四则运算典型例题3
复数的四则运算及几何意义习题课
题型四：求复数式中的实参数值
练习已知复数z满足|z|＝1，且
(z - m ) = 2m (m < 0) ,求m的值.
2
m = 1-
2
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证： 1 z+ R. z
题型五：证明复数的有关性质 例12 求证：复数z为纯虚数的充要 条件是z2＜0.
复数的概念与运算典型题型分析
题型一：复数的混合运算
3 - 4i 15 8 例1 计算： + i - (1 + i ) 1 + 2i
－17－3i 3 2z + (4z + 6)i 练习设复数z＝1－i，求
的值.
- 3z
1 －i
求
1 例3 已知复数z满足 z + - i = 0 ， 2 z z - z + 1
.
1 x
变式1：若复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则复数z所对应的 点表示什么图形？ 以(1,0),(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆 变式2：若复数z满足|z+1|-|z-1|=1，则复数z所对应的 点表示什么图形？ 以(1,0),(-1,0)为焦点，实轴长为1的双曲线的右支
变式3：你能给出下列方程所表示的图形的复数 表达形式吗？
解：由条件|z-4i|=|z+2|知复数z 对应的点到点A（0，4）与点 B（-2，0）的距离相等,所以复数 z对应的点的集合是线段AB的垂直 平分线.由平面解析几何知识得x,y 满足x+2y=3,所以由均值不等式得
2 x 4 y 2 2 x 4 y 2 2 x2 y 4 2
y 4
2、思考题： （1）你能写出线段Z1Z2的垂直平分线的复数表达形式吗？ （2）你能写出抛物线y2=2px(p>0)的复数表达形式吗？
小学5年级分数地四则混合运算习题大全
四则混合计算（一）同级运算：只含有同级的运算（只含有加减或者乘除的运算）.运算顺序从左至右。
例如：12＋23－23 12×23÷32（二）不同级混合运算：加、减、乘、除四则混合运算。
运算顺序是先算乘除.再算加减。
例如：12＋45×5 12－45÷5（三）有括号的四则混合运算：计算顺序是小括号—中括号—括号外。
例如：12×[35-（35＋4）÷3]（四）四则运算中的简便运算。
1、加法（1）加法结合律：a+b+c=(a+c)+b在连加算式中.可以把任何两个和为整数、整十数、整百数的加数先加起来.再与其他加数相加。
例如：75＋94＋957212＋998＋2＋88 =（75+72）+（94+95） =（12+88）+（998+2）=1+1 =100+1000（2）多加要减：在加法算式中.可以把其中的一个加数凑成整整十数、整百数.后用和减去所凑的数。
例如：549＋199 =549＋200-1 =749-12、减法(1)连减：a-b-c=a-(b+c)在连减算式中.可把后几个减数先加起来.再用被减数去减。
例如：149—98—2 2- 75-72=149—（98＋2） =2-（75+72）（2）多减要加：在减法算式中.可以先把减数凑成整整十数、整百数再减.然后加上所凑数。
例如：456-198=456-200+2 =256+23、乘法（1）乘法结合律：a ×b ×c=(a ×c)×b在连乘的算式中.可以先把任何两个积为整数、整十数、整百数的因数先乘起来.再于其他数相乘。
例如：75×94×14×16938×25×4 =（75×14）×（94×169） =38×（25×4） = 10×41=38×100（2）乘法分配律：a ×b ±a ×c=a ×(b ±c )在求两积之和（差）的算式上.如果两积有相同的因数.可以先把不同因数相加（减）.再以相同的一个因数相乘。
初一有理数无理数计算题
初一有理数无理数计算题1.有理数的四则运算有理数是可以用两个整数的比值来表示的数，包括正数、负数和零。
在初一的数学学习中，我们需要运用有理数进行四则运算。
下面是一些典型的有理数计算题。
1.1加法与减法例题1：计算$(-\fr a c{2}{3})+(\f rac{4}{5})$。
解：首先，我们需要找到这两个有理数的公共分母。
在这个例子中，公共分母为15。
然后，我们可以顺利地进行加法运算：$(-\fr ac{2}{3})+(\fr ac{4}{5})=(-\f ra c{2}{3})\t ime s(\fr ac{5}{5})+(\fr ac{4}{5})\tim e s(\f ra c {3}{3})$$=(-\f ra c{2}{3}\ti mes\fr ac{5}{5})+(\f r ac{4}{5}\t im es\f ra c{3}{ 3})$$=(-\f ra c{10}{15})+(\f ra c{12}{15})$$=\f ra c{-10+12}{15}$$=\f ra c{2}{15}$所以，$(-\f ra c{2}{3})+(\fr ac{4}{5})=\f ra c{2}{15}$。
1.2乘法与除法例题2：计算$(-\fr a c{2}{3})\t im es(\fr ac{4}{5})$。
解：直接相乘得到：$(-\fr ac{2}{3})\t i me s(\f ra c{4}{5})=\fr ac{-2\ti me s4}{3\ti mes5}=\f ra c{-8}{15}$所以，$(-\fr ac{2}{3})\ti me s(\f rac{4}{5})=\fr ac{-8}{15}$。
例题3：计算$(-\fr a c{2}{3})\d iv(\f r ac{4}{5})$。
解：需要倒数来进行除法运算：$(-\fr ac{2}{3})\d i v(\f ra c{4}{5})=(-\f ra c{2}{3})\t ime s(\fr ac{5}{4})=\f ra c{-2\ti me s5}{3\ti mes4}=\f ra c{-10}{12}$化简分数，得到最简形式：$\fr ac{-10}{12}=\f ra c{-5}{6}$所以，$(-\f ra c{2}{3})\di v(\f ra c{4}{5})=\fr ac{-5}{6}$。
《解决四则运算简单的实际问题》课件
9 每件上衣36元，买1件上衣的钱可以买4顶帽子。
（1）每顶帽子多少钱？ 36÷4＝9（元）
（2）一顶帽子比一件上衣便宜多少钱？ 36－9＝27（元）
