2015-2016学年四川省成都市青羊区树德中学七年级(下)期中数学试卷(北师大版)

2015-2016学年四川省成都市青羊区树德中学
七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分，请将答案涂在机读答题卡上）
1．（3分）下列运算正确的是（）
A．a4+a5=a9B．a3•a3•a3=3a3
C．2a4•3a5=6a9D．（﹣a3）4=a7
2．（3分）纳米技术是一门新兴技术，纳米是一个长度单位，1纳米=米，则关系式“1纳米=10n米”中n应该为（）
A．﹣10B．﹣8C．﹣9D．10
3．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（）
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）下列多项式相乘不能用平方差公式的是（）
A．（2﹣x）（x﹣2）B．（﹣3+x）（x+3）
C．（2x﹣y）（2x+y）D．
5．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形6．（3分）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）
A．a2+b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，则∠AFD的度数是（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（）
A．180°B．270°C．360°D．540°10．（3分）如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（）
A．第3分时汽车的速度是40千米/时
B．第12分时汽车的速度是0千米/时
C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（4分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积为．
12．（4分）等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为．13．（4分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2=．
14．（4分）若x2﹣kx+36是完全平方式，则k=．
15．（4分）如图，已知AB∥CD，DF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE=50°，则∠BHF=．
三、计算下列各题（每小题20分，共20分）
16．（20分）（1）（﹣1）2015×[（﹣）﹣2﹣1]﹣（π﹣3.14）0
（2）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）
（3）
（4）解方程：=1
四、解答题（17题8分，18题6分，19题8分，20题8分，共30分）17．（8分）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE=60°，求∠4的度数．
18．（6分）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求代数式（2x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣y）2+xy 的值？
19．（8分）小华在暑假社会实践过程中，以每千克0.5元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示，请你根据图象提供的信息完成以下问题：
（1）求降价前销售金额y（元）与售出西瓜x（千克）之间的关系式？
（2）小华从批发市场共购进多少千克西瓜？
（3）小华这次卖瓜赚了多少钱？
20．（8分）如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的面积为；
（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关
系式：；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=．
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
一、填空题（每题4分，共20分）
21．（4分）若x m=4，x n=8，则x2m﹣n=．
22．（4分）∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63°，∠3=度．23．（4分）如图，已知△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，若∠B=50°，则∠AOC=．
24．（4分）已知角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的3倍少30度，则α=．
25．（4分）若x2﹣5x+2=0，则x4﹣3x3﹣7x2﹣x+7=．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共30分）
26．（8分）已知m、n满足：2m+2n=mn+5，且展开式（x2﹣2x+n）（x2+x+m）中不含x2，求代数式m2+n2﹣mn的值？
27．（10分）众所周知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，
（1）若∠1=50°，则∠2=，∠3=；
（2）若∠1=α，则∠2=，∠3=；
（3）结合（1）和（2），猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=时，总有m ∥n，并给出详细证明过程？
28．（12分）材料：如图1，在面积为1的小正方形网格图中，小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）图1中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如表：请用含x的代数式表示S，即S=．
（2）进一步探索：图1中⑤﹣⑧的格子多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格子多边形的面积S），再归纳出此时S和x的关系式：S=；
（3）请你继续探索：请你在图2上画出一些格点多边形，当格点多边形内部有且只有n（n≥1）个格点时，猜想S与n、x之间的关系式：S=．
2015-2016学年四川省成都市青羊区树德中学
七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分，请将答案涂在机读答题卡上）
1．（3分）下列运算正确的是（）
A．a4+a5=a9B．a3•a3•a3=3a3
C．2a4•3a5=6a9D．（﹣a3）4=a7
【分析】①同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方法则，幂的乘方底数不变指数相乘；
③合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的
指数保持不变．
【解答】解：A、a4+a5=a4+a5，不是同类项不能相加；
B、a3•a3•a3=a9，底数不变，指数相加；
C、正确；
D、（﹣a3）4=a12．底数取正值，指数相乘．
故选：C．
【点评】注意把各种幂运算区别开，从而熟练掌握各种题型的运算．
2．（3分）纳米技术是一门新兴技术，纳米是一个长度单位，1纳米=米，则关系式“1纳米=10n米”中n应该为（）
A．﹣10B．﹣8C．﹣9D．10
【分析】首先把1纳米表示成米，再利用科学记数法表示，绝对值小于1的正数，表示成形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：1纳米=米=0.000000001米=10﹣9米，
n=﹣9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其
中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（）
