乃东县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

乃东县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ）
A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1
B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1
C ．存在x 0＞0，使2≥1
D ．存在x 0≤0，使2
＜1
2． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象
可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
3． 己知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x+2，那么不等式2f （x ）﹣1＜0的解集是（ ）
A ．
B ．或
C ．
D ．
或
4． 椭圆=1的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5． 设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2
项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37
6． 下面是关于复数的四个命题：
p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，
p 3：z 的共轭复数为﹣1+i ， p 4：z 的虚部为1． 其中真命题为（ ） A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
7． 双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
8． 在等差数列{a n }中，a 3=5，a 4+a 8=22，则{}的前20项和为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．13
10．在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角
D ．等腰或直角三角形 11．已知集合23111
{1,(
),,}122
i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,
}2- D ．{}2
12．已知集合 M={x||x|≤2，x ∈R}，N={﹣1，0，2，3}，则M ∩N=（ ） A ．{﹣1，0，2} B ．{﹣1，0，1，2}
C ．{﹣1，0，2，3}
D ．{0，1，2，3}
二、填空题
13．已知函数22tan ()1tan x f x x =
-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 14．已知圆2
2
240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：
①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x
f x e -<的解集为(0,)+∞；
②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1
(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
16．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
17．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．
18．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．
20．（本小题满分10分）
已知曲线22
:149x y C +=，直线2,:22,x t l y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与夹角为30的直线，交于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
21．（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件
（2）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件+
=1．
22．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m ﹣n|＞10”概率．
23．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
24．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l
的交点为Q，求线段PQ的长．
乃东县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x
≥1．
故选：A
2． 【答案】A
【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.
3． 【答案】B
【解析】解：因为y=f （x ）为奇函数，所以当x ＞0时，﹣x ＜0， 根据题意得：f （﹣x ）=﹣f （x ）=﹣x+2，即f （x ）=x ﹣2， 当x ＜0时，f （x ）=x+2，
代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x ＜﹣3，
解得x ＜﹣，则原不等式的解集为x ＜﹣； 当x ≥0时，f （x ）=x ﹣2，
代入所求的不等式得：2（x ﹣2）﹣1＜0，即2x ＜5，
解得x ＜，则原不等式的解集为0≤x ＜，
综上，所求不等式的解集为{x|x ＜﹣或0≤x ＜}． 故选B
4． 【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2
，
则c=
=2
；
则椭圆的离心率为e==，
故选D ．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a 2=b 2+c 2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
5．【答案】D
【解析】
二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，
故含x2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．【答案】C
【解析】解：p
：|z|==，故命题为假；
1
p2：z2===2i，故命题为真；
，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；
∵，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．
故真命题为p2，p4
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1
∵双曲线的方程是y2﹣x2=1
∴a2=1，b2=3，
∴c2=a2+b2=4
∴a=1，c=2，
∴离心率为e==2．
故选：B．
【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系：
c2=a2+b2．
8．【答案】B
【解析】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11．
又a3=5，得d=，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．
{}的前20项和为：
==．
故选：B．
9．【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得=||||cos＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
==．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：∵，
又∵cosC=，
∴=，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．
故选：A．
11．【答案】D
【解析】
考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算
12．【答案】A
【解析】解：由M 中不等式解得：﹣2≤x ≤2，即M=[﹣2，2]， ∵N={﹣1，0，2，3}， ∴M ∩N={﹣1，0，2}， 故选：A ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
二、填空题
13．
【答案】π.
【解析】∵22tan ()tan 21tan x f x x x ==-
，∴2()tan 33f ππ==22
1tan 0
x k x ππ⎧≠+⎪
⎨⎪-≠⎩
，∴()f x 的定义域为(,)(,)(,)244
442k k k k k k ππππππ
ππππππ-+-+-++++，k Z ∈，将()f x 的图象如下图画出，从而可知其最小正周期为π，故填：，π.
14．【答案】(1,2)-，(,5)-∞.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，2
2
(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-， 而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞. 15．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x
g x e f x =，()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增，
∴()x f x e -<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =，()()
()0x
f x f x
g x e
'-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2
()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴
1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
16．【答案】2-
【解析】由题意，得33
6160C m =-，即3
8m =-，所以2m =-．
17．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可． 【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ， 所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：
故答案为：
18．【答案】
．
【解析】解：∵直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a ），解得a=﹣1或a=， 经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）(][),06,-∞+∞；（2）[]1,0-.
【解析】
试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(][),06,-∞+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上
恒成立，即10a -≤≤.
试题解析：
（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2426x x x ≤⎧
⎨-+-≥⎩或24426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或4426x x x ≥⎧
⎨-+-≥⎩，
解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(][),06,-∞+∞；
考
点：不等式选讲．
20．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，26y x =-+；（2.
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
.当sin()1θα+=时，||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 21．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；
结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，
联立方程化简可得，
116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，
故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，
故z2=116，
故z=2x+y的最大值为．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．
22．【答案】
【解析】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．
（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，
设成绩为x、y
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，
若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，
若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，
事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种
∴．
【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是，所以有：×组距=频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．
23．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
24．【答案】
【解析】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．
（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．
可得普通方程：直线l，射线OM．
联立，解得，即Q．
联立，解得或．
∴P．
∴|PQ|==2．
【点评】本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．。