专题1.7直线与椭圆-2017届高三数学三轮考点总动员(江苏版)Word版含解析

【方法引领】
【举例说法】
一、求圆锥曲线的标准方程
例 1 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C：x
2+ y 2
=1(a>b>0)的离心率为
3
，以原点为圆a2 b 22
心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切 .
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2) 已知点 P(0， 1)， Q(0， 2)，设 M， N是椭圆 C上对于 y轴对称的不一样两点，
直线PM与 QN订交于点 T，求证：点 T在椭圆 C上 .
【剖析】 (1)利用直线与圆相切求出b的值，而后利用离心率可求出a的值，进而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，考证知足椭圆方程即可.
因此b
=1-
c
a a 2
=
1
，
2
因此 a=2 2 ，
因此椭圆 C的标准方程为x
2+ y 2
=1. 82
(2)由题意可设 M ， N两点的坐标分别为(x0，y0 )， (-x0， y0)，
则直线 PM的方程为 y=y -1
0 x+1，①x0
直线 QN 的方程为 y=
y 0
-2
x+2 . ②
-x 0
设点 T 的坐标为 (x ， y).
联立①②解得 x 0=
x
3y-4
.
， y 0=
2y-3
2y-3
因为
x 02
+ y 02
=1， 8 2
2
2
因此
1
x +
1
3y-4 =1， 8 2 y-3
2
2y -3
整理得
x 2 (3 y-4)2
2
+
2
=(2y-3) ，
8
因此 x
2
+ 9y 2 -12y+8=4y 2-12y+9，
8 2
2
2
即 x + y =1，
8
2
因此点 T 的坐标知足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上 .
【评论】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，详细过程是先定形，再定量，即第一确立
焦点所在地点，而后再依据条件成立对于
a ，
b 的方程组 .假如焦点地点不确立，要考虑能否有两
解，有时为认识题方便，也可把椭圆方程设为
mx 2+ny 2=1(m>0， n>0，m ≠n)的形式 .
【练习】已知中心在座标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2，3)，且点 F(2，0)为其右焦点 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)
P Q(
2 0)
P
l x=2
2
2 ，求动点 P 已知动点
，
的距离与点
到定直线
：
的距离之比为
到定点
2
的轨迹 C'的方程 .
【剖析】此题主要考察椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数
法求椭圆方程的基本方法 .
故椭圆 C的方程为
x
2
+y 2=1.
1612
(2)设点 P(x， y)，依题意，得(x- 2)2y2= 2 ，
|x-22|2
整理，得 x2+ y 2=1，
42
因此动点 P的轨迹 C'的方程为
x
2+ y 2
=1.
42
【评论】此题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b ，
x2y2
c的关系，求得 b的值，进而得椭圆方程 .此题还能够利用待定系数法设椭圆方程为2+2=1，
a a-4
代入已知点求解，明显没有益用定义来得简单.￥ %
二、求离心率的值或范围
例 2 如图 (1)，在平面直角坐标系xOy中， A1A2
，B1
，
B2x2+y 2=1(a>b>0)
的四个
，分别为椭圆a2b2
极点， F为其右焦点，直线 A1B2与直线 B1F订交于点 T，线段 OT与椭圆的交点 M恰为线段 OT的中
点，
则该椭圆的离心率为.
(例 2(1))
(2)如图 (2)，已知点 A， F分别是x
2
-y 2=1(a>0，b>0)的左极点与右焦点，过
A， F作与 x轴垂直
的
a2 b 2
直线分别与两条渐近线交于P， Q， R，S，若 S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.
(例 2(2))
(3)已知中心在座标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为
F 1，F 2 ，这两条曲线
在第一象限的交点为 P ，△ PF 1F 2是以 PF 1 为底边的等腰三角形 .若PF 1=10，椭圆与双曲线的离心率
分别为 e 1， e 2 ，则 e 1·e 2的取值范围是 .
【点拨】依题设得出对于 a ， b ， c 的等式或不等式，再消去 b.
