊄面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ；
（2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，
∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .
18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．
设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，
， A
C D
E F
G
A '
B '
C '
D '
由cos DA DH DA DH DA DH =<
>，
，可得2
m = 解得2m =，所以2122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭
，．
（1
）因为0011
cos DH CC ++⨯'<>==， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45
． （2）平面AA
D D ''的一个法向量是(01
0)DC =，，．
因为0110
1cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．
19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为
1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1
23
3
P ABCD ABCD V S
PC -=⋅=
(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE
证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC
∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC 又AC
PC C =∴BD ⊥平面PAC
∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE
(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG
∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥
DE
在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅=
=BG
在△DGB 中，由余弦定理得2
1
2cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB
∴DGB ∠=
23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23
π
. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而
(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1DE DA BA BE =-===-设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为
(,,),(',',')m a b c n a b c ==
由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,'a b =-令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2
||||
m n m n θ⋅==-⋅
∴23πθ=
，∴二面角D －AE －B 的大小为23
π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形．
因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =，
所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．
（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，．
由（1）知AE ⊥平面PAD ，
则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △
中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．
此时tan 2
AE EHA AH AH ∠=
==
，
因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=， 所以2PA =．
解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．
过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE △中，3
sin 302
EO AE ==
3cos302AO AE ==，
又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 45SO AO =
=
，
又SE =
在Rt ESO △
中，cos SO ESO SE ∠
=== 即所求二面角的余弦值为
． 解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F
，分别为BC PC
，的中点，所以
(000)10)(020)A B C D -，，，
，，，，，，
，
1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭
，，，，，，，，
11 所以31(300)12AE AF ⎛⎫== ⎪⎪⎝
⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，
则00
AE AF ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，，m m 因此11110102
x y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA
AC A =，所以BD ⊥平面AFC ，
故BD 为平面AFC 的一法向量． 又(0)BD =
，，所以cos 55BD
BD BD <>===
，m m m ． 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5
．。