机械振动数值分析PPT教案

RividV RividS 0
(7)
第10页/共150页
当上式对任意权函数均满足，则称为式（7）为 微分方程（1）和边界条件（4）的等效积分形 式一般。情况可选择近似解
N
ui = I aiI
(8)
I 1
将式（8）代入式（7），通过确定系数强迫残 余力在域内和边界上在某种平均意义下为零。 下面的讨论中假设近似函数完全满足边界条件 ，只考虑域内残差问题。
变形体边界上任意一点在任意时刻均满足 边界条件。
加权余量法的特点 变形体域内和边界上任意一点在任意时刻 均近似满足运动微分方程。
第9页/共150页
残余力方程
Ri ij, j fi ui
(6)
Ri ijnj Ti
加权余量法允许运动平衡方程和边界条件在若 干局部存在残差，但要求残余力在域内和边界 上的加权积分为零，即
1 WI 0
x I x I
I 1, 2, N
第13页/共150页
(11)
几类常用权函数
最小二乘法 —— 调整近似函数中的参数， 使余量均方和最小，即
aiI
Ri2dV
2
Ri
Ri aiI
dV
0
(11)
WI
Ri aiI
I 1, 2,
N
(12)
第14页/共150页
几类常用权函数 迦辽金法 —— 取试探函数为权函数
利用拉格朗日乘子法将哈密顿原理附加条件引入泛 函，得H-W变分原理泛函为
t2 t1
T P L
dt
(45)
其中
L
ij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
p u i
ui ui
dS
(46)
第38页/共150页
广义变分原理
由于所有变分项均独立，可推导出泛函取驻值条件
ij, j f ui 0
L
1 2
uTKu
uTf
1
2
Bu
uT
Bu
u
(35)
驻值条件
L uT Ku f BT Bu u
(36)
由此得
K BTB u f BTu
(37)
第33页/共150页
罚函数法修正泛函的变分
罚函数法的特点 附加条件近似满足； 不增加方程阶数； 罚参数相当于刚度系数； 解的精度与罚参数有关。
任意一点的应变可表示为
x
z
2w x2
第26页/共150页
系统总势能可表示为
P
1 2
E
x2dV
l
q( x, t )wdx
0
1 l 2w 2
l
EI
2
0
x2
dx
q( x, t )wdx
0
系统总动能可表示为
T u2 w2 dV
1 A 2
l w2dx
0
1 I
2
l 0
形函数的确定形函数的确定形函数的阶数与单元形式和自由度数有关形函数的阶数与单元形式和自由度数有关以平面三结点三角形单元为例以平面三结点三角形单元为例22结点位移表示待定系数结点位移表示待定系数11假设域内位移的插值函数假设域内位移的插值函数形函数的确定形函数的确定33解出系数并合并关于结点位移的项次得形函数解出系数并合并关于结点位移的项次得形函数其中其中形函数的确定形函数的确定44确定由结点位移表示的域内位移场并表示为矩阵确定由结点位移表示的域内位移场并表示为矩阵形式形式形函数的确定形函数的确定形函数的几个性质形函数的几个性质结点上的插值函数满足结点上的插值函数满足单元中任意点处形函数和应有单元中任意点处形函数和应有选取多项式时常数项和一次项要完备选取多项式时常数项和一次项要完备为表达统一起见可采用参数变换为表达统一起见可采用参数变换单元内部积分单元内部积分单元刚度矩阵和单元质量矩阵的一般形式单元刚度矩阵和单元质量矩阵的一般形式单元等效结点载荷的一般形式单元等效结点载荷的一般形式单元内部积分单元内部积分定积分的数值积分定积分的数值积分guassguass积分积分核心思想核心思想通过若干个点的函数值的加权组合计算通过若干个点的函数值的加权组合计算单点积分单点积分两点积分两点积分单元内部积分单元内部积分guassguass积分点位置及权系数积分点位置及权系数2sin116829单元内部积分单元内部积分二维和三维问题二维和三维问题约束条件的处理约束条件的处理直接代入法直接代入法特点特点方程阶数降低方程阶数降低aaaccacc约束条件的处理约束条件的处理对角元素置对角元素置11法法特点特点适用于零位移情况适用于零位移情况11122122约束条件的处理约束条件的处理对角元素置大数法对角元素置大数法特点特点相当于罚函数法相当于罚函数法11122122jjjn等参变换等参变换等参变换的基本思想就是局部系向总体系的映射等参变换的基本思想就是局部系向总体系的映射局部坐标系向物理坐标系的映射局部坐标系向物理坐标系的映射类似于构造形函数可构造物理坐标和局部坐标之类似于构造形函数可构造物理坐标和局部坐标之间的关系
连续性假设 —— 变形体内部处处连续 均匀性假设 —— 变形体内部物质分配均匀 各向同性假设 —— 物质在各方向上特性相同 线弹性假设 —— 变形与外力作用的关系为线性 小变形假设 —— 变形量远小于物体本身尺寸
第5页/共150页
第6页/共150页