【答案】 (1)2
7 -5 (2)
2 (3) 1，
3
ac b(a c)
2
2
又 M 在椭圆 x
y
，
a-c 2(a-c) a 2 +
b 2
=1(a>b>0)上，
故
c 2 (a c) 2
2
(a-c)
2
+
4( a-c) 2 =1，即 e +10e-3=0，
解得 e=2
7 -5.
(2) A(-a 0)
F(c
0)
PQ
RS
x=-a x=c
b 由题意，得 ， ， ，
，
y= ± x
，直线
，
的方程分别为
，与渐近线
联立，
a
bc
bc
1 2bc
bc
2
1 可求得 P(-a ，b)，Q(-a ，-b)，R
，S
，S △ POQ =
，-
， ，则 S △ ROS =
·
a ·2b=a
b ，
c
a c
a
·c=
2
a
a
2
于是由 S △ ROS =2S △ POQ ，得
bc 2
=2ab ，即
c 2
=2，因此 e=
2 .
a
a 2
(3)设椭圆的长轴长为 2a ，双曲线的实轴长为
2m ，则 2c=PF =2a-10，2m=10-2c ， a=c+5， m=5 -c ，
2
因此 e 1 e 2=
c
c
= c 2
1 .又由三角形性质知
2c+2c>10 ，又由已知得 2c<10， c<5，所
c 5
·
= 25
-1
5- c
2
c 2
25c-
5
2 5
2 5
1 1
以 2 <c<5， 1< c 2
<4，
0<
c 2
-1<3，因此 e 1e 2= 252 -1 > 3 .
c
【练习】已知椭圆
x 2 y 2 a 2 +=1(a>b>0)，点 A ， B 1， B 2， F 挨次为其左极点、下极点、上极点和右
b 2
焦点，若直线 AB 2与直线 B 1F 的交点恰幸亏椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为
.
【答案】
1
2
因此 y M =b
a 1 .
c
由
k
FB 1
b
y M
= a 2
，
=k FM ，得
c -c
c
因此 y M =
b
a 2 -c .
c c
进而 b
a
1 =
b
a 2 -c ，
c
c c
1 整理得 2e 2
+e-1=0，解得 e= .
2
三、直线与圆锥曲线问题
例 3 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
x 2 y 2
3 . 2 +
b 2 =1(a>b>0)过点 A(2，1)，离心率为
a
2
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 l ：y=kx+m(k ≠ 0)与椭圆订交于 B ，C 两点 (异于点 A)，线段 BC 被 y 轴均分，且 AB ⊥ AC ，求直
线 l 的方程 .
(例 3)
【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题
.
因此所求椭圆的方程为
x 2 y 2
=1.
+
2
8
(2)将 y=kx+m(k ≠ 0)代入椭圆方程，得 (1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2
-8=0，
①
由线段 BC 被 y 轴均分，得 x B C 8mk
=0， +x =- 1 4k 2 因为 k ≠0，因此 m=0.
因为当 m=0时， B ，C 对于原点对称，设 B(x ， kx)， C(-x ，-kx)，由方程①，得 x 2
=
8
，
4k 2
1
又因为 AB ⊥ AC ， A(2， 1) ，因此
uuur uuur
2 2 8(1 k
2
)
A B ·
=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k )x =5-
=0
，所
A C
1 4k 2
以 k=±1
，
2
因为 k=
1
时，直线 y= 1
x 过点 A(2， 1)，故
k=
1 不切合题设 . 2
2 2
因此直线 l 的方程为 y=-
1
x.
2
【评论】分析几何包括两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质
.对分析几
何的复习，要在坚固掌握与分析几何相关的基本观点基础上，把上述两个问题作为复习和研究
的要点，掌握坐标法思想的精华.
【练习】
如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆
x 2 + y 2 =1(a>b>0)
2
，长
a 2
b 2 的离心率为
2
轴长为 4，过椭圆的左极点 A 作直线 l ，分别交椭圆和圆 x 2+y 2 =a 2
于相异两点 P ， Q.
(1)若直线 l 的斜率为
1
，求
AP
的值；
2
AQ
uuur uuur
(2)若 PQ =λA P ，务实数 λ的取值范围 .
