人教版数学九年级上册24.4.1 弧长和扇形面积教案

24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积
●情景导入 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及计算弧长的问题．
提出问题后，指出解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积．
【教学与建议】教学：通过计算“展直长度”的导入，建立圆和扇形的模型．建议：探索扇形弧长时，可以让学生先理解圆心角是1°的弧长是多少．
●类比导入 (1)圆的周长公式和圆的面积公式分别是什么？
(2)如图，某圆拱桥的半径是40 m ，桥拱AB 所对的圆心角∠AOB ＝90°，你会求桥拱AB 的长度吗？ (3)180°，90°，45°，n °的圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？圆心角为180°，90°，45°，n °的扇形面积分别是圆面积的几分之几？
分析：如图①，圆心角是180°，占整个周角的__180360 __，因此180°的圆心角所对的弧长是圆周长的__180
360
__，圆心角是180°的扇形面积是圆面积的__180
360
__；
图①
图② 图③ 图④ 如图②，圆心角是90°，占整个周角的__90360 __，因此90°的圆心角所对的弧长是圆周长的__90
360
__，圆
心角是90°的扇形面积是圆面积的__90
360
__；
如图③，圆心角是45°，占整个周角的__45360 __，因此45°的圆心角所对的弧长是圆周长的__45
360
__，圆
心角是45°的扇形面积是圆面积的__45
360
__；
如图④，圆心角是n °，占整个周角的__n 360 __，因此n °的圆心角所对的弧长是圆周长的__n
360
__，圆心
角是n °的扇形面积是圆面积的__n
360
__.
(4)在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长是__n πR 180 __，面积是__n πR 2
360
__．
【教学与建议】教学：通过对圆周长和面积公式的回顾，类比旧知识的学习方法来学习新知识．建议：从n °的圆心角所对的弧长和扇形面积分别占圆周长和面积的比例引导学生推导弧长公式及扇形面积公式．
●置疑导入 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米？
(3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送多少厘米？
【教学与建议】教学：圆心角从0到n °计算弧长，得出弧长公式．建议：探索弧长公式时，先理解1°的圆心角所对的弧长是多少．
命题角度1 利用弧长公式进行计算 灵活运用弧长公式解决问题．
【例1】(1)已知扇形的半径为6，圆心角为90°，则它的弧长是__3π__．
(2)已知扇形的弧长为3π，半径为9
2
，则此扇形的圆心角为__120°__．
命题角度2 利用扇形的面积公式进行计算
利用S ＝n πR 2360° ＝1
2
lR 灵活解决扇形有关计算．
【例2】(1)一个扇形的圆心角为60°，半径为6 cm ，则此扇形的面积是__6π__cm 2. (2)一个扇形的圆心角为120°，面积为12π cm 2，则此扇形的半径为__6__cm. 命题角度3 求图中阴影部分的面积
求组合图形的面积就是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差． 【例3】(1)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90度到△AB 1C 1
的位置，则边BC 扫过区域的面积为(B)
A ．12 π
B ．π
C ．3
2
π D ．2π
[第（1）题图] [第（2）题图] (2)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2.将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，点A 的对应点A ′恰好落在AB 上，连接A ′B ′，则图中阴影部分的面积为__2π－3 __．
高效课堂 教学设计
1．以圆的周长和面积为基础，探究弧长和扇形的面积公式，并会用来计算弧长和扇形面积． 2．能利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长和面积．
▲重点
经历探究弧长和扇形面积公式的过程． ▲难点
用公式解决实际问题． ◆活动1 新课导入
中国是世界上最早使用扇子的国家．自扇子传世以来，相关的趣闻轶事多不胜数；随着时代的发展，扇子不仅仅是一种纳凉工具，更是一种备受人们喜爱的工艺品．如图，扇子面的纸张面积如何计算，外围弧长又如何计算？
◆活动2 探究新知 1．教材P 111 思考． 提出问题：
(1)你还记得圆周长的计算公式吗？写出来：__C ＝2πR __．
(2)圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？__答：360°__．
(3)1°的圆心角所对的弧长是多少？__答：2πR
360
__．
n °的圆心角所对的弧长是多少？__答：n πR
180
__．
(4)由此不难得出：半径是R ，所对圆心角是n °的弧的弧长是__n πR
180
__．
学生完成并交流展示．
2．类比弧长公式的推导，如何推导扇形的面积公式？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳
1．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是__πR 180 __，n °的圆心角所对的弧长是__n πR
180 __．
2．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是__πR 2360 __，n °的圆心角所对的扇形面积是__n πR 2
360
__．
3．半径为R ，弧长为l 的扇形面积S ＝__1
2
lR __．
◆活动4 例题与练习
例1 如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB .已知半径OA ＝60 cm ，∠AOB ＝108°，则管道的长度(即AB 的长)为多少？(结果保留π)
解：设AB 的长为l cm.∵R ＝60 cm ，n °＝108°， ∴l ＝n πR 180 ＝108·π·60180
＝36π(cm).
答：管道的长度为36 π cm.
例2 如图，两个同心圆被两条半径截得的AB 的长度为5π，CD 的长度为7π，AC ＝4，求阴影部分的面积(ABDC 的面积)．
解：设圆心角为n °，则CD 的长l 1＝n πR 1180 ，AB 的长l 2＝n πR 2
180
.
∴S 阴影＝n πR 21 360 －n πR 22 360 ＝n π360 (R 21 －R 2
2 )＝n π360 (R 1＋R 2)(R 1－R 2)＝12 (n πR 1180 ＋n πR 2180 )(R 1－R 2)＝12
(l 1＋l 2)(R 1－R 2)＝1
2
(7π＋5π)×4＝24π.
答：阴影部分的面积为24π. 练习
1．教材P 113 练习第1，2，3题．
2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为( C )
A ．π
B ．1
C ．2
D ．2
3
π
3．如图，直径AB 为6的半圆，绕点A 逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( A ) A ．6π B ．5π C ．4π D ．3π
◆活动5课堂小结
1．弧长公式．
2．扇形的面积公式．
1．作业布置
(1)教材P115习题24.4第2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思。