（1）二年级有多少名同学参加“学雷锋见行动”实践活动？
8 × 6 = 48 (名) （2）两个年级一共有多少名同学参加“学雷锋见行动”实 践活动？
48＋42 = 90(名)
4 一共有多少只小蚂蚁在做操？如果每排站6只，可以站几排？
9×4＝36（只） 36÷6＝6（排）
5 东东和明明参加了课外生物小组，生物组养有鸡和兔。
二⑴班 32人
我们班需要搭多少 顶帐篷？
32 ÷ 4 ＝ 8 ( 顶）
我摘了19个草莓。你摘了多 少个？
我比你多摘 了6个。
19 ＋ 6 ＝ 25 ( 个）
每顶帐篷住4人。 二⑵班 35人
6次能全部过河吗？
每次可以坐6人。
6 × 6 ＝ 36 ( 人） 36＞35,6次能全部过河。
20 画一画，填一填。
9＋12＝21（人）
7 学写毛笔字。
上午 下午 全天
小丽
小文
写了16个
写了？个
小丽和小文写的一样多
写了36个
写了42个
（1）小丽下午写了多少个？ 36－16＝20（个）
（2）小文上午写了多少个？ 42－20＝22（个）
8 按照下面的排列，想一想：21颗星星里有多少颗☆？有多 少颗★？
☆☆☆☆★★★☆☆☆☆★★★☆☆☆☆★★★ 21÷7=3（组） 4×3＝12（颗） 3×3＝9（颗）
18
（1）二年级有5个兴趣小组，每组9人。参加兴趣小组的一共
有多少人？
9 × 5 ＝ 45（人）
（2）二年级参加兴趣小组的有45人，每组9人。二年级有多
纯中文的四则运算问法
纯中文的四则运算问法
1. 加法问题：小明有 5 个苹果，小红有 3 个苹果，他们一共有多少个苹果？
2. 减法问题：小李有 10 元钱，他花了 7 元买了一本书，他还剩下多少钱？
3. 乘法问题：一支笔 3 元钱，小明买了 5 支笔，他一共花了多少钱？
4. 除法问题：小王有 20 个苹果，他要把这些苹果平均分给 4 个人，每个人可以得到几个苹果？
5. 混合运算问题：小张有 6 个橙子，他想分给 3 个人，每个人得到 2 个橙子。
他还剩下多少个橙子？
以上是一些使用纯中文的四则运算问法示例。
你可以根据具体的情境和需求，提出更多的四则运算问题。
四则运算文字题型
四则运算文字题型
好的，以下是一些四则运算文字题型：
1. 小明和小华去书店买书。
小明买了3本故事书和2本科技书，共花了21元。
小华买了同样的2本故事书和3本科技书，共花了18元。
请问每本故事书和科技书的价格分别是多少？
2. 一家商店在一天内卖出了50件T恤，其中30件是红色的，20件是蓝色的。
如果卖出红色T恤的收入是1500元，那么卖出蓝色T恤的收入是多少元？
3. 一家餐厅在周末的午餐时间共接待了100位客人，其中点了一份主菜和一份甜点的客人有60位，点了一份主菜和两份甜点的客人有30位。
已知一份主菜的价格是30元，一份甜点的价格是15元。
请问餐厅周末午餐时间共收入了多少钱？
4. 一本书的作者写了10个章节，其中前6个章节共150页，后4个章节共200页。
如果每页的字数是相同的，那么一个章节有多少字？
5. 一个农场有50只羊、40头牛和30只鸡。
每只羊每天吃1千克的草，每头牛每天吃3千克的草，每只鸡每天吃千克的草。
请问农场每天需要多少千克的草才能满足这些动物的需求？。
六年级数学四则运算试题答案及解析
六年级数学四则运算试题答案及解析1.（12分）直接写出得数．26×50= 25×0.2= 10﹣0.86= 24×=÷3= 125%×8= 4.8÷0.8= 8÷=12×（+）= 1﹣1÷9= ×0= 2.5×3.5×0.4=【答案】1300；5；9.14；18；；10；6；10；5；；；3.5；【解析】根据四则运算的计算法则计算即可求解．其中12×（+）根据乘法分配律简便计算，2.5×3.5×0.4根据乘法交换律和结合律简便计算．解：26×50=1300 25×0.2=5 10﹣0.86=9.14 24×=18÷3= 125%×8=10 4.8÷0.8=6 8÷=1012×（+）=5 1﹣1÷9=×0= 2.5×3.5×0.4=3.5点评：考查了四则运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．2.（6分）脱式计算．25×+2.5% 9.6﹣11÷7+×4 12×[（﹣）×3]【答案】20.025；8.6；42.【解析】（1）先算乘法，再算加法；（2）先算除法和乘法，再根据减法的性质进行简算；（3）根据乘法分配律进行简算．解：（1）25×+2.5%=20+2.5%=20.025；（2）9.6﹣11÷7+×4=9.6﹣+=9.6﹣（﹣）=9.6﹣1=8.6；（3）12×[（﹣）×3]=12×[×3﹣×3]=12×[﹣2]=12×﹣12×2=66﹣24=42．点评：考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．3.（4分）（2012•富源县）汽车厂计划25天组装汽车4000辆，实际提前5天完成，实际平均每天组装汽车多少辆？【答案】200辆【解析】计划25天完成，实际提前5天完成，即实际工作25﹣5=20天就完成了任务，求平均每天组装汽车多少辆，用除法．解：4000÷（25﹣5），=4000÷20，=200（辆）．答：实际平均每天组装汽车200辆．点评：本题考查了学生完成简单的整数除法应用题的能力．4.（1分）假设你和我有同样数目的钱．我必须给你（）元钱才能让你比我多100元．A．100B．50C．20D．10【答案】B【解析】根据题意，你和我有同样数目的钱，要使你的钱数比我多100元，就是把我的钱给你100÷2=50元．解：100÷2=50（元）；故选：B．点评：此题主要考查的除法的意义，用多的钱数除以2即可．5.小红看书，4天看了32页，照这样计算，要看96页书要多少天？【答案】12天【解析】“照这样计算”说明每天看的页数一定，先求出每天可得页数，然后用总页数除以每天看的页数即可。
二年级数学 下册 四则混合运算 例题 专项练习题
第二单元混合运算一、考点、热点回顾。
1.什么叫四则混合运算：在一个算式里，如果含有两种或两种以上的运算，通常称之为混合运算。
加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。
所以也有人把含有两个级别运算的算式称之为四则混合运算。
2.没有括号的同级混合运算：在一道没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法，这样的运算叫没有括号的同级运算。