运动微分方程
ij, j fi ui
w x
2
dx
第27页/共150页
对系统势能取变分
P
EI
l 2w
0 x2
2w x2
dx
l
q(x,t) wdx
0
l 0
EI
4w x4
q(x,t) dx
EI
2w x2
w x
3w
x3
w
l 0
对系统动能取变分
t2 Tdt
t2 A
l
w wdxdt
t1
t1
0
t2
l
Aw wdxdt
(38)
将强制位移边界代入，可解得精确解
u1
1
f1 2k
,
f2
1 f1 2
(39)
f2 为满足强制约束条件施加在第二个自由度上的载荷
拉格朗日乘子法
u u2 B 0 1
(40)
2k k 0
k k 1
0 0 0
uu12
f1 0
u2
(41)
第36页/共150页
可解得
u1
1
f1 2k
t2 Tdt
t1
(21)
ui tt1 ui tt2 0
第22页/共150页
将式（21）代入式（20），得普遍意义下的 哈密顿原理
t2 T W dt 0 t1
(22)
W ijijdV ui fidV uiTidS
(23)
式（22）说明，对真实运动，系统动能变分 和内、外力虚功在任意时间间隔内对时间的积 分为零。
标准化 —— 任意复杂问题 → 模块化分解，单元 建模 → 有限种类模块化单元
规范化 —— 几何建模 → 力学建模 → 求解 → 后 处理分析
通用化 —— 形成标准模块化程序 应用规模化、普及性 —— 求解问题规模庞大，易
于为工程技术人员掌握
第4页/共150页
第一章 线弹性动力学变分原理
基本假设
第18页/共150页
残差方程可写为
R1
a1
1
(x2
5)(x2 24
1)
1
(17)
精确解 配点法 子域法 伽辽金法 最小二乘法
1.0000 0.1788 0.1724 0.1838 0.1790
0.1832
10.000 0.07836 0.06757 0.08929 0.07891 0.08304
第21页/共150页
哈密顿原理
对式（18）在任意时间间隔内积分
t2 t1
ui uidVdt
t2 t1
ij ijdVdt
t2 t1
ui fidVdt
t2 t1
uiTidSdt
(20)
对给定时刻，方程中的第一项可转化为
uiui
t2 dV
t1
t2 t1
uiui dtdV
第30页/共150页
拉格朗日乘子法修正泛函的变分
L P
λTC(u)dV
λT C(u)dV
(29)
以离散结构为例，需要满足位移边界条件
Bu u
(30)
修正泛函为
L
1 2
uTKu
uTf
λT
Bu
u
(31)
驻值条件
uT Ku f λTBu λT Bu u 0 (32)
第31页/共150页
100.00 0.01134 0.00954 0.01453 0.01197 0.05818
1000.0 0.001025 0.000995 0.001551 0.001262 0.006068
第19页/共150页
达朗伯—拉格朗日原理
在式（7）中取权函数为真实位移的变分，可 得与运动微分方程和边界条件的等效积分形式 。
Dijkl kl ij 0
ij
1 2
ui, j u j,i uk ,iuk , j
0
ui ui
ijn j pi 0
ijn j Ti 0
x x
x
x u x u x
第39页/共150页
广义变分原理
拉格朗日乘子的物理意义为
ij Dijkl kl ij pi ijnj ijn j T
有限元法特性
复杂几何构型的适应性； 各种物理问题的可应用性； 建立于严格理论基础上的可靠性； 适合计算机实现的高效性。
第2页/共150页
有限元法的发展和现状
单元类型和形式； 有限元法的理论基础和离散格式； 有限元方程的求解方法； 有限元分析程序开发。
第3页/共150页
有限元法的优势
第34页/共150页
例3 如图所示弹簧系统，在第一个自由度上施加外力 ，在第二个自由度上施加强制位移。用拉格朗日乘子 法和罚函数法计算第一个自由度的位移
f1 f
强制位移:
u2
1 k
k
m
k
m
u1
u2
未施加强制位移时可写出系统平衡方程
2k k
k k
uu12
f1 f2
第35页/共150页
由此得H-W变分原理泛函为
t2
T
t1
1 2
Dijklij kl
fiui
ij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
dt
t2 t1
TiuidS n u ij j ui ui dS dt
第40页/共150页
习题2 如图所示弹簧系统，在第一个和第三个自由度 上施加外力，在第二个自由度上施加强制位移。用拉 格朗日乘子法和罚函数法计算第一个和第三个自由度 的位移，并计算第二个自由度上的作用力
(1)
应变方程
ij
1 2
ui, j u j,i uk ,iuk , j
(2)
本构方程（物理方程）
ij Dijkl kl
(3)
第7页