第3篇代数系统

∀a,b∈Z , a ☆ b=ab-a+b ， b ☆ a=ba-b+a, 运算 ☆不可交换。
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例3-1-2.2 设Q是有理数集合，○、*分别是Q上的 二元运算，其定义为，对 ∀a,b∈Z ,
a ○ b=a , a * b=a-2b , 问运算 ○、*是否可结合？
解：对 ∀a,b,c∈Z , (a ○ b) ○ c=a ○ c=a a ○ (b ○ c)=a ○ b=a
第3篇代数系统
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非负整数集与普通加法 +构成的代数系统中，没有
单位元。
()
设N为自然数集合，<N,>在xy=x+y-2*x*y运算下 构成代数系统。
设G={0,1,2,3,4,5},为模6加法，则<G, >中的6阶元是
（）
A. 5,0
B. 5,1
C. 4,3
D. 2,1
在<Z,+>中有3-5=
则有
yl = yr＝y 且y是x惟一的逆元。
对于可结合的二元运算而言，可逆的元素x 只有惟一的逆元，通常记作x-1
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例3-1-2.6 对于代数系统<Nk,+k>,其中k是正整数， Nk={0,1,2,…,k-1},+k是定义在Nk上的加法运算， 定义如下：∀x,y∈ Nk
(a ○ b) ○ c= a ○ (b ○ c)， 所以运算○可结合
对 ∀a,b,c∈Z , (a * b) * c=(a-2b)*c=a-2b-2c
a *(b * c)=a * (b-2c)=a-2(b-2c)=a-2b+4c
所以运算*不可结合
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若<S, ○ >是代数系统，其中是S上的二元运算， 且满足结合律，n是正整数，a∈S,则定义幂运算
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第3-1章 代数结构
3-1-1 代数系统的概念 3-1-2 代数系统的运算及其性质 3-1-3 半群与含幺半群 3-1-4 群与子群
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3-1-1 代数系统的概念
二元运算的定义与实例
设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运 算。
例如： f：N×N→N,f(<x,y>)=x+y
定义3-1-2.1、2、5 设*为S上的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y∈S,有 x*y=y*x,则称 运算*在S上满足交换律。（可交换）
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有(x*y)*z=x*(y*z), 则称运算*在S上满足结合律。(可结合、可群)
(3)如果对于任意的x∈S有x*x=x,则称运算*在S 上满足幂等律。（*运算是等幂的）
θl(或θr) ∈S，使得对任何x ∈S都有
θl ◯ x = θl
x ◯ θr = θr
称θl(或θr)是S中关于◯ 的一个左零元(或右零元)
若θ∈S关于◯ 运算既是左零元又是右零元，则称 θ为S上关于◯ 运算的零元。
在自然数集N上，乘法的零元是 0 n(n>=2)阶实矩阵集合Mn(R)上乘法的零元是 全0的n阶矩阵 幂集P(S)上,∪运算的零元是 ,∩S运算的零元是
。
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引
代数系统也叫做抽象代数，主要研究抽象的代 数结构。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用 它表示实际世界中的离散结构。
抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动 机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学 等等都要用到抽象代数的知识。代数系统的主要研究 对象就是各种典型的抽象代数结构。
求运算 的运算表。
解： (xy)mod 5 表示xy除以5的余数，运算表如下
1
2
34
1
12Βιβλιοθήκη 34224
13
3
3
1
42
4
4
3
21
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代数系统的定义与实例
定义3-1-1.2 非空集合A和A上k个一元或二元运 算f1 , f2 , … , fk组成的系统称为一个代数系统,简称 代数,记做<A , f1 , f2 , …, fk>。
除法运算不是实数集合R上的二元运算,因为0∈R, 而0不能做除数。
但在R*=R－{0}上就可以定义除法运算了,因为 x,y∈R*,都有x/y∈R*。 n阶(n>=2)实矩阵的集合Mn(R)上的乘法和加法。 设S为任意集合，则∪，∩，－， 是Ｐ(Ｓ)上的 二元运算。