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【解答】解：当∠B+∠BCD=180°，AB∥CD；当∠1=∠2时，AD∥BC；当∠3=∠4时，AB∥CD；当∠B=∠5时，AB∥CD．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．（3分）下列多项式相乘不能用平方差公式的是（）
A．（2﹣x）（x﹣2）B．（﹣3+x）（x+3）
C．（2x﹣y）（2x+y）D．
【分析】根据两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，才能运用平方差公式解答即可．
【解答】解：A选项中，两项都是互为相反数，不符合平方差公式．
B、C、D选项中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A．
【点评】本题主要考查平方差公式，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
5．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°×=40°，180°×=60°，180°×=80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：B．
【点评】三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）；
三角形按角分类：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形．
6．（3分）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断．
【解答】解：（1）同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；
（2）强调了在平面内，正确；
（3）不符合对顶角的定义，错误；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．
故选：B．
【点评】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
7．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）
A．a2+b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【分析】（1）中的面积=a2﹣b2，（2）中梯形的面积=（2a+2b）（a﹣b）÷2=（a+b）（a﹣b），两图形阴影面积相等，据此即可解答．
【解答】解：由题可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，则∠AFD的度数是（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
【分析】由DF⊥BC有∠FDB=90°，而∠EDF=70°，根据三角形内角和定理得到∠BDE=90°﹣70°=20°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，根据三角形内角和定理得到求出∠B的度数和∠C的度数，进而求出∠CFD的度数，利用邻补角的知识求出∠AFD的度数．
【解答】解：∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90°，
而∠EDF=70°，
∴∠BDE=90°﹣70°=20°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠B=180°﹣∠DEB﹣∠BDE=180°﹣90°﹣20°=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∴∠CFD=90°﹣70°=20°，
∴∠AFD=180°﹣20°=160°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的知识，解题的关键是求出∠B和∠C的度数，此题难度不大．
9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（）
A．180°B．270°C．360°D．540°
【分析】首先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．
【解答】解：过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠NPA=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选：C．
【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
10．（3分）如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（）
A．第3分时汽车的速度是40千米/时
B．第12分时汽车的速度是0千米/时
C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
【分析】根据图象反映的速度与时间的关系，可以计算路程，针对每一个选项，逐一判断．
【解答】解：横轴表示时间，纵轴表示速度．
当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A对；
第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B对；
从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40×=2千米，C错；
从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D对．
综上可得：错误的是C．
故选：C．
【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（4分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积为4ab﹣3a﹣2．
【分析】根据长方形的面积公式分别算出大长方形、小长方的面积，再进行相减即可求出剩余部分的面积．
【解答】解：（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）
=6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b
=4ab﹣3a﹣2．
故剩余部分面积为4ab﹣3a﹣2．
故答案为：4ab﹣3a﹣2．
【点评】此题考查了多项式乘多项式、整式的混合运算，掌握长方形的面积公式是解题的关键，是一道基础题．
12．（4分）等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为18或21．
【分析】本题应分为两种情况8为底或5为底，还要注意是否符合三角形三边关系．
【解答】解：当8为腰，5为底时；8﹣5＜8＜8+5，能构成三角形，此时周长=8+8+5=21；
当8为底，5为腰时；8﹣5＜5＜8+5，能构成三角形，此时周长=5+5+8=18；
故答案为18或21．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
13．（4分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2= 60°．
【分析】根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=
∠3．
【解答】解：∵∠1=30°，
∴∠3=180°﹣90°﹣30°=60°，
∵直尺两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（4分）若x2﹣kx+36是完全平方式，则k=±12．
【分析】由完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，把所求式化成该形式就能求出k的值．
【解答】解：x2﹣kx+36=（x±6）2，