没有括号的同级混合运算顺序顺序是从左往右依次进行运算。
3.没有括号的不同级混合运算：在一道没有括号的算式里，既有加法或减法，又有乘法或除法，这样的运算叫没有括号的不同级混合运算。
没有括号的不同级混合运算顺序是先乘除，后加减。
即先做乘法或者除法，后做加法或者减法。
4.两步计算的应用题的结构特点和解法：结构：两步计算的应用题，是由两个相关联的一步计算应用题组成的。
这类应用题有三个条件和一个问题，可用其中两个条件求出中间条件，再结合第三个条件用相应的运算方法求出最后的问题。
在解答一道连续两问的应用题时，第一个问题所得的结果往往就是求第二个问题所需的条件。
特点：两步计算的应用题的最大特点就是有一个中间问题没有出现，而是隐藏起来的，必须通过分析数量关系才能找出来。
5.加除.减除应用题的结构和特点：结构：由三个条件和一个问题构成。
加除应用题的三个条件是：部分数，部分数。
份数（或每一分数），问题是求每一份数或份数。
特点：这两类应用应用题的共同题是最后要把一个数平均分成几分，求一份是多少或者求一个数里包含几个另一个数。
被除数没有直接给出，需要先算出来。
6.有括号的两步混合运算：两步混合运算是指至少有三个数和两个运算符号的算式。
①有括号的两步混合运算是指在两步混合运算中带有一个括号的算式。
②有括号的两步混合运算的运算顺序是先做括号里面的，后做括号外面的。
必须记住：有括号，优先算教与学的目标：1.初步感受混合运算与生活的密切联系，并能运用有关知识解决生活中的实际问题。
2.结合具体情境，体会到混合运算要有一定的顺序；在解决问题的过程中，明白先乘除后加减的运算顺序，以及小括号在运算中的作用。
极限四则运算典型例题
极限四则运算典型例题
在现代数学教学中，极限四则运算是一种重要而基础的技能，能够帮助学生们逐渐掌握并熟练运用四则运算的方法。
今天，我们将通过几个典型例题，深入探讨极限四则运算的基本原理，以及其应对此类问题的解决之道，以此来提升数学能力。
极限四则运算的基本原理
在进行极限四则运算时，我们首先要搞清楚四则运算的基本原理：极限运算是指在求解一定表达式时，原本比较复杂的算术，通过把每一步的运算结果都追溯到一个共同的数值，而把原本复杂的运算变得简单化，最终达到求出表达式的源头，从而得出我们想要的结果。
典型例题
1. 例题一：已知a+b=4，求 lim(a+b/2)。
解：由于a+b=4，即a+b/2=2，因此lim(a+b/2)=2，即极限值为2。
2. 例题二：已知a+b=8，求 lim(a/b)。
解：由于a+b=8，即(a-b)/b=2，因此lim(a/b)=3，即极限值为3。
3. 例题三：已知a+b=12，求 lim(a*b/2)。
解：由于a+b=12，即a*b/2=6，因此lim(a*b/2)=6，即极限值
为6。
4. 例题四：已知a+b=16，求 lim(a-b/2)。
解：由于a+b=16，即a-b/2=8，因此lim(a-b/2)=8，即极限值
为8。
总结
以上，就是几个极限四则运算的典型例题。
从以上我们可以得出，四则运算的极限求解方法是通过把原本复杂的运算转化为基本的数
学表达式来计算的，比如将a+b除以2，将a乘以b除以2等。
只有搞清楚极限四则运算的基本原理，才能正确处理各种问题，提高学生们对数学的敏感度，为进一步学习数学打下坚实的基础。
一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则
一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则第一章第五节极限的运算法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则定理1.5若limf(x)=A,limg(x)=B,则x→x0x→x0(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx→x0x→x0x→x0(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABx→x0x→x0x→x0(3)若B≠0,则有f(x)=limx→x0g(x)x→x0limf(x)x→x0A=limg(x)B注对于数列极限及x→∞时函数极限的四则运算法则,有相应的结论.例如,对于数列极限,有以下结论:若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA=(3)当B≠0时,limBn→∞yn数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.推论(极限运算的线性性质)若limf(x)=A,limg(x)=B,λ和μ是常数，则x→x0x→x0x→x0lim[λf(x)±μg(x)]=λA±μB=λlimf(x)±μlimg(x)x→x0x→x0以上运算法则对有限个函数成立.于是有x→x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx→x0——幂的极限等于极限的幂一般地，设有分式函数P(x)R(x)=,Q(x)其中P(x),Q(x)都是多项式,若Q(x0)≠0，则P(x0)=R(x0)结论：limR(x)=Q(x0)x→x0注若Q(x0)=0,不能直接用商的运算法则.结论：a0xm+a1xm1+L+am=0,当n>mlimnn1+L+bnx→∞b0x+b1xa0,当n=mb0∞,当n(a0b0≠0,m,n为非负常数)对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.（二）复合函数的极限运算法则定理1.6设lim(x)=a,当0x→x0u=(x)≠a,又limf(u)=A,则有u→ax→x0limf[(x)]=limf(u)=Au→ao注1°定理1.6中的条件：(x)≠a,x∈U(x0,δ1)不可少.否则，定理1.6的结论不一定成立.2°定理1.6的其他形式若limφ(x)=∞(或limφ(x)=∞)，limf(u)=A,且x→x0x→∞u→∞则有x→x0(或x→∞)limf[φ(x)]=limf(u)=A.u→∞由定理1.6知，在求复合函数极限时,可以作变量代换：x→x0limf[(x)](x)=ulimf(u)u→alim且代换是双向的,即u→af(u)u=(x)x→x0limf[(x)].二、典型例题lim(2x2+x5).