2020年春沪科版八年级数学下册类比归纳专题：一元二次方程的解法

类比归纳专题：一元二次方程的解法
——学会选择最优的解法
类型一　形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程可用直接开平方法
◆1．方程(x －3)2＝8的根为（ ）
A ．x ＝3＋23
B ．x 1＝3＋2，x 2＝3－222
C ．x ＝3－22
D ．x 1＝3＋2，x 2＝3－233
2．方程－＝0的解是 （ ） (x －52)
2 143．定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a*b ＝a 2＋b 2；当a ＜b 时，a*b ＝a 2－b 2.则方程x*2＝12的解是___________.
4．解下列一元二次方程：
(1)(x ＋)(x －)＝2；
33(2)4(2x ＋1)2－1＝24.
类型二　当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法
◆5．(2017·合肥瑶海区期中)将方程x 2＋8x ＋9＝0左边配成完全平方式后，方程变为( )
A ．(x ＋4)2＝7
B ．(x ＋4)2＝25
C ．(x －4)2＝－9
D ．(x －4)2＝－7
6．用配方法解下列方程：
(1)x 2－6x ＋7＝0；
(2)－x 2＋2x ＋3＝0.
类型三　若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，用因式分解◆法
7．方程2x 2＝3x 的解是( )
A ．x ＝0
B ．x ＝32
C ．x ＝－
D ．x 1＝0，x 2＝3232
8．(阜阳临泉县期中)方程(x －5)(x －6)＝x －5的解是(
)
A ．x ＝5
B ．x ＝5或x ＝6
C ．x ＝7
D ．x ＝5或x ＝7
9．用因式分解法解下列方程：
(1)3x 2＋6x ＝0；
(2)4x 2－121＝0；
(3)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；
(4)(x －4)2＝(5－2x)2；
(5)2(x －3)2＝x 2－9.
类型四　除了适合用直接开平方法和因式分解法外的方程均可用公式法求解
◆10．用公式法解下列方程：
(1)x 2＋x －2＝0；
(2)x 2－x ＋＝0；2
218(3)3x 2＋5x ＝－4.
*类型五　一元二次方程的特殊解法
◆一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.
第1种拆法：4x －x ＝3x(正确)，
第2种拆法：2x －2x ＝0(错误)，
所以x 2＋3x －4＝(x ＋4)(x －1)＝0，所以x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.
11．解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程___________.
12．用十字相乘法解下列一元二次方程：
(1)x 2－5x －6＝0；
(2)x2＋9x－36＝0.
二、换元法
方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元．一些形式复杂的方程可通过换元的方法转化成一元二次方程求解．
13．若实数a，b满足(4a＋4b)·(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝__________．
14．解方程：(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.
参考答案与解析
2
1．B　2.x1＝3，x2＝2　3.x1＝2，x2＝－4
55
4．解：(1)原方程可化为x2－3＝2，∴x2＝5，∴x1＝，x2＝－.
(2)移项得4(2x ＋1)2＝25，∴(2x ＋1)2＝，∴2x ＋1＝±，∴x 1＝，x 2＝－.254523474
5．A
6．解：(1)移项得x 2－6x ＝－7，配方得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即(x －3)2＝2，开平方得x －3＝±，∴x 1＝3＋，x 2＝3－.
222(2)移项得x 2－2x ＝3，配方得x 2－2x ＋1＝3＋1，即(x －1)2＝4，开平方得x －1＝±2，∴x 1＝3，x 2＝－1.
7．D 8.D
9．解：(1)原方程可变形为3x (x ＋2)＝0，∴x ＝0或x ＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2.
(2)原方程可变形为(2x ＋11)(2x －11)＝0，∴2x ＋11＝0或2x －11＝0，∴x 1＝－，x 2112
＝.112
(3)原方程可变形为(2x ＋1)(3x －2)＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0，∴x 1＝－，x 2＝.1223
(4)原方程可变形为(x －4＋5－2x )(x －4－5＋2x )＝0，∴(1－x )(3x －9)＝0，∴1－x ＝0或3x －9＝0，∴x 1＝1，x 2＝3.
(5)原方程可变形为(x －3)(2x －6－x －3)＝0，∴x －3＝0或x －9＝0，∴x 1＝3，x 2＝9.10．解：(1)∵a ＝1，b ＝1，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝1－4×1×(－2)＝9>0，∴x ＝＝，∴x 1＝1，x 2＝－2.－1±92－1±32
(2)原方程可化为8x 2－4x ＋1＝0，则a ＝8，b ＝－4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－4)2
222－4×8×1＝0，∴x ＝＝，∴x 1＝x 2＝.－（－42）±02×82424
(3)原方程可化为3x 2＋5x ＋4＝0，则a ＝3，b ＝5，c ＝4，∴b 2－4ac ＝52－4×3×4＝－23＜0，∴原方程无实数解．
11．x －1＝0(或x ＋3＝0)
12．解：(1)原方程可变形为(x ＋1)(x －6)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝6.
(2)原方程可变形为(x ＋12)(x －3)＝0，解得x 1＝－12，x 2＝3.
13．－或112
14．解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程可化为t (t ＋6)＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，∴x 2＋5x ＝0，∴x (x ＋5)＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5；当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，∴x 2＋5x ＋8＝0.∵b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程无解．∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.。