高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题数列与函数(方程)的综合应用新人教A版

∴ log 2 a16 = log 2 32= log 2 2 5=5 。故选 B 。
例 3. 定义在（ - ∞， 0）∪（ 0，+∞）上的函数 f x ，如果对于任意给定的等比数列 an ， f an 仍是 等比数列， 则称 f x 为“保等比数列函数”。 现有定义在 （ - ∞，0）∪（ 0，+∞）上的如下函数： ① f x =x2 ； ② f x =2x ；③ f x = x ；④ f x =ln x 。
【答案】 解：（Ⅰ）取 n=1，得 a2 a1 S2 S1 2a1 a2
①
取 n=2，得 a2 2 2a1 2a2
②
由②－①，得 a2 ( a2 a1) a 2
③
（1）若 a2 =0, 由①知 a1 =0。
（2）若 a2 0 ，则 a2 a1 1 , ④
由①④得： a1 2 1, a2 2 2; a1 1 2, a2 2 2 。
设 a4 3= x ， 则 7x3 +28x=0 7x x 2 +4 =0 x=0 a4 =3 。
∴ a1 a2
a7 7a4 =7 3=21 。故选 D。
例 2. 公比为 3 2 等比数列 { an} 的各项都是正 数，且 a3a11 16 ，则 log 2 a16 = 【
】
(A) 4
(B) 5
(C )
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七、数列与函数（方程）的综合应用：
数列与函数的结合，利用函数的性质体现数列的变化。 典型例题：
例 1. 设函数 f (x) ( x 3)3 x 1 ， { an} 是公差不为 0 的等差数列， f (a1) f (a2 )
f (a7) 14 ，则
a1 a 2
a7 【
】
A、 0
B
（Ⅱ）当 a1 0 时，由（ I ）知， a1 2 1,a2 2 2 。
当 n 2 时，有（2 2）an S2 Sn ⑤ ，（2 2） an 1 S2 Sn 1 ⑥，
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⑤－⑥ Sn Sn 1=（2 2） an an 1 ，即 an =（2 2） an an 1
则其中是“保等比数列函数”的 f x 的序号为【
】
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】 C。 【考点】 等比数列的判定，新定义。 【解析】 逐一检验：
令等比数列 an 的公比为 q ，
①对 f
x =x2 ，∵
f an +1 f an
=
an+12 an 2
=
2
an +1 = an
a1q n a1 q n 1
、7
C
、 14
D
【答案】 D。
【考点】 高次函数的性质，等差数列性质。
【解析】 ∵ { an} 是公差不为 0 的等差数列，记公差为 d 。
、 21
∴ a1= a4 3d， a2 =a4 2d， a3 =a4 d， a5 =a4 +d， a6 =a4 +2d， a7=a4 +3 d 。
则 f (a1) f (a2 )
f (a7 )
3
3
=[( a4 3d 3) a4 3d 1] [( a4 2d 3) a4 2d 1]
3
[(a4 +3d 3) a4 +3d 1]
=7( a4 3)3 +21(a4 3)+7a4 7 。
∵ f ( a1) f (a2)
f (a7 ) 14 ，∴ 7( a4 3)3 +21(a4 3)+7a4 7=14 。
f ( an ) ，得到 a n 2
1。 1 an
当 n 为奇数时， a1 1 ， a3
1 ， a5
2
2 3
，
a7
3 5
，
a11
8 。
13
当 n 为偶数时，由 a 2010
a 2012 ，得到 1
1 a 2010
a2010 ，解得 a2010
51
（负值舍去）。
2
由 a2010
1 f (a2008 ) 得
A.76
B.80
C.86
D.92
【答案】 B。
【考点】 归纳推理，等差数列的应用。
【解析】 观察可得不同整数解的个数 4， 8， 12，…可以构成一个首项为 4，公差为 4 的等差数列，通项公
式为 an 4n ，则所求为第 20 项，所以 a20 4 20 80 。故选 B。
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(D )
【答案】 B 。
【考点】 等比数列，分数指数幂，对数。
【解析】 ∵ { an} 是等比数列，且 a3a11 16 ，∴ a72 16 。
又∵等比数列 { an} 的各项都是正 数，∴ a7 4 。
9
19
∴ a16 =a7 q9 =4 3 2 =4 23 =32 。
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从而是“保等比数列函数”的 f x 的序号为①③，故选 C。
例 4. 观察下列事实 x y 1 的不同整数解 （ x, y）的个数为 4 ，x y 2 的不同整数解 （x, y）的个数为 8，
x y 3 的不同整数解 （x, y）的个数为 12 … . 则 x y 20 的不同整数解 （x, y）的个数为【 】
例 5. 已知 f (x) 1 ，各项均为正数的数列 1x
an 满足 a1 1 ， an 2 f (an) ，
若 a2010 a2012 ，则 a20 a11 的值是
▲
【答案】 3 13 5 。 26
【考点】 数列的概念、组成和性质，函数的概念。
【解析】 根据题意， f (x)
1 ，并且 an 2
1x
2
= q 2，∴
f an
是等比数列；
②对 f
x
=2x ，∵
f an +1 f an
2an +1 = 2an
=2an +1
an 不一定是常数，∴
f an 不一定是等比数列；
③对 f
x=
f x ，∵
an +1 =
f an
an +1 = an
aan
是等比数列；
④对 f x =ln x ，举个特例，令 an =2n,f an =ln 2n =ln 2n=n ln 2 是等差数列不是等比数列。
1 a2008
5 1 ，解得 a2008 2
51 。
2
51
∴当 n 为偶数时， an =
。
2
∴ a20
8 a11=
13
5 1 3 13 5
=
。
2
26
例 6. ） 已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a2an S2 Sn 对一切正整数 n 都成立。
（Ⅰ）求 a1， a2 的值；
（Ⅱ）设 a1 0 ，数列 {lg 10a1} 的前 n 项和为 Tn ，当 n 为何值时， Tn 最大？并求出 Tn 的最大值。 an