例1求x→2x→2极限运算的线性性质解lim(2x2+x5)=2lim(x2)+limxlim5x→2x→2x→2幂的极限等于极限的幂=2(limx)2+25x→2=2223=5x→x0a0x0n结论：lim(a0xn+a1xn1+L+an)=+a1x0n1+L+an例2x31lim2.x→2x3x+52x→2=limx2lim3x+lim5解Qlim(x3x+5)x→2x→2x→2=(limx)23limx+lim5 x→2x→2x→2=2232+5=3≠0,3商的极限等于极限的商2317x1=x→22=.=∴lim233x→2x3x+5lim(x3x+5) x→2lim(x31)x1.（0型）例3求lim2x→1x+2x30Qlim(x2+2x3)=0,商的极限法则不能直接用解x→1又lim(x1)=0称0x1为型极限.lim20x→1x+2x3x→1由极限定义x→1，x≠1,x1x1lim2=limx→1x+2x3x→1(x+3)(x1)11=lim=.x→1x+34约去零因子法2x3+3x2+5例4求lim.32x→∞7x+4x1∞(型)∞分析x→∞时,分子,分母都趋于无穷.可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.352++3322x+3x+5xx“抓大头”=limlim解41x→∞7x3+4x21x→∞7+3xx35lim(2++3)2xx=x→∞=.41lim(7+3)7x xx→∞例5分析121求lim3.x→2x+2x+8(∞∞型)∞∞型，先通分，再用极限法则.(x22x+4)12解原式=lim3x→2x+8(x4)(x+2)x22x8=lim=lim3x→2(x+2)(x22x+4)x→2x+8 (0)01x4=.=lim2x→2x2x+42122n2例6求lim3+3+L3.n→∞nnn无穷多项和的极限11解原式=lim3n(n+1)(2n+1)n→∞n6111=lim1+2+nn6n→∞1=.3公式求和变为有限项例7求limx→3x3.2x9x→x0limf[(x)]=limf(u)=A①x3f(u)=u解令u=(x)=2u→ax9x31x3==lim于是limu=lim26x→3x→3x9x→3(x3)(x+3) 61从而原式=limf(u)=limu==.166u→u→166从左向右用①式三、同步练习1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?(2)若limf(x)=A≠0,不存在？n1232.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnlimf(x)g(x)是否一定2x.3．求limx→4x44.已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.n2+n5.求lim4.2n→∞n3n+1f(x)2x3=2,6.设f(x)是多项式,且li m2x→∞xf(x)lim=3,求f(x).x→0x7.8.x2+1(αx+β))=0试确定常数α,β.已知lim(x→∞x+1111求lim1212L12.n→∞23n2x求lim.x→432x+19.四、同步练习解答1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?答：一定不存在．假设lim[f(x)+g(x)]存在，Qlimf(x)存在由极限运算法则可知：limg(x)=lim{[f(x)+g(x)]f(x)}必存在，这与已知矛盾，故假设错误．1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(2)若limf(x)=A≠0,不存在？limf(x)g(x)是否一定一定不存在.（可用反证法证明）答：23n12.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnn(n+1)111=lim(1+)=.解原式=lim2n→∞2nn2n→∞22x求lim.（0型）3．x→4x40解2xlimx→4x44x=limx→4(x4)(2+1=limx→42+x1=.4先有理化x)再约去无穷小４．已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.解Qlim{x2+3[A+B(x1)]}x→1x2+3[A+B(x1)]=lim(x1)=00=0x→1x1而lim{x+3[A+B(x1)]}=2(A+B0)2x→1∴2(A+B0)=0,从而A=2.于是x2+3[A+B(x1)]0=limx→1x1x2+3[2+B(x1)]x2+32=lim=lim(B)x→1x1x→1x1 =lim[x→1(x2+3)4(x1)(x2+3+2)x21(x1)(x2+3+2)x+1B]B]1∴B=.2=lim[x→11=lim[2B]=B,x→12x+3+2n2+n.5．求lim42n→∞n3n+1∞(型)∞解n→∞时,分子,分母都趋于无穷.4同时去除分子和分母,然后再取极限.可以先用n11+32n2+nlim4=limnnn→∞n3n2+1n→∞3112+4nn11lim(2+3)n→∞nn==0.31lim(12+4)n→∞nn6.设f(x)是多项式,且f(x)lim=3,求f(x).x→0xf(x)2x3lim=2,2x→∞x解根据前一极限式可令32f(x)=2x+2x+ax+b再利用后一极限式,得f(x)bb23=lim=lim(2x+2x+a+)=lim(a+)xx→0xx→0xx→0可见a=3,b=0故f(x)=2x+2x+3x327.x2+1(αx+β))=0已知lim(x→∞x+1(∞∞型)试确定常数α,β.解∵x→∞x2+1f(x)=(αxβ)x+1(1α)x2(α+β)x+(1β)=x+1limf(x)=0∴分子的次数必比分母的次数低故1α=0,α+β=0即α=1,β=1.1118.求lim1212L12.n→∞32n无穷多个因子的积解原式=的极限111111lim11+11+L11+n→∞3322nn111=lim(1+)=.n→∞22n变为有限项再求极限9.解2x0求lim.（型）分子分母同乘x→432x+102xlimx→432x+1以各自的有理化因式(2x)(2+x)(3+2x+1)=lim x→4(32x+1)(3+2x+1)(2+x)3+2x+1(4x)(3+2x+1)1=lim=lim2x→42+xx→4(82x)(2+x)3=.4约去无穷小。