解得k=±12．
故答案为：±12．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项，比较简单．
15．（4分）如图，已知AB∥CD，DF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE=50°，则∠BHF=115°．
【分析】由AB∥CD得到∠AGE=∠CFG，又FH平分∠EFD，∠AGE=50°，由此可以先后求出∠GFD，∠HFD，∠BHF．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CFG=∠AGE=50°，
∴∠GFD=130°；
又FH平分∠EFD，
∴∠HFD=∠EFD=65°；
∴∠BHF=180°﹣∠HFD=115°．
故答案为：115°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，当两直线平行时，应该想到它们的性质；
由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
三、计算下列各题（每小题20分，共20分）
16．（20分）（1）（﹣1）2015×[（﹣）﹣2﹣1]﹣（π﹣3.14）0
（2）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）
（3）
（4）解方程：=1
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式逆用积的乘方运算法则变形，计算即可求出值；
（4）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）原式=﹣1×8﹣1=﹣8﹣1=﹣9；
（2）原式=﹣8x7y3﹣4x7y3=﹣12x7y3；
（3）原式=（﹣×3）1999×3×（﹣×）99×（﹣）=﹣4；
（4）去分母得：4x+2﹣5x+1=6，
移项合并得：﹣x=3，
解得：x=﹣3．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（17题8分，18题6分，19题8分，20题8分，共30分）
17．（8分）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE=60°，求∠4的度数．
【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠1+∠3=90°，再根据角平分线的定义，即可得到∠BGH+∠DHG=2（∠1+∠3）=180°，进而得出AB∥CD；（2）依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠DHG=180°﹣60°=120°，再根据HP平分∠GHD，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠GPH=90°，
∴△GHP中，∠1+∠3=90°，
又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，
∴∠BGH=2∠1，∠DHG=2∠3，
∴∠BGH+∠DHG=2（∠1+∠3）=180°，
∴AB∥CD；
（2）∵∠BGH=∠AGE=60°，
∴∠DHG=180°﹣60°=120°，
又∵HP平分∠GHD，
∴∠4=∠DHG=×120°=60°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．18．（6分）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求代数式（2x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣y）2+xy 的值？
【分析】将已知等式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，原式化简后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：（x﹣2）2+（y+3）2=0，
可得x=2，y=﹣3，
则原式=2x2﹣3xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2+xy=x2﹣3y2=3﹣27=﹣24．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及配方法的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）小华在暑假社会实践过程中，以每千克0.5元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示，请你根据图象提供的信息完成以下问题：
（1）求降价前销售金额y（元）与售出西瓜x（千克）之间的关系式？
（2）小华从批发市场共购进多少千克西瓜？
（3）小华这次卖瓜赚了多少钱？
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx，把已知坐标代入解析式可解；（2）降价前西瓜售价每千克1.6元．降价0.4元后西瓜售价每千克1.2元，故可求出降价后销售的西瓜；
（3）依题意解答即可．
【解答】解：（1）设函数的解析式是y=kx，把x=40，y=64代入得：40k=64，解得k=1.6．
则函数的解析式是y=1.6x．
（2）∵价前西瓜售价每千克1.6元．降价0.4元后西瓜售价每千克1.2元．
降价后销售的西瓜为（76﹣64）÷1.2=10（千克）
∴小华从批发市场共购进50千克西瓜．
（3）76﹣50×0.8=76﹣40=36（元）．
即小华这次卖瓜赚了36元钱．
【点评】本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，关键是根据y与x 的函数关系式解答．
20．（8分）如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的面积为（m﹣n）2；
（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式：（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=±5．
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．
（2）熟练掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．
（3）此题可参照第二题．
（4）可参照图3进行画图．
【解答】解：（1）由图可得小正方形的边长为m﹣n，则它的面积为（m﹣n）2；故答案为：（m﹣n）2；
（2）大正方形的边长为m+n，则它的面积为（m+n）2，另外，大正方形的面积可用4个小长方形和1个小正方形表示，即（m﹣n）2+4mn，所以有（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；
故答案为：（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；
（3）由（2）可知：（x﹣y）2+4xy=（x+y）2，将x+y=﹣6，xy=2.75代入该式得x ﹣y=±5；
故答案为：±5；
（4）答案不唯一：
例如：
【点评】本题考查了完全平方公式的背景知识，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式．
一、填空题（每题4分，共20分）
21．（4分）若x m=4，x n=8，则x2m﹣n=2．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵x m=4，x n=8，
∴x2m﹣n=（x m）2÷x n
=42÷8
=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
22．（4分）∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63°，∠3=153度．
【分析】根据余角、补角定义来求此题．
【解答】解：∵∠1+∠2=90°，∠1=63°，
