概率论的基本概念

费马(Pierre de Fermat，1601～1665） 法国著名数学家，被誉为“业余数学家 王”。 费马一生从未受过专门的数学教育，数学
研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到
哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对 于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克· 牛顿、戈特弗里德· 威 廉· 凡· 莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论 天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天
小结 了解随机现象与随机试验的概念 样本空间和随机事件的定义
随机事件的关系和运算
A B
A1 , A2 ,, An 的积事件 ——
Ai
i 1
n
A1 , A2 ,, An , 的积事件 ——
Ai
i 1

5. 事件的差
A B (或 A \ B)
—— A 与B 的差事件
A B

A B
A B 发生
事件 A 发生，但 事件 B 不发生
6. 事件的互斥(互不相容)
象称为随机现象。
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面
出现的情况”.
结果有可能出现正面 也可能出现反面.
实例2
“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ，“6”. 实例3 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽 取一个产品”.
其结果可能为:
典型实例：
E1：抛一枚硬币, 观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况. E2 ：将一枚硬币抛掷三次, 观察正面、反面出现
的情况. E3：抛一颗骰子, 观察出现的点数. E4：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
二 样本空间
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 (或U)，也可以用 1， 2 等表
才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一。
克里斯蒂安· 惠更斯(Christiaan Huygens，1629年04月14日—1695年07月 08日)荷兰物理学家、天文学家、数学家、 他是介于伽利略与牛顿之间一位重要的物 理学先驱,是历史上最著名的物理学家之 一，他对力学的发展和光学的研究都有杰 出的贡献，在数学和天文学方面也有卓越 的成就，是近代自然科学的一位重要开拓 者。他建立向心力定律，提出动量守恒原 理，并改进了计时器。
什么是概率论？
1.概率论研究的对象 2.概率论研究的内容
一
随机现象与随机试验
自然界所观察到的现象: 确定性现象： 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实 例 “同性电荷必然互斥”, “太阳从东方升起”, “在标准大气压下，把水加热到100摄氏度 会沸腾”
随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现
（3） 试验所有的可能结果在试验前是明确（已知)
的，而每次试验必有其中的一个结果出现，并且也
仅有一个结果出现。
说明:
(1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括 各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查” “观察”、或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E或 E1 , E2 等来表示.
示。样本空间的元素，即 E 的每个直接结果，称为样本 点，常记为 (或e)，也可以用 1 , 2 等表示.
如上各例中随机试验的样本空间为：
2 : HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT
1 : H , T
3 : 1,2,3,4,5,6
（互逆）事件．
3、对立能推出来互斥，但反过来来不成立
8. 完备事件组 则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个划分
A1 A2
A3
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
i 1
n


An
An 1
例
设事件A、B 为任意两个事件，则下列选项
正品 、次品.
实例4 “在股票市场，下一个交易日股市的指数 可能上升也可能下跌，而且升跌幅度的大小也不 能事先确定
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
现在我们来考察一下随机现象的特点
例如: 在相同的条件下抛同一枚硬币, 其结果 可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在 每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么. 又如:一门火炮在一定条件下向同一 目标进行射击,各次的弹着点不尽相 同,在一次射击之前无法预测弹着点 的确切位置.
A B 发生
A

A B
B
事件 A与事件B 至 少有一个发生
A1 , A2 ,, An 的和事件 —— A1 , A2 ,, An , 的和事件 ——
Ai
i 1
n
Ai
i 1