人教版四年级数学下册典型例题系列之第一单元《四则运算的计算题部分》(原卷版)
人教版四年级数学下册典型例题系列之第一单元四则运算的计算题部分（原卷版）编者的话：《四年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第一单元四则运算的计算题部分。
本部分内容主要是加减乘除各部分间关系的运用和混合运算顺序的掌握，考试多以填空、计算等题型为主，题目难度不大，重点在于掌握计算的基本算法和计算顺序，建议重点进行讲解，一共划分为六个考点，欢迎使用。
【考点一】加、减法的意义和各部分间的关系。
【方法点拨】1.加法：（1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
相加的两个数叫做加数。
加得的数叫做和。
（2）加法各部分间的关系：和＝加数＋加数；加数＝和－另一个加数。
2.减法：（1）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
在减法中，已知的和叫做被减数。
减法是加法的逆运算。
（2）减法各部分间的关系：差＝被减数－减数；减数＝被减数－差；被减数＝减数＋差。
3.减法是加法的逆运算。
【典型例题1】根据加减法各部分之间的关系改写算式。
（1）根据352+408＝760，写出两道减法算式是（）和（）。
（2）根据965﹣209＝756，写出两道算式是（）和（）。
【对应练习1】根据加法各部分之间的关系，写出另外两个算式。
78+189=267（），（）【对应练习2】已知〇+△＝□，则下面的算式中一定正确的是（）。
A．△+□＝〇 B．□﹣△＝〇 C．〇+□＝△ D．〇﹣□＝△【典型例题2】根据加减法各部分之间的关系进行计算。
（1）在一道减法算式里，差是245，减数是55，被减数是（）。
（2）198+（）=429【对应练习1】（）减去473，差是57。
(完整版)六年级奥数专题分数的计算技巧
六年级奥数专题分数的计算技巧专题简介分数四则运算中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过一些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。
基础学习例 1. × ÷ 例 2. ÷ × 83721094328512213典型例题例1、计算：（1）×37 （2）2004×4544200367分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与1只相差1个分数单位，如果把4544写成（1-）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。
同样，第（2）题中可以把整4544451数2004写成（2003+1）的和与相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。
200367（1）×37 （2）2004×4544200367=（1-）×37 = （2003+1）×451200367例2、计算: (1)73× (2) 166÷4115181201分析与解：（1）73把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多，1511516所以（2）把题中的166分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计201算简便。
例3、计算：（1）×39 + ×25 + ×4143426133六年级奥数专题分数的计算技巧专题简介分数四则运算中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过一些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。
基础学习例 1. × ÷ 例 2. ÷ × 83721094328512213 = × × = × × 83729104111382213 = = 34259781023⨯⨯⨯⨯22213413811⨯⨯⨯⨯ = = 1425典型例题例1、计算：（1）×37 （2）2004×4544200367分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与1只相差1个分数单位，4544如果把写成（1-）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。
一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则
一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则第一章第五节极限的运算法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则定理1.5若limf(x)=A,limg(x)=B,则x→x0x→x0(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx→x0x→x0x→x0(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABx→x0x→x0x→x0(3)若B≠0,则有f(x)=limx→x0g(x)x→x0limf(x)x→x0A=limg(x)B注对于数列极限及x→∞时函数极限的四则运算法则,有相应的结论.例如,对于数列极限,有以下结论:若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA=(3)当B≠0时,limBn→∞yn数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.推论(极限运算的线性性质)若limf(x)=A,limg(x)=B,λ和μ是常数，则x→x0x→x0x→x0lim[λf(x)±μg(x)]=λA±μB=λlimf(x)±μlimg(x)x→x0x→x0以上运算法则对有限个函数成立.