2a 4，
【解答】 (1)由条件知
c 2 a 2，
， 解得 2.
a 2 b
a 2
b 2
c 2，
，
联立方程组
x 2 y-2
消去 x ，得 3y
2
-4y=0，
x 2
2 y 2
，
4
4
因此 y P = .
3
，
消去 x ，得 5y
8
由 x 2 y-2
2
Q
.
2
y 2
，
-8y=0
，因此 y =
5
x
4
AP y P
=
4
5 5
因此
=
y Q 3× = .
AQ 8 6
uuur uuur uuur uuur
PQ AQ -AP AQ
(2)因为 PQ =λA P
，且
A P ， PQ 同向，则 λ=
= =-1，
AP
AP AP 设直线 l ： y=k(x+2)，
x 2 y 2
，
联立方程组
4 消去 x ，得 (k 2+1)y 2 -4ky=0，
y
k (x 2) ，
因此 y Q =
4k
，同理 y P =
4k
，
2
2
k 1
2k
1
AQ
y Q
4k
1
-1=
-1= k
2
1
λ=
y P
4k
-1=1-
.
AP
1 k
2
1
2k 2
因为 k 2>0，因此 0<λ<1.即实数 λ的取值范围是 (0，1).
【实战操练】
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
x 2
-y 2=1的实轴长为
.
2
【答案】 2 2
【分析】依据双曲线的方程知
a= 2 ，因此实轴长为 2a=2 2
2. 以抛物线 y 2=4x 的焦点为焦点，以直线 y= ±x 为渐近线的双曲线的标准方程为
.
x 2 y 2
【答案】
1- 1=1
2 2
x 2 y 2
1- 1 =1.
2 2
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C 的极点在座标原点， 焦点在 x 轴上，若曲线 C 经过点 P(1，
3)，则其焦点到准线的距离为 .
【答案】
9
2
C 的方程为 y 2
=2px(p>0)，因为曲线 C 过点 P(1，3)，因此 9=2p ，解得 p=
9 【分析】由题意可设抛物线 ，
2
进而其焦点到准线的距离为
9
p=
2
2 2
4.
设椭圆 C ： x + y
=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F 1 ，F 2，过 F 2作 x 轴的垂线与椭圆 C 订交于 A ，
2
b 2a
B 两点， F 1B 与 y 轴订交于点 D ，若 AD ⊥F 1B ，则椭圆
C 的离心率为
.
(第4题)
3 【答案】
3
因此 AF 1=2AF 2.
设 AF 2=n ，则 AF 1=2n ， F 1F 2= 3 n.
因此 e=
c
=
F 1F 2 = 3n
= 3 . a
AF 1 AF 2 3n 3
2
1
，则此椭圆的
5.
设椭圆 x
2 +..=1(m>0 ， n>0)的右焦点与抛物线 y 2
=8x 的焦点同样，离心率为
m
2
短轴长为
.
【分析】由题意可知抛物线
y 2
(2 0) c=2.
1 ，因此 a=4
=8x
的焦点为 因为离心率为 2 ，因此
， ，因此
b=
a 2 -c
2 =2
3
，因此椭圆的短轴长为 4
3 .
2
2
6. 设 A ， B 分别是椭圆
x
2
+
y
2 =1(a>b>0)的左、右极点，点 P 是椭圆 C 上异于 A ， B 的一点，若直
a
b
线 AP 与 BP 的斜率之积为 - 1
，则椭圆 C 的离心率为
.
3
【分析】由题意知 A(-a ， 0)， B(a ， 0)，取 P(0， b)，则 k AP ·k BP =
b
× -
b
=-
1
，故 a 2=3b 2，因此
a
a
3
2
a 2-
b 2 2
6
a 2
，即 e=
e =
= 3
3
.
7. 已知椭圆 C ：
x 2
y 2
1
2
a 2
+
b 2 =1(a>b>0)的左、 右焦点分别为
F ，F ，若椭圆 C 上恰巧有 6个不一样的点
P ，
使得△ F 1
2
C 的离心率的取值范围是 .
