高等数学两个重要极限

求 lim sin 5x x0 x
解： lim sin 5x x0 x
5lim sin 5x x0 5x
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
lim 5sin 5x
sin 5x
x0 5x lim
x0 5lim sin 5x 51 5 x0 5x
x
注：在运算 熟练后可不 必代换，直 接计算：
lim
x
例3
(1
x求 1 )x
1
e x
lim(1 2 )x1 (1 2 )
x x 1
x 1
lim x 1 x x x 1
lim
x
(1
2
x1
)2
x 1
2
(1
2) x 1
解
1
e2 . 计算lim(1 2x)x . x0
1
1 2
lim(1 2x) x lim(1 2x)2x
x0
x
1. lim sin x _____ ; x x
作业 P34 1 (1) (3) (5) (8)
(9) (12) ; 2
填空题 ( 1～4 )
第七节
练习题
3、 lim x cot3x x0
1、 lim sin x x0 x
2、 lim sin 2x x0 sin 3x
lim sin x x0 x
注意这个极限的特征：
底为两项之和，第一项为1，第 二项是 无穷小量，指数与第二 项互为倒数 。
型
1
lim（1 ( x)) ( x) e
（x )0
1 lim (1
( x)
1
(x)
) ( x)
e
,
例1. 求 解: 令 则 说明 ：若利用 则 原式 一般地 时，
lim (1 ) e , lim (1
sin x 设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
x
2
设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ‘.
当
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积
即
亦故即有 显然有
注
例1
所以 ,原式 5lim sin t t0 t
x
1 x
)
x.
( x) lim (1
x
1 x
)
x
1 (x) ( x)
lim (1 ) e lim(1
t
1t )
t
lim 1
t
x
1 x 1 1 x
1
lim(1
t
1t )t
lim
x
1
k x
x
ek
例2 解
结论：
原式 lim(1 2 )x x x 1
(1
解一
1 解二
)
x
e 原式
sin(x 1) 1
lim[
]
x1 x 1 x 1
例6 求
原式 lim sin x(1 cos x) x0 x3 cos x
lim(sin x 1 cos x 1 ) 1 1 1 1
x0 x
x2 cos x
22
例7 求
解
于是
二、
用x代替n, 可得
(1 1 )n (1 1)x (1 1)n1,
e1
1
lim1 (1 x) 1x
x1
思考题 求极限 思考题解答
1
9
lim x
1
1 3x
3x
3xx
lim 3 9 x
x
1
1
lim 3x 9x x
x x x
1
lim 9x x
1 x
1 3x
1 x
时情形
(2) 当x 取实 数
时情形
令 则 此极限也可写为
lim (1 1 ) x lim (1 1)t
x
x
t
t
lim (1 1 )t
t
t 1
lim (1 1 )t 1 (1 1 )
1 x
z
t
t 1
t 1
lim(1 1 ) x e
1
lim (1 z) z e
x
x
z0
说明: 计算中注 意利用
练习. 求下列 极限:
（1） lim sin 3x x0 x
解：lim sin 3x lim 3sin 3x
Hale Waihona Puke x0xx0 3x
sin 3x 3lim
x0 3x
解：lim sin 5x x0 3x
lim(sin 5x)(5) x0 5x 3
1 5 5 33
（2） lim sin 5x x0 3x
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两个重要极限
一、
lim sin x 1 x0 x
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn}及{zn} 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
a.
1.夹逼准则 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
2
lim 1
x0
cos x2
x
.
lim
x0
2sin 2 x2
x 2
1 12 2
求
sin(x 1)
lim
x1
x2 1
lim x 1
sin( x 1) x2 1
lim
sin( x 1)
x 1 ( x 1)( x 1)
lim s in( x 1) lim
1
x 1
x 1
x1 x 1
1 1 1 11 2
lim sin 2x 3x 2 x0 2x sin 3x 3
3x
1
lim
cos 3x
x0 sin 3x
3
4、 lim sin x __________. x 2x
1 3
5 、
lim (1 x
x
x
)2 x
_________
lim
x
1
1 x
x
2
e2
1
6、 lim x1x _________ x1
x
1 x
1 x
解 或
内容小结
两个重要极限 或
注: 代表相 同的表达式
(2) lim ( 1 1 ) e
lim (1
(1) lim sin
0
1
0
1
) e
思考与练习
4. lim (1 1)n ____; 2. lim x sin 1 ____ ;
n n
x
x
3. lim xsin 1 ____ ;
）
o
准则Ⅰ′ 如果当 x U (x0, ) (或
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0
x x0
( x )
( x )
那么 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
)时,有
（ ）
（
首先注意到
函数 sin x 对一切x 0都有定义 x
例2. 求 解:
练习.
lim arcsin x . x0 x
lim t 5
t0 sin t
3 lim 1 t 0
(1) lim arcsin 3x
x0
x
3
（2）lim arcsin 5x x0 3x
例3. 求 解: 令 则 因此 原式 练习.
例4. 求
解: 原 式= 例5. 解:
lxim0 sin
n 1
x
n
而 lim(1 1 )n1
n
n
lim(1 1 )n
n
n 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )1
n
n 1
n
n 1
lim(1 1 ) n lim(1 1 )
n
n
n
n
1
1
1 1 1 1 ,
n 1
x
n
(1) 当x 取实数 对任意正数 x，总有 n为非负整数，则有
x0
x0
练习1.
练习2.
求
lim( x 1
x
)x. x
1 lim(1
x
1)x x
lim ( x )x lim 1
x 1 x
x (1 1)x
x
1. e
lim(1 1 )x11 x 1 x
lim( x )x lim( x 1 1)x
x 1 x
x 1 x
lim(1 1 )x1 (1 1 )1