∴∠2=27°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠3=153°．
【点评】本题考查了余角和补角的概念．（互余的两个角和为90°，互补的两角和为180°）．
23．（4分）如图，已知△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，若∠B=50°，则∠AOC=130．
【分析】根据四边形的内角和为360°，求出∠EOD即可解决问题；
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BEO=∠BDO=90°，
在四边形BEOD中，∠EOD=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵∠AOC=∠EOD，
∴∠AOC=130°，
故答案为130°．
【点评】本题考查四边形内角和定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（4分）已知角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的3倍少30度，则α=60°或150°．
【分析】分两种情况讨论，依据角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的3倍少30度，即可得到关于α，β的方程组，进而得出α的值．【解答】解：如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，
过C作CF∥AB，则
，
解得α=60°；
如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，
过C作CF∥AB，则
，
解得α=150°；
综上所述，α的度数为60°或150°．
故答案为：60°或150°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，利用平行线的性质进行计算．
25．（4分）若x2﹣5x+2=0，则x4﹣3x3﹣7x2﹣x+7=5．
【分析】根据x2﹣5x+2=0，可以得到x2﹣5x的值，然后将所求式子变形即可解答本题．
【解答】解：∵x2﹣5x+2=0，
∴x2﹣5x=﹣2，
∴x4﹣3x3﹣7x2﹣x+7
=x2（x2﹣5x）+2x3﹣7x2﹣x+7
=﹣2x2+2x3﹣7x2﹣x+7
=2x3﹣9x2﹣x+7
=2x（x2﹣5x）+x2﹣x+7
=﹣4x+x2﹣x+7
=x2﹣5x+7
=﹣2+7
=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是找出已知式子与未知式子之间的关系，利用因式分解法解答．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共30分）
26．（8分）已知m、n满足：2m+2n=mn+5，且展开式（x2﹣2x+n）（x2+x+m）中不含x2，求代数式m2+n2﹣mn的值？
【分析】先将题目中的式子根据多项式乘多项式的计算法则计算，然后根据（x2﹣2x+n）（x2+x+m）中不含x2项，可以求得m+n、mn的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：（x2﹣2x+n）（x2+x+m）
=x4+x3+mx2﹣2x3﹣x2﹣2mx+nx2+nx+mn
=x4﹣x3+（m+n﹣1）x2+（﹣2m+n）x+mn，
∵（x2﹣2x+n）（x2+x+m）中不含x2，
∴m+n﹣1=0，
∴m+n=1，
∵2m+2n=mn+5，
∴mn=﹣3，
∴m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=1+9=10．
【点评】考查了多项式乘多项式，完全平方公式，关键是求出m+n、mn的值．27．（10分）众所周知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，（1）若∠1=50°，则∠2=100°，∠3=90°；
（2）若∠1=α，则∠2=2α，∠3=90°；
（3）结合（1）和（2），猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=90°时，总有m ∥n，并给出详细证明过程？
【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=50°，再利用平角的定义得∠5=80°，然后利用平行线的性质计算出∠2=100°，则∠6=40°，再利用三角形内角和定理计算∠3；
（2）运用同样的方法可得当∠1=α时，∠3=90°；
（3）当∠3=90°时，根据三角形内角和定理得∠4+∠6=90°，则2∠4+2∠6=180°，利用平角的定义得到∠2+∠5=180°，然后根据平行线的判定得到m∥n．【解答】解：（1）∵∠1=∠4=50°，
∴∠5=180°﹣2×50°=80°，
∵m∥n，
∴∠2+∠5=180°，
∴∠2=100°，
∴∠6=（180°﹣∠2）=40°，
∴∠3=180°﹣∠4﹣∠6=90°；
（2）∵∠1=∠4=α，
∴∠5=180°﹣2α，
∵m∥n，
∴∠2+∠5=180°，
∴∠2=2α，
∴∠6=（180°﹣∠2）=90°﹣α，
∴∠3=180°﹣∠4﹣∠6=90°；
（3）当∠3=90°时，m∥n．理由如下：
∵∠3=90°，
∴∠4+∠6=90°，
∴2∠4+2∠6=180°，
∴∠2+∠5=180°，
∴m∥n．
故答案为：100°，90°；2α，90°；90°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
28．（12分）材料：如图1，在面积为1的小正方形网格图中，小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）图1中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如表：请用含x的代数式表示S，即S=x．
（2）进一步探索：图1中⑤﹣⑧的格子多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格子多边形的面积S），再归纳出此时S和x的关系式：S=x+1；
（3）请你继续探索：请你在图2上画出一些格点多边形，当格点多边形内部有且只有n（n≥1）个格点时，猜想S与n、x之间的关系式：S=x+（n﹣1）．【分析】（1）根据图表的数据可以直接得到S=x；
（2）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，分别计算⑤到⑧的面积，进而得出答案；
（3）继续探索：在图2上画出一些内部有3个格点的多边形，根据规律可知：当格点多边形内部有且只有n（n≥1）个格点时，图形的面积．
【解答】解：（1）∵①各边上格点个数和为：4，S=2，②各边上格点个数和为：5，S=2.5，
③各边上格点个数和为：6，S=3，
④各边上格点个数和为：7，S=3.5，
∴S=x；
故答案为：x；
（2）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，
⑤的各边上格点的个数为4，S=2×3﹣﹣×1×1×2=6﹣2﹣1=3，
⑥的各边上格点的个数为5，S=2×3﹣2×﹣=6﹣1﹣=3.5，
⑦的各边上格点的个数为6，S=2×3﹣4×=4，
⑧的各边上格点的个数为8，S=2×3﹣×1×2=5，
∴S=x+1；
故答案为：x+1，3，3.5，4，5；
（3）由图2可知多边形内部都有而且只有3个格点时，
①的各边上格点的个数为4，S=2×4﹣4×=8﹣4=4，
②的各边上格点的个数为5，S=3×3﹣2×﹣﹣=4.5，
③的各边上格点的个数为6，S=3×3﹣﹣﹣=5，
④的各边上格点的个数为7，S=2×4﹣×1×2﹣3×=5.5，
⑤的各边上格点的个数为8，S=2×4﹣=6，
∴S=x+2；
…
可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=x+（n﹣1）．
故答案为：S=x+（n﹣1）．
【点评】此题主要考查了应用作图与设计，此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．。