4. 事件的交(积)
A B 或 AB —— A 与B 的积事件
A B

A B 发生
事件 A与事件B 同时 发生
概率论
研究随机现象规律
统计学理论的基础 与数学其他分支密切相关 在其他各个领域应用广泛
本课程
阐述概率论的基本思想
介绍研究随机现象的基本方法 以及基本结果
布莱士· 帕斯卡（Blaise Pascal 1623—1662）， 法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。 1623年6月19日出生在法国奥维涅省的 克莱蒙费朗，在兄弟姊妹中排行第三，也是 家中唯一的男孩。帕斯卡三岁时，母亲不幸去世。 父亲艾基纳是当地法庭的庭长，博学多才。八岁时， 举家迁往巴黎。 12岁独自发现了“三角形的内角和等于180度”后，开始师从 父亲学习数学。 17岁时帕斯卡写成了数学水平很高的《圆锥截线论》一文， 这是他研究德扎尔格关于综合射影几何的经典工作的结果。 1642年到1644年间帮助父亲做税务计算工作时，帕斯卡发明 了加法器，这是世界上最早的计算器，现陈列于法国博物馆中。
A ( AB ) A A ( A B) A 重余律 A A
幂等律 差化积
A A A A A A A B AB A ( AB)
交换律 A B B A 结合律
AB BA
( A B) C A ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
四
随机事件的关系与运算
随机事件的关系和运算 类同集合的关系和运算 韦恩图 ( Venn diagram )
A
1. 事件的包含
事件 A 发生必 导致事件 B 发生 —— A 包含于B 记作 A B

A
B
2. 事件的相等
A B A B 且 B A
3. 事件的并(和) A B 或A B —— A 与B 的和事件
它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生 必然事件——全体样本点组成的事件,记 为, 每次试验必定发生的事件. 不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
A、B、C 表示下列事件.
（1） A发生, B与C不发生 （2） A, B, C中恰有一个发生 （3） A与B发生, 而C不发生 （4） A, B, C中至少有一个发生
（5） A, B, C都不发生 （6）A, B, C中不多于一个发生
练习：
同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件 （1）点数之和是正整数； （2）点数之和小于2； （3）点数之和是3的倍数.
2048
4979 6019 12012 39699
0.5005
0.4979 0.5016 0.5005 0.4923
皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫 斯基
特点 2 随机现象在大量重复观察或试验下，它的 结果却呈现出固有统计规律性.
概率论 是研究随机现象统计规律性的一门

数学学科.
随机试验：
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为 随机试验 （1） 可以在相同的条件下重复地进行; （2） 每次试验的可能结果不止一个,而究竟会出现 哪一个结果，在试验前不能准确地预定
AB —— A 与B 互斥
A、 B不可能同

A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 对立（或互逆）事件
在一个随机试验中，若只考虑某事件 A是否发生，
则相应的样本空间 被划分为 A 与 A 两个子事件． 这是称事件 A为 A 的对立事件（逆事件）．记为
A 即 A A.
A
A
A B AB AA

注1．A
AA
表示事件 A不发生．且有：
A A
2． A也是 A的对立事件，故 A与 A又成为相互对立
对偶律
A B A B
AB A B
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
例3 化简下列事件
(1) (2) (3)
( A B) ( A B)
( A B) ( A B)
( AB C ) AC
例2 设 A、B、C表示三个随机事件，试用
帕斯卡和数学家费马通信，他们一起解决某一个上流社会 的赌徒兼业余哲学家送来的一个问题。在他们解决这个问题的 过程中，奠定了概率论的基础。 1648年帕斯卡设想并进行了对同一地区不同高度大气压强 测量的实验，发现了随着高度降低，大气压强增大的规律，并 发明了注射器、水压机，改进了托里拆利的水银气压计等。 1662年8月19日帕斯卡逝世，终年39岁。后人为纪念帕斯卡 的贡献，用他的名字来命名压强的单位，简称帕，符号是Pa。
中成立的是（ ）
（ A） ( A B ) B A （ B） ( A B ) B A （ C） ( A B ) B A （ D） ( A B ) B A B
运算律
吸收律
事件 运算
对应
集合 运算
A A A
A A A
4 : 0,1,2,3,
5 : t t 0
例一：从数字1、2、3、4、5中任取两个，计算样本空 间中样本点的个数,并写出样本空间. （1）取出的两个数字不记次序； （2）每次取一个，取后不放回，连取两次； （3）每次取一个，取后放回，再取第二次.
三
随机事件
随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B ,…
特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观 察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果 中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其 结果.
抛掷硬币试验
试验者
蒲 丰
抛硬币次数
出现正面次数
出现正面的频率
4040
2048
0.5069
德莫根 费 勒
4092
10000 12000 24000 80640