江苏高二高中数学期末考试带答案解析

江苏高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.极坐标系中，两点的距离AB= ．
2.已知矩阵
不存在逆矩阵，则x= ．
3.已知随机变量X 的方差V （X ）=1，设随机变量Y=2X+3，则V （Y ）= ．
4.抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，向上的点数不同时，其中有一个点数为2的概率为 ．
5.参数方程（θ为参数）化为普通方程为 ．
6.直线l 经过点、倾斜角为
，圆O 的方程为：
，则l 与圆O 的两个交点到点A 的距离之积
为 ． 7.已知
的展开式的二项式系数之和比（a+b ）2n 的展开式的系数之和小240，则
的展开式
中系数最大的项是 ．
8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a ，b ，c ∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，则
的最小值为 ．
9.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和
，且各株大树
是否成活互不影响，在移栽的4株大树中，两种大树各成活1株的概率为 ． 10.除以9的余数为 ．
11.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的方法共有 种（用数字作答）． 12.矩阵A ＝
（k≠0）的一个特征向量为α＝
，A 的逆矩阵A －
1对应的变换将点（3，1）变为点（1，
1）．则a+k = ．
13.100只灯泡中含有n （2≤n≤92）只不合格品，若从中一次任取10只，记“恰好含有2只不合格品”的概率为f （n ），当f （n ）取得最大值时，n= ．
14.某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为 （用数字作答）．
二、解答题
1.（本小题14分）在极坐标系中，已知到直线l ：
的距离为3．
（1）求m 的值．
（2）设P 是直线l 上的动点，点Q 在线段OP 上，满足，求点Q 的轨迹方程．
2.（本小题14分）在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为
（a ＞b ＞0， 为参数），以Ο为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点对应的参数
．
与曲线C 2交于点
．
（1）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程； （2）
，
是曲线C 1上的两点，求
的值．
3.（本小题15分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （0，2），B （1，1），C （1，3）．若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，其中B （1，1）在变换T 作用下变为点B 1（1，-1）． （1）求切变变换T 所对应的矩阵M ；
（2）将△A 1B 1C 1绕原点按顺时针方向旋转45°后得到△A 2B 2C 2．求B 1变化后的对应点B 2的坐标．
4.（本小题15分）已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子， 每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验， 设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．
（1）求随机变量的分布列及的数学期望； （2）记“不等式的解集是实数集R”为事件A ，求事件A 发生的概率
．
5.（本小题16分）设数列｛a n }为等比数列，首项
，公比q 是
的展开式中的第二项．
（1）用n ，x 表示数列｛a n ｝的前n 项和S n; （2）若，用n ，x 表示A n ．
6.（本小题16分）设n 为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n ，x ∈N *}，记数集P 的所有k （1≤k≤n ，k ∈N *）元子集的所有元素的和为P k ． （1）求P 1，P 2;
（2）求P 1+P 2+…+P n ．
江苏高二高中数学期末考试答案及解析
一、填空题
1.极坐标系中，两点
的距离AB= ．
【答案】7
【解析】由题意得： A ，B 与极点三点共线，因此
【考点】极坐标
2.已知矩阵
不存在逆矩阵，则x= ．
【答案】5
【解析】由题意得： 【考点】逆矩阵
3.已知随机变量X 的方差V （X ）=1，设随机变量Y=2X+3，则V （Y ）= ． 【答案】4
【解析】由题意得： 【考点】方差
4.抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，向上的点数不同时，其中有一个点数为2的概率为 ． 【答案】
【解析】抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，向上的点数不同共有种情况，其中有一个点数为2的有
种情况，因此概率为
【考点】古典概型概率
5.参数方程（θ为参数）化为普通方程为 ．
【答案】，
【解析】由
得
，又
，所以
，因此普通方程为，
【考点】参数方程化普通方程
6.直线l经过点、倾斜角为，圆O的方程为：，则l与圆O的两个交点到点A的距离之积
为．
【答案】4
【解析】由题意得：直线l参数方程为，代入圆O的方程得：，因此
由直线参数方程几何意义得l与圆O的两个交点到点A的距离之积为
【考点】直线参数方程几何意义
7.已知的展开式的二项式系数之和比（a+b）2n的展开式的系数之和小240，则的展开式
中系数最大的项是．
【答案】
【解析】由题意得：，因此的展开式中系数最大的项是第3项，为
【考点】二项式系数性质，二项式定理
8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为．
【答案】
【解析】由题意得：，因此
当且仅当时取等号
【考点】数学期望，基本不等式求最值
9.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响，在移栽的4株大树中，两种大树各成活1株的概率为．
【答案】
【解析】由题意得：所求概率为
【考点】独立事件同时发生概率
10.除以9的余数为．
【答案】7
【解析】因为，所以除以9的余数为
【考点】二项式定理应用
11.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的方法共有种（用数字作答）．【答案】144
【解析】由题意得：
【考点】排列组合
12.矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．
【答案】3
【解析】由题意得矩阵A的特征值为而特征向量α＝对应特征值为1，当时，又，所以当时，同理可得
【考点】矩阵特征值及特征向量，逆矩阵
