微分方程稳定性

1 , 2
1 2
( p
p 4q )
2
(1 4 )
方程（9）的通解为
c1 e
1 t
c2e
2t
( 1 2 ) 或 c1 e
1 t
c 2 te
1 t
( 1 2 )
按稳定性的定义（8）可知
(1 ) 当 1 , 2 为 负 数 或 有 负 实 部 时 ， P0 (0, 0 ) 是 稳 定 平 衡 点 。 （ 2 ） 当 1 , 2 有 一 个 为 正 数 或 有 正 实 部 时 ， P0 (0, 0 ) 是 不 稳 定 平 衡 点 。
如果存在某个邻域，使方程（6）的解
从 这 个 邻 域 的 某 个 (x 1 (0),x 2 (0)) 出 发 ， 满 足
x1 ( t ), x 2 ( t )
lim x1 ( t ) x1 , lim x1 ( t ) x 2
0 t t
0
（8 ）
则称平衡点是稳定的（渐进稳定）；否则称是不稳定的 （不渐进稳定）。 机动 目录 上页 下页 返回
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一阶方程的平衡点及稳定性
x (t ) f ( x ) 设有微分方程 (1) 方程右端不显含自变量 t ，称为自治方程。代数方程 f (x) 0 (2)
的实根
称为方程（1）的平衡点（或奇点）。它也是 方程（1）的解（奇解） 如果存在某个邻域，使方程（1）的解 x ( t ) 从这个邻域的 某个 xBaidu Nhomakorabea(0 ) 出发，满足
以上是对线性方程（9）的平衡点稳定性的结论，对于一般 的非线性方程(6),可用近似线性方法判断其平衡点
P0 ( x1 , x 2 )的 稳 定 性 。 在 P0点 将 f ( x1 , x 2 ), g ( x1 , x 2 ) 作 T aylo r 展 开
0 0
只取一次项，方程（6）近似为
0 0 0 x1 ( t ) f x ( x10 , x 2 )( x1 x10 ) f x ( x10 , x 2 )( x 2 x 2 ) 1 2 0 0 0 0 0 0 x 2 ( t ) g x ( x1 , x 2 )( x1 x1 ) g x ( x1 , x 2 )( x 2 x 2 ) 1 2
x ( t ) f ( x 0 )( x x 0 ) （4）
x （4）称为(1)的近似线性方程，0 也 是 (4 ) 的 平 衡 点 ，
关 于 x 0点 稳 定 性 结 论 如 下 ：
若 f ( x 0 ) 0， 则 x 0 对 于 (4) 和 (1) 都 是 稳 定 的 。
（ 即 a 0 或 p , q 0） 得到的。在临界情况下 即 a = 0 或 p , q = 0） （
（1）平衡点和稳定性的概念只是对自治方程(1)(6)而言才有意义。
二者可以不一致。 (3) 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻 域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点 (3)(8)式成立，成为全局稳定。对于线性方程，局部稳定 和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。 (4) 对于临界情况，和非线性方程的全局稳定，可以用相 轨线分析方法讨论。
若 f ( x 0 )> 0， 则 x 0 对 于 (4) 和 (1) 都 是 不 稳 定 的 。
a （事实上，若记f ( x 0 ) ，则（4）的一般解是
x ( t ) ce
at
x0
显 然 ， 当 a 0时 ， （3 ） 式 成 立 。 ）
二阶方程的平衡点及稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表为
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建模与求解：设地球半径为 R ，质量为M ；卫星轨 道半径为r ，卫星质量为m 。
根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛 顿万有引力定律可知其引力大小为
F= GMm r
2
(1)
其中G 为引力常数。 为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得
mg = GMm R
2 2
200h h
2
d V (200 h h ) dh
2
h h
因此得微分方程定解问题:
r
100cm
o hdh
将方程分离变量:
dt

1
(200h
2
h
3 2
) dh
0.62 2 g
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两端积分, 得
t
h

0.62 2 g
( 200h
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
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思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量
y 1 y
2
dy
x 1 x
2
dx
(2) 方程变形为 y 2 cos x sin y
ln tan y 2 2 sin x C
det A 0
P0 (0, 0 )的 稳 定 性 由 (9 ) 的 特 征 方 程
det( A I ) 0
(11)
(12)
的根（特征根）决定。方程（12）可写为
2 p q 0 p ( a1 b 2 ) q d et A (1 3)
则特征根为
1 k


( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C ln ( mg ) 代入上式后化简, 得特解 v
mg k
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t 足够大时
k m t
v
)
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mg k
(1 e
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例5. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
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1.1.1 卫星进入600km 高空轨道时，火箭必须的最 低速度
首先将问题理想化，假设：
（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆 周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平 面匀速圆周运动；。 （ii）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其 质量集中于球心； （iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。
微分方程稳定性理论简介
问题的背景
一阶方程的平衡点及稳定性 二阶方程的平衡点和稳定性
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稳定性的物理意义：用微分方程描述的物质运 动的特解密切依赖于初值，而初值的计算或测定 实际上不可避免地出现误差和干扰。如果描述这 运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微 小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的 严重后果。因此，这样不稳定的解不宜作为我们 设计的依据，反之，稳定的特解才是我们最感兴 趣的。
2
或
GM =R g
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2
例4. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系. 解: 根据牛顿第二定律列方程 m 初始条件为 v
t 0
dv dt
mg k v
0
对方程分离变量, 然后积分 : 得
x1 ( t ) f ( x1 , x 2 ) x 2 ( t ) g ( x1 , x 2 ) (6 )
也为自治方程。代数方程组
f ( x1 , x 2 ) 0 g ( x1 , x 2 ) 0
0 0
(7 )
0 0
的 实 根 x1 = x1 , x 2 = x 2 称 为 (6 ) 的 平 衡 点 ， 记 为 P0 ( x1 , x 2 )
在 条 件 (1 1) 下 ， 1 , 2 不 可 能 为 零 。
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点，中 心等类型，完全由特征根 或相应的p、q取值决定。列
表如下
由表可看出，根据的正负判断平衡点稳定性的准则如下：
(1) 若 p > 0 , q > 0 , 则 平 衡 点 稳 定 。 （ 2 ） 若 p < 0 或 q < 0 ,则 平 衡 点 不 稳 定 。 (1 5) (1 6 )
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 )
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为了用直接法讨论方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性 常系数方程 x1 ( t ) a 1 x 1 a 2 x 2
x 2 ( t ) b1 x1 b 2 x 2 a1 A b1 a2 b2 (9 )
系数矩阵记为
(1 0 )
为 研 究 方 程 （ 9) 的 唯 一 平 衡 点 P0 (0, 0)的 稳 定 性 ， 假 定 A 的 行 列 式
3h
5 2
)
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二、内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
( 400 3
3
1 2
h
2 5
3 2
) dh
2
h
r
100cm

0.62 2 g
h
2

5
h

) C
10
5
o hdh
h
t 0
利用初始条件, 得 C

14
100
0.62 2 g 15
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t

4.65 2 g
(7 10 10 h
5
3
3 2
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作业
P304.1,2, 3,4,5.
lim x ( t ) x 0
t
x x0
(3)
则称平衡点 x 0 是稳定的（渐进稳定);否则称 x 0 是不稳定的（不渐进稳定）。
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判断平衡点是否稳定通常有两种方法。利用定义即（3） 式称间接法。不求方程（1）的解，即不利用（3）式的方 法称直接法。下面介绍直接法 只取一次项，方程（1）近似为 将 f ( x ) 在 x 0点 作 T aylo r 展 开 ，
(1 7 )
系数矩阵记为
f x1 A g x1
fx 2 gx 2
(1 8)
P0 ( x1 , x 2 )
0 0
特征方程系数为
p ( fx fx )
1 2
, q d et A
P0
（1 9 ）
P 显然， 点对于方程（17）的稳定性由上表或准则（15）（16）
0
决定。且已证明了如下结论：
若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，则 P0
点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性 相同，即由准则（15），（16）决定。
最后，几点注意在事项： （2）非线性方程(1)(6)的平衡点的稳定性，与相应的近似线 性方程(4)(17)的平衡点的稳定性一致，是在非临界情况下
化规律. 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
h h
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
r
100cm
o hdh
即 设在
d V 0.62 2g h d t
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
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对应下降体积
dV r dh
2
r 100 (100 h)