于是有x→x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx→x0——幂的极限等于极限的幂一般地，设有分式函数P(x)R(x)=,Q(x)其中P(x),Q(x)都是多项式,若Q(x0)≠0，则P(x0)=R(x0)结论：limR(x)=Q(x0)x→x0注若Q(x0)=0,不能直接用商的运算法则.结论：a0xm+a1xm1+L+am=0,当n>mlimnn1+L+bnx→∞b0x+b1xa0,当n=mb0∞,当n(a0b0≠0,m,n为非负常数)对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.（二）复合函数的极限运算法则定理1.6设lim(x)=a,当0x→x0u=(x)≠a,又limf(u)=A,则有u→ax→x0limf[(x)]=limf(u)=Au→ao注1°定理1.6中的条件：(x)≠a,x∈U(x0,δ1)不可少.否则，定理1.6的结论不一定成立.2°定理1.6的其他形式若limφ(x)=∞(或limφ(x)=∞)，limf(u)=A,且x→x0x→∞u→∞则有x→x0(或x→∞)limf[φ(x)]=limf(u)=A.u→∞由定理1.6知，在求复合函数极限时,可以作变量代换：x→x0limf[(x)](x)=ulimf(u)u→alim且代换是双向的,即u→af(u)u=(x)x→x0limf[(x)].二、典型例题lim(2x2+x5).例1求x→2x→2极限运算的线性性质解lim(2x2+x5)=2lim(x2)+limxlim5x→2x→2x→2幂的极限等于极限的幂=2(limx)2+25x→2=2223=5x→x0a0x0n结论：lim(a0xn+a1xn1+L+an)=+a1x0n1+L+an例2x31lim2.x→2x3x+52x→2=limx2lim3x+lim5解Qlim(x3x+5)x→2x→2x→2=(limx)23limx+lim5 x→2x→2x→2=2232+5=3≠0,3商的极限等于极限的商2317x1=x→22=.=∴lim233x→2x3x+5lim(x3x+5) x→2lim(x31)x1.（0型）例3求lim2x→1x+2x30Qlim(x2+2x3)=0,商的极限法则不能直接用解x→1又lim(x1)=0称0x1为型极限.lim20x→1x+2x3x→1由极限定义x→1，x≠1,x1x1lim2=limx→1x+2x3x→1(x+3)(x1)11=lim=.x→1x+34约去零因子法2x3+3x2+5例4求lim.32x→∞7x+4x1∞(型)∞分析x→∞时,分子,分母都趋于无穷.可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.352++3322x+3x+5xx“抓大头”=limlim解41x→∞7x3+4x21x→∞7+3xx35lim(2++3)2xx=x→∞=.41lim(7+3)7x xx→∞例5分析121求lim3.x→2x+2x+8(∞∞型)∞∞型，先通分，再用极限法则.(x22x+4)12解原式=lim3x→2x+8(x4)(x+2)x22x8=lim=lim3x→2(x+2)(x22x+4)x→2x+8 (0)01x4=.=lim2x→2x2x+42122n2例6求lim3+3+L3.n→∞nnn无穷多项和的极限11解原式=lim3n(n+1)(2n+1)n→∞n6111=lim1+2+nn6n→∞1=.3公式求和变为有限项例7求limx→3x3.2x9x→x0limf[(x)]=limf(u)=A①x3f(u)=u解令u=(x)=2u→ax9x31x3==lim于是limu=lim26x→3x→3x9x→3(x3)(x+3) 61从而原式=limf(u)=limu==.166u→u→166从左向右用①式三、同步练习1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?(2)若limf(x)=A≠0,不存在？n1232.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnlimf(x)g(x)是否一定2x.3．求limx→4x44.已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.n2+n5.求lim4.2n→∞n3n+1f(x)2x3=2,6.设f(x)是多项式,且li m2x→∞xf(x)lim=3,求f(x).x→0x7.8.x2+1(αx+β))=0试确定常数α,β.已知lim(x→∞x+1111求lim1212L12.n→∞23n2x求lim.x→432x+19.四、同步练习解答1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?答：一定不存在．假设lim[f(x)+g(x)]存在，Qlimf(x)存在由极限运算法则可知：limg(x)=lim{[f(x)+g(x)]f(x)}必存在，这与已知矛盾，故假设错误．1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(2)若limf(x)=A≠0,不存在？limf(x)g(x)是否一定一定不存在.（可用反证法证明）答：23n12.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnn(n+1)111=lim(1+)=.解原式=lim2n→∞2nn2n→∞22x求lim.（0型）3．x→4x40解2xlimx→4x44x=limx→4(x4)(2+1=limx→42+x1=.4先有理化x)再约去无穷小４．已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.解Qlim{x2+3[A+B(x1)]}x→1x2+3[A+B(x1)]=lim(x1)=00=0x→1x1而lim{x+3[A+B(x1)]}=2(A+B0)2x→1∴2(A+B0)=0,从而A=2.于是x2+3[A+B(x1)]0=limx→1x1x2+3[2+B(x1)]x2+32=lim=lim(B)x→1x1x→1x1 =lim[x→1(x2+3)4(x1)(x2+3+2)x21(x1)(x2+3+2)x+1B]B]1∴B=.2=lim[x→11=lim[2B]=B,x→12x+3+2n2+n.5．求lim42n→∞n3n+1∞(型)∞解n→∞时,分子,分母都趋于无穷.4同时去除分子和分母,然后再取极限.