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设S为集合,函数f：S→S称为S上的一元运算,简称 为一元运算。
例如:<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>都是代数系统,其中 +和·分别表示普通加法和乘法。
<P(S),∪,∩,~>也是代数系统,其中含有两个二元运算
∪和∩以及一个一元运算~。
设N为自然数集合，<N,>在xy=x+y-2*x*y运算下构 成代数系统吗？
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3-1-2 代数系统的运算及其性质
(1)求一个数的相反数是整数集合Z，有理数集合Q， 和实数集合R上的一元运算。
(2)求一个数的倒数1/x是非零有理数集合Q*，非零 实数集合R*上的一元运算。
(3)幂集合P(s)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对 补运算～是P(s)上的一元运算。
(4) n阶(n>=2)实矩阵的集合Mn(R)上求转置矩阵。
整数集合Z上的加法运算
任何整数x都有加法逆元，为－x
n(n≥2)阶实矩阵集合Mn(R)上矩阵加法和矩阵乘法：
对任何n阶实矩阵M，M的加法逆元是－M n阶实可逆矩阵M，M的乘法逆元是M-1
幂集P(S)上, ∪运算、∩运算和 运算：
对∪运算只有 有逆元，为自身，其他元素没有逆元 对∩运算只有 S 有逆元，为自身S，其他元素没有逆元 对 运算, P(S)中任何元素都有逆元，就是自身。
{1}
{2}
{1} {2}
{2}
{1}
{1,2}
{1} {1}
{1} {2} {1,2}
{2} {2} {1,2}
{1,2} {1,2} {2} {1}
{1,2}
{1,2} {2} {1}
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例 设S＝{1, 2, 3 ,4}，定义S上的二元运算 如下：x y=(xy)mod 5， x,y∈S
实数集R上的乘法对加法是可分配的 N(n>=2)阶实矩阵集合Mn(R)上矩阵乘法对
加法是可分配的
幂集P(S)上∪和∩是互相可以分配的。
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定义3-1-2.4 设 ◯ 和*为S上两个不同的二元运算,
如果◯ 和*都可交换,并且对于任意的x,y∈S有 x◯ (x*y)=x 和 x*(x◯ y)=x, 则称◯和*运算满足 吸收律。
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例3-1-2.6 设集合A={a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6}, 定义在A上一个二元运算*的运算表如下，指出 代数系统<A,*>中各元素的左、右逆元的情况。
* a1 a2 a3 a4 a5 a1 a1 a2 a3 a4 a5 a2 a2 a4 a1 a1 a4 a3 a3 a1 a2 a3 a1
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例3-1-2.1 设Z是整数集，△、☆分别是Z上的 二元运算，其定义为，对 ∀a,b∈Z , a △ b=ab-a-b , a ☆ b=ab-a+b ,
问运算 △、☆是否可交换？
解： ∀a,b∈Z , a △ b=ab-a-b ， b △ a=ba-b-a,
a △ b= b △ a，所以运算 △可交换
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下列各代数系统中不含有零元的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是 矩阵乘法运算 C.〈Z， 〉，Z是整数集，定义为x y=y,
x,y∈Z D.〈P(A)，∪〉，P(A)是集合A的幂集，∪是集合
所以el＝er
（er 为右单位元） （el 为左单位元）
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设<R,*>是代数系统，*是实数集合R上的二元运算， 使得对于R中任意元素x,y,都有x*y=x+y+xy, （1） 求4*6，7*3. （2） 求*运算的单位元。
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2.零元
定义3-1-2.7 设◯为S上的二元运算，如果存在
若e∈S关于◯ 运算既是左幺元又是右幺元，则 称e为S上关于◯ 运算的幺元。也称 单位元。
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在自然数集N上， 0是加法的单位元， 1是乘法
的单位元。
n(n>=2)阶实矩阵集合Mn(R)上 全0的n阶矩阵 是矩阵加法的单位元， n阶单位矩阵 是矩阵 乘法的单位元。
幂集P(S)上, ∪运算的单位元是
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二．二元与一元运算的表示
1．算符 、* 、·、 、 等符号表示二元或一