F P 为等腰三角形，则椭圆
x 2 y 2
8. 如图，已知椭圆
a 2 +
b 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2， P 是椭圆上一点， M 在PF 1上，
且知足
uuuur uuur
(λ ) PO F 2M
O .
F 1M =λ
，
MP
∈R ， ⊥ 为坐标原点
(1)若椭圆方程为
x 2
+ y 2 =1，且 P(2，
2 )，求点 M 的横坐标；
8 4
(2)若 λ=2，求椭圆离心率 e 的取值范围 .
【分析】 (1) 因为 x 2 y 2 1 2
+ =1 ，因此 F (-2， 0)
，F (2，0)，
8 4
因此 k OP
2 ，k F 2M =- 2 ，
=
22， k F 1 M =
4
因此直线 F 2M 的方程为 y=- 2
2
(x-2)，直线 F 1M 的方程为 y=(x+2).
4
y
- ，
2(x-2)
6 ，
联立
解得 x=
y
2
(x 2)，
5
4
因此点 M 的横坐标为
6
.
5
(2) 设 P(x 0， y 0)， M(x M ， y M ).
因为 uuuur uuur ，因此 uuuur 2
2 1 2
，
FM =2 MP FM =
00M M )，因此 M
x 0-
， y 0
(x +c ， y )=(x
+c ，y
c
1 1 3
3
3
3
uuuur 2 4 2
F 2M = x 0 - ，
c y 0
3 3 3
因为 -a<x 0
a( a- c)
∈ (0，
a)，
<a ，因此 x =
c
因此 0<a 2
1 -ac<ac ，解得 e> .
2
1 ，
综上，椭圆离心率 e 的取值范围为
.
2
9. 如图，椭圆长轴端点为
A ，
B ， O 为椭圆中心， F 为椭圆的右焦点，且
uuur uuur uuur
|= 1.
AF · =1，|
OF
FB
(1)求椭圆的标准方程 .
(2)记椭圆的上极点为 M ，直线 l 交椭圆于 P ， Q 两点，问：能否存在直线 l ，使得点 F 恰为△ PQM 的
垂心 ?若存在，求出直线
l 的方程；若不存在，请说明原因.
【分析】 (1) 设椭圆方程为
x 2 y 2
2 +
b 2 =1(a>b>0)，则 c=1.
a
因为 uuur
uuur
=1，
AF ·
F B
即 (a+c)(a-c)= 1=a 2-c 2，
因此 a 2
=2，故椭圆方程为
x 2
+y 2=1.
2
又 y i =x i +m(i=1，2)，
得 x 1(x 2 -1)+(x 2+m)(x 1+m-1)=0，即 2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，
2m 2 -2 4m
2
因此 2·
- (m-1)+m -m=0，
3
3
解得 m=- 4
或 m=1(舍去 ).
3
经查验 m=- 4
切合条件，
3
因此直线 l 的方程为 y=x- 4
.
3
10. 如图，椭圆 C ：
x 2
y 2
2
， 6
.
a 2 +
b 2 =1(a>b>0)的一个焦点为 F(1， 0)，且过点
2
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知 A ， B 为椭圆上的点，且直线 AB 垂直于 x 轴，直线 l ： x=4与 x 轴交于点 N ，直线 AF 与 BN 交
于
点 M ，求证：点 M 恒在椭圆 C 上.
c
，
1
2
3
， 2
2
【分析】 (1) 由题意得 2
21
解得 a =4， b =3，
a 2b
a 2 -
b 2
c 2，
故椭圆 C 的方程为
x 2
+ y 2 =1.
4 3
解得点 M 的坐标为
5m -8 ， 3n .
2 m -5 2 m -5
代入椭圆方程中，得
5m-8 2
2
2
2
3n
(5m-8) 2 2 x
0 +
y
0 =
2m-5
+
2m-5
12n
=
2.
4 3
4
3
4(2 m-5)
由 m
2
+
n 2
=1，得 n 2=3 1-
m 2
，
4
3
4
代入上式得
x 02
+ y 02 =1.
4 3
因此点 M 恒在椭圆 C 上 .。