可以先用n11+32n2+nlim4=limnnn→∞n3n2+1n→∞3112+4nn11lim(2+3)n→∞nn==0.31lim(12+4)n→∞nn6.设f(x)是多项式,且f(x)lim=3,求f(x).x→0xf(x)2x3lim=2,2x→∞x解根据前一极限式可令32f(x)=2x+2x+ax+b再利用后一极限式,得f(x)bb23=lim=lim(2x+2x+a+)=lim(a+)xx→0xx→0xx→0可见a=3,b=0故f(x)=2x+2x+3x327.x2+1(αx+β))=0已知lim(x→∞x+1(∞∞型)试确定常数α,β.解∵x→∞x2+1f(x)=(αxβ)x+1(1α)x2(α+β)x+(1β)=x+1limf(x)=0∴分子的次数必比分母的次数低故1α=0,α+β=0即α=1,β=1.1118.求lim1212L12.n→∞32n无穷多个因子的积解原式=的极限111111lim11+11+L11+n→∞3322nn111=lim(1+)=.n→∞22n变为有限项再求极限9.解2x0求lim.（型）分子分母同乘x→432x+102xlimx→432x+1以各自的有理化因式(2x)(2+x)(3+2x+1)=lim x→4(32x+1)(3+2x+1)(2+x)3+2x+1(4x)(3+2x+1)1=lim=lim2x→42+xx→4(82x)(2+x)3=.4约去无穷小。
2021-2022学年四年级数学下册典型例题系列之第一单元四则运算的应用题部分(解析版)
2021-2022学年四年级数学下册典型例题系列之第一单元四则运算的应用题部分（解析版）【考点一】多个量之间的加减法应用题。
【方法点拨】利用基本的加减法数量关系解决问题，该类应用题比较简单，关键在于理解题目的数量关系。
【典型例题】（1）滑雪场上午卖出86张门票，下午卖出59张门票。
滑雪场全天一共卖出多少张门票？解析：86+59=145（张）答：略。
（2）滑雪场全天卖出145张门票，其中上午卖出86张，下午卖出多少张？解析：145-86=59（张）答：略。
（3）华光文具店运来一批练习本，卖出370包，剩下630包。
运来多少包练习本？解析：370+630=1000（包）答：略。
（4）兴华小学有学生843人，其中男生有418人，女生有多少人？解析：843-418=425（人）答：略。
【对应练习1】学校、小明家和小东家在同一直线上，小明家距离学校1200米，小东家距离学校800米，那么小明家到小东家有多远？解析：1200+800=2000（米）或1200-800=400（米）答：略。
【对应练习2】小丽家、小红家和中央公园在同一条直线上，小丽家距离中央公园2250米，小红家距离中央公园1250米，那么小丽家距离小红家多少米？解析：2250-1250=1000（米）或2250+1250=3500（米）答：略。
【对应练习3】哈尔滨开往北京的高铁车厢有上下两层，一节车厢上层有104个座位，下层有78个座位。
现在上层还有3个空位，下层还有9个空位。
这节车厢现在有多少名乘客？解析：（104－3）＋（78－9）＝101＋69＝170（名）答：这节车厢现在有170名乘客。
【考点二】混合运算应用题类型一。
【方法点拨】该类型应用题比较简单，关键在于理解所求问题的意义，从未知来寻找已知条件。
【典型例题1】王叔叔从山东运回了10箱苹果和20箱雪梨，每箱苹果25千克，每箱雪梨40千克。
王叔叔运回的雪梨和苹果共多少千克？（列综合算式）解析：25×10+40×20=1050（千克）答：略。
小学5年级分数的四则混合运算习题大全
四那么混合计算〔一〕同级运算：只含有同级的运算〔只含有加减或者乘除的运算〕.运算顺序从左至右。
例如：12＋23－23 12×23÷32〔二〕不同级混合运算：加、减、乘、除四那么混合运算。
运算顺序是先算乘除.再算加减。
例如：12＋45×5 12－45÷5〔三〕有括号的四那么混合运算：计算顺序是小括号—中括号—括号外。
例如：12×[35-〔35＋4〕÷3]〔四〕四那么运算中的简便运算。
1、加法〔1〕加法结合律：a+b+c=(a+c)+b在连加算式中.可以把任何两个和为整数、整十数、整百数的加数先加起来.再与其他加数相加。
例如：75＋94＋9572 12＋998＋2＋88 =〔75+72〕+〔94+95〕 =〔12+88〕+〔998+2〕=1+1 =100+1000〔2〕多加要减：在加法算式中.可以把其中的一个加数凑成整整十数、整百数.后用和减去所凑的数。
例如：549＋199=549＋200-1=749-12、减法(1)连减：a-b-c=a-(b+c)在连减算式中.可把后几个减数先加起来.再用被减数去减。
例如：149—98—2 2- 75-72=149—〔98＋2〕 =2-〔75+72〕〔2〕多减要加：在减法算式中.可以先把减数凑成整整十数、整百数再减.然后加上所凑数。
例如：456-198=456-200+2=256+23、乘法〔1〕乘法结合律：a ×b ×c=(a ×c)×b在连乘的算式中.可以先把任何两个积为整数、整十数、整百数的因数先乘起来.再于其他数相乘。
例如：75×94×14×16938×25×4=〔75×14〕×〔94×169〕 =38×〔25×4〕= 10×41=38×100〔2〕乘法分配律：a ×b ±a ×c=a ×(b ±c )在求两积之和〔差〕的算式上.如果两积有相同的因数.可以先把不同因数相加〔减〕.再以相同的一个因数相乘。
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．13-或1D ．42．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．3B ．32C ．312+ D ．312- 2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．21B ．20C ．16D ．113．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．π2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或532．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．1- D ．33．