湖南省衡阳县第一中学高三数学9月月考试题 文

衡阳县一中2017届高三9月月考数学（文科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，集合N={x|y=，x∈R}，则M∩N=（）
A．{t|0≤t≤3} B．{t|﹣1≤t≤3} C．{（﹣，1）（，1）} D．∅
2．已知集合A={1，2}，B={1，a，b}，则“a=2”是“A⊆B”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）
A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）
4．执行如图所示程序框图，输出的x值为（）
A．4 B．11 C．13 D．15
5．函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在区间是（）
A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6.设函数f（x）=，则f（f（3））=（）
A． B．3 C． D．
7．如果函数f（x）=x2﹣ax﹣3在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数a满足的条件是（）
A．a≥8 B．a≤8 C．a≥4 D．a≥﹣4
8．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
9．函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）
A．B．C．D．
10．已知变量x，y满足，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）
A．e2 B．e C． D．ln2
12．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（）
A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知A={x|x2﹣x+a=0}=∅，则实数a的取值范围是________．
14.已知函数f(x)为奇函数,函数f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则f(3)= .
15.函数y=()的值域为________
16．已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知A={x|x2+4x+4=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中a∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
18．已知向量=（sinx，cosx），=，x∈R，函数f（x）=•．
（1）求f（x）的最大值；
（2）解关于x的不等式f（x）≥．
19.（本小题满分12分）已知
())2,0(,54sin πααπ∈=
-．
（Ⅰ）求
2cos 2sin 2
α
α-的值；
（Ⅱ）求函数x x x f 2cos 21
2sin cos 65)(-=
α的单调递减区间．
20.已知函数()2(,,)
f x ax bx c a b c R =++∈，满足(0)1,(1)0f f ==，
且
()
1f x +是偶函数．
（1）求函数
()
f x 的解析式；
（2）设
()()1(2)1f x x h x f x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式 2()()h x t h x +≤恒成立，求实数t 的取值范围．
21.设函数 （1）求曲线
()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程；
（2）设4a b ==，若函数
()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；
（3）求证：
230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 与曲线
22
:(2)1C y x --=交于A 、B 两点． （Ⅰ）求弦AB 的长；
（Ⅱ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为
3
)
4π
，求点P 到线段AB 的中点M 的距离．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C A D A D B C B A 二、填空题
13、a＞ 14. -1 15. [,+∞). 16. [5，+∞）
三、解答题
17.【解答】解：x2+4x+4=0，解得x=﹣2．∴A={﹣2}．
∵A∩B=B，∴B=∅或{﹣2}．
∴△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）≤0，解得a≤﹣1．
但是：a=﹣1时，B={0}，舍去．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
18.【解答】解：（1）∵向量=（sinx，cosx），=，x∈R，
∴函数f（x）=•=sinx+cosx=sin（x+），
当x+=+2kπ，k∈Z时，有最大值，f（x）max=1，
（2）由（1）f（x）=sin（x+），
∵f（x）≥，
∴sin（x+）≥，
∴+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，
∴2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
∴不等式的解集为{x|2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}
19.（1）
⎪⎭⎫
⎝⎛∈=
==-2,0,54sin )sin(παααπΘ，53cos =∴α；
则
2524253
1535422cos 1cos sin 22cos 2sin 2=+
-⨯⨯=+-=-ααααα； （2）
)42sin(222cos 212sin 212cos 212sin cos 65)(πα-=-=-=
x x x x x x f ，
令πππ
ππk x k 2234222+≤-≤+，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈,83,8ππππ，
所以函数x x x f 2cos 212sin cos 65)(-=
α的单调递减区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,83,8ππππ.
20.解（1）(0)11(1)021
12f c a f a b c b b c a ⎧
⎪===⎧⎪⎪=++=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪-=⎩
2
()21f x x x ∴=-+-………3分 （2） 2
2
(1) 1()(1) 1x x h x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ ，易知
()h x 在R 上单调递增， 22()()h x t h x x t x ∴+≤⇒+≤，
即
2
t x x ≤-对任意[,2]x t t ∈+恒成立， …………………………5分 令
2()x x x ϕ=-得 当
1
2t >
时，()x ϕ在
[],2t t +上单调递增，
2min ()()0
x t t t t t ϕϕ==-≥⇒≤或2t ≥，
2t ∴≥；…………………7分
②当
122t +≤
即3
2t ≤-时，()x ϕ在
[],2t t +上单调递增减，
22min ()(2)(2)(2)220
x t t t t t t ϕϕ=+=+-+≥⇒++≥，此式恒成立，
3
2t ∴≤-
…………………………………………………9分
③当312
2t -<≤时，2
min 1111()()2224x t t ϕϕ⎛⎫==-≥⇒≤- ⎪⎝⎭ 31
24
t ∴-
<≤-． ……………………………………………11分
综上，实数t 的取值范围的取值范围为[]1,2,4⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ．………12分
得2
()32f x x ax b '=++． 21.（Ⅰ）由，
因为
(0),(0)f c f b '==，
所以曲线
()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y bx c =+．………2分
（Ⅱ）当4a b ==时，， 所以
2()384f x x x '=++．
令
()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或
2
3x =-
．
()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：
x
(),2-∞-
2-
22,3⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭ 2
3-
2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
()
f x ' +
-
+
()f x
Z
c
]
32
27c -
Z
32027c -
<时，
所以，当0c >且
()3
2
.f x x ax bx c =+++()3244.
f x x x x c =+++()()()1230
f x f x f x ===12322(4,2),2,,,033x x x ⎛⎫⎛⎫
∈-∈--∈- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
存在 使得，
由
()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时， 函数
32()44f x x x x c =+++有三个不同零点．………………………………7分
（Ⅲ）当2
4120a b ∆=-<时，
2()320f x x ax b '=++>， (),x ∈-∞+∞，
此时函数
()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．
当2
4120a b =-=∆时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．
当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增； 当
0(,)
x x ∈+∞时，
()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增．
所以
()f x 不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数
()f x 有三个不同零点，则必有2
4120a
b ∆=->．
故
230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件． 当
4,0a b c ===，时，2
30a
b ->，
322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，
所以
230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此
230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．…………12分
22.解：（Ⅰ）直线l 的参数方程12232x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
代入曲线C 方程得24100t t +-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则124t t +=-，1210t t ⋅=-，
∴12214
AB t t =-=．………5分
（Ⅱ）P 的直角坐标为(2,2)-，所以点P 在直线l 上，又中点M 对应参数为12
2
2t t +=-，
由参数t 的几何意义，∴点P 到线段AB 中点M 的距离2
PM =．………10分。