元运算,称为算符。
若f：S×S→S为S上的二元运算, 如果任意 x，y ∈S , x与y运算结果是z,即 f(x, y)=z；
用符号 表示二元运算, 可记做x y=z。
表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式和运算表。
解：
a1 是幺元
a2 、a3互为逆元
a4 a4 a3 a1 a4 a3
a5 a5 a4 a2 a3 a5
一个元素的左右逆元可能不止一个，但若有逆元则必唯一
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定理3-1-2.4 设 <S,*>是一个代数系统，其中*是
S上的一个可结合的二元运算，e ∈S为该运算的
单位元，对 x ∈S，如果存在左逆元yl和右逆元yr
a○a○a … ○a是S中的元素，称其为a的n次幂
n个a做○运算
记作 an
幂运算的性质
am○an= am+n （am)n= amn
其中，m,n是正整数
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定义3-1-2.3 设 ◯ 和*为S上两个不同的二元运算, 如果对于任意的x,y,z∈S有
x◯(y* z)=(x◯z)*(y◯z) 和 (y*z)◯x =(y◯x)*(z◯x), 则称◯ 运算对*运算满足分配律。
解析公式就是函数表达式。
2．表示二元或一元运算的方法 ---解析公式和运算表
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解析公式
例 设S＝{1, 2, 3 ,4}，定义S上的二元运算 如下：x ○ y=(xy)mod 5 ，x,y∈S
运算表 有穷集S上的二元和一元运算运算表表示： 其中a1,a2,…,an是S中的元素, 为算符。
y ∈S 或y ∈S有使得
l
r
yl ◯ x = e (或x ◯ yr = e) 则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)
若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称 y是x的逆元。
如果x的逆元存在，则称x是可逆的。
记作x-1
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自然数集合N上的加法运算
只有0有加法逆元，就是0本身。
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有穷集S上的二元和一元运算运算表表示：
其中a1,a2,…,an是S中的元素, 为算符。
行头元素
列头元素
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例： 设S＝{1, 2}，给出P(S)上的运算～和 的运算表，其中全集为S。
解： P(S)={ ， {1}， {2}， {1,2}}
ai
~ai
{1,2}
的并运算
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定理3-1-2.2 设 ◯ 为S上的二元运算， θl,θr ∈S分别是 ◯运算的左零元和右零元，则有
θl＝θr ＝θ 且θ为S上关于◯ 运算的惟一零元。
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3.逆元
定义3-1-2.8 设◯ 为S上的二元运算，如果存在
e ∈S为 ◯ 运算的单位元，对 x ∈S，如果存在
幂集P(S)上∪和∩运算满足吸收律。 ∀ A，B∈ P(S)
A∪（A∩B）＝A
A∩（A∪B）＝A
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二元运算的特异元素
1.单位元(幺元)
定义3-1-2.6 设◯为S上的二元运算，如果存在 el(或er) ∈S，使得对任何x ∈S都有 el ◯ x = x （或 x ◯ er = er ） 则称el(或er)是S中关于c 的一个左幺元 (或右幺元)
，∩运算的单位
元是
，S 对称差 运算的单位元是
相对补运算的单位元
没有
非负整数集与普通加法 +构成的代数系统中，没有
单位元。
()
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定理3-1-2.1 设 ◯ 为S上的二元运算，el，er ∈S分别是
左单位元和右单位元，则有 el＝er＝e
且e为S上关于◯ 运算的唯一单位元。
证明： el＝ el er er ＝ el er
加法运算是自然数集合N上的二元运算
验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：
(1) S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果 是唯一的。 (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是 封闭的。
减法运算不是自然数集合N上的二元运算。 也称N对减法运算不封闭。
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