13.100只灯泡中含有n（2≤n≤92）只不合格品，若从中一次任取10只，记“恰好含有2只不合格品”的概率为f （n），当f（n）取得最大值时，n= ．
【答案】20
【解析】由题意得：，则由
当时，；当时，；因此当f（n）取得最大值时，n=20
【考点】组合数性质
14.某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为（用数字作答）．
【答案】4200
【解析】先按顺序依次选三人共有，再去掉顺序数：
【考点】排列组合
二、解答题
1.（本小题14分）在极坐标系中，已知到直线l：的距离为3．
（1）求m的值．
（2）设P是直线l上的动点，点Q在线段OP上，满足，求点Q的轨迹方程．
【答案】（1）2（2）
【解析】（1）先将直线l极坐标方程：化为直角坐标方程：x-y-=0，，再利用点到
直线距离公式列等量关系：，解得m=2（2）由于，所以利用极坐标求轨迹方程
比较方便：设，则，因此点Q的轨迹方
程是：
试题解析：（1）以极点为原点，极轴为x的正半轴建立直角坐标系，则，
直线l的直角坐标方程是：x-y-=0，A到l的距离
所以m="2"
由（1）得直线l的极坐标方程为，设，
则所以
点Q的轨迹方程是：．
【考点】点到直线距离公式，转移法求动点轨迹方程
2.（本小题14分）在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为
（a ＞b ＞0， 为参数），以Ο为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点对应的参数
．
与曲线C 2交于点
．
（1）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程； （2）
，
是曲线C 1上的两点，求 的值．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】（1）利用同角三角函数平方关系，消去参数，得曲线C 1普通方程，先确定曲线C 2极坐标方
程ρ=2cosθ，再利用
将极坐标化为直角坐标方程：（2）由题意得：
，∴
+
=（
+
）+（
+
）=
．．
试题解析：（1）将M （2，
）及对应的参数=
；θ=
； 代入得：得：
∴曲线C 1的方程为：
（为参数）即：． 设圆C 2的半径R ，则圆C 2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D （，
）
代入得：
=2R
∴R=1
∴圆C 2的方程为：ρ=2cosθ即：．
将A （ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C 1得：
∴
+
=（
+）+（+）=．
【考点】参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程
3.（本小题15分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （0，2），B （1，1），C （1，3）．若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，其中B （1，1）在变换T 作用下变为点B 1（1，-1）． （1）求切变变换T 所对应的矩阵M ；
（2）将△A 1B 1C 1绕原点按顺时针方向旋转45°后得到△A 2B 2C 2．求B 1变化后的对应点B 2的坐标． 【答案】（1）
；（2）B2（0，
）
【解析】（1）根据点对应关系列等量关系：设
，则有
，解得
（2）由旋转变
换得
试题解析：（1）设，则有得
所以
由
得B 2（0，）
【考点】切变变换，旋转变换
4.（本小题15分）已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子， 每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验， 设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．
（1）求随机变量的分布列及的数学期望； （2）记“不等式的解集是实数集R”为事件A ，求事件A 发生的概率
．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）独立重复试验概率一要注意次数选择，二要明确成功与失败皆为可能事件．先确定随机变量的取法，再逐一求其概率，最后利用公式求数学期望（2）由不等式的解集是实数集R ，得的可能取值为0，2，因此
．
试题解析：（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为， 相应地，实验失败的次数可能为，
所以的可能取值为．
所以的分布列为
期望
．
（2）的可能取值为0，2，4． 当时，不等式为对恒成立，解集为， 当时，不等式为，解集为， 时， 不等式为，解集为
，不为
，
所以
．
【考点】数学期望，独立重复试验概率
5.（本小题16分）设数列｛a n }为等比数列，首项，公比q 是
的展开式中的第二项．
（1）用n ，x 表示数列｛a n ｝的前n 项和S n; （2）若，用n ，x 表示A n ． 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）先根据组合数及排列数的性质，得，因此，，再根据二项式定理得第二项
为，最后根据公比讨论数列｛a n ｝的前n 项和Sn;（2）分情况求An ．：当x=1时
，利用倒序相加求和；当x≠1时，
，利用二项式定理求和
试题解析：（1）
．
（2）当x=1时，Sn=n ， 所以：
又
，
∴上两式相加得：2An=n =n•2n ，
∴An=n•（2n-1）， 当x≠1时，
，所以有：
【考点】等比数列求和，利用倒序相加求，利用二项式定理求和
6.（本小题16分）设n 为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n ，x ∈N *}，记数集P 的所有k （1≤k≤n ，k ∈N *）元子集的所有元素的和为P k ． （1）求P 1，P 2;
（2）求P 1+P 2+…+P n ． 【答案】（1）P 1=
， P2=
（2）n （n+1）·2n-2
【解析】（1）及时定义的题目，关键从定义出发：P 1=1+2+3+…+n=，数集P 的2元子集中，每个元素
均出现n-1次，故P 2=（n-1）（1+2+3+…+n ）=
（2）类似得P k =·（1+2+3+…+n ）=， 则P 1+P 2+…+Pn=
（
+
+
+…
）=
·2n-1 试题解析：（1）易得数集P={1，2，3，…，n}， 则P 1=1+2+3+…+n=，
数集P 的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故 P 2=（n-1）（1+2+3+…+n ）=
．
（2）易得数集P 的k （1≤k≤n ，k ∈N*）元子集中，每个元素均出现次，
故P k =
·（1+2+3+…+n ）=
， 则P 1+P 2+…+Pn=
（
+
+
+…
）=
·2n-1=n （n+1）·2n-2．
【考点】新定义题目，组合数性质。