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =； (2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.三．除法的导数法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（ ） A ．21ln x x - B ．21ln x x + C ．ln 1x x+ D ．ln 1x x- 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（ ）A ．14B ．34C ．1D ．543．求1cos xy x=-的导数．举一反三 1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（ ） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x =； (2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u=．巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（ ）A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（ ） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 24．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （ ） A ．0B ．1C ．1-D ．26．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（ ） A ．120 B ．120-C ．60D ．60-二、多选题7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（ ） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-=D ．()()cos f x f x x '-=8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（ ） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x=三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________． 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程．。
分数四则混合运算典型例题解析
数四则混合运算的运算顺序，并能正确进行分数四则混合运算。
2、了解整数运算定律对分数同样适用， 并能运用运算定律 进行有关分数的简单运算。
3、在运用已有知识和体会进行分数四则混合运算的过程 中，进一步体会数学知识之间的内在联系，体会数学知识与方 法在解决咨询题中的价值，获得成功的体验与乐趣，提升数学 学习的爱好和学好数学的信心。
三、考点分析：1、 分数四则混合运算运算的顺序，与我们差不多学过的整 数四则混合运算顺序相同。
2、 整数运算定律和性质同样适用于分数四则混合运算。
四、典型例题例1、(重点展现)运算。
7 2912宁［(7--)X 旦］【同步教育信息】本周要紧内容： 分数四则混合运算 二、本周学习目标:1、明白得并把握分9 3 10分析与解：分数四则混合运算的顺序，与我们差不多学过 的整数四则混合运算的顺序相同。
在运算过程中，能简便运算 的要简便运算。
前一题按照四则运算的运算顺序进行运算。
先算小括号里面的，最后算除法；后一题先算乘法， 减去两个数等于减去这两个数的和12 + [ （ 7 - 2 ）X 扫9 9 10=12-[丄 X -] 9 10=12-丄10=12X 10 120点评：运算的过程中只要按照运算顺序认真运算就能够了。
要注意在运算的过程中，分数加、减法和分数乘除法差异较大, 必须分清什么时候需要通分，什么时候需要直截了当约分。
例2、（误点诊所）运算。
7 X 3 亠 7 X 2-- X — • -- X —3053075372错误解法：—X 3 - — X -305 Q 30 5=-宁（3 + 2 ） 305 5= —1=3---------30分析与解：那个地点只有乘除法，按照学过的乘除混合运 算的运算方法，先把除法转化为乘法，再去运算。
J X 3 + Z X 2305305一个数连续545 4—X 3X 30X - 30 5 7 5625点评：在使用运算定律和运算规律使四则运算进行简便运 算时，要注意正确使用运算定律，像例题中的错误解法确实是 错误地使用了乘法分配律。
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《四则运算》典型例题
例．选择正确的答案填空．
（1）下面三个算式中小括号没有意义的是( )．
①(18＋12)×4－8 ②18＋(12×4)－8 ③18＋(12×4－8)
分析：小括号的作用是改变运算顺序．“小括号没有意义”指的是有小括号与无小括号运算顺序是一样的，也就是说算式加上小括号但没有改变运算顺序，因此小括号并无作
用．在上面的算式中，如果没有小括号，算式是18＋12×4－8．这时的运算顺序是第一步算乘法；第二步算加法；第三步算减法．当加上小括号后，①和③式都改变了运算顺序，②式却与没加括号时的运算顺序完全一致．因此②式中的小括号没有意义．
解: 选择答案②．
（2）要改变20×12－10÷5的运算顺序，小括号的添法是( )．
①20×(12－10)÷5 ②(20×12)－10÷5 ③20×12－(10÷5)
分析：20×12－10÷5的运算顺序是第一步算乘法和除法，第二步算减法．②式和③式虽然添了括号，但运算顺序与原来的相同；只有①式添上括号后第一步算减法，第二步算乘法，第三步算除法，它改变了原来算式的运算顺序．因此小括号的添法要选择①式．
（3）8除6和4的积，商是多少？正确列式是( )．
①8÷4×6②8÷(4×6) ③4×6÷8
分析：题目求的是商，因此先要弄清被除数和除数分别是多少．将题目的条件换个说法是“6和4的积除以8”，这样就清楚地看出，被除数是6和4的积，除数是8．列式是4×6÷8．计算时要先算4和6的积，而题目的运算顺序也是先算4和6的积，因此4×6不要加小括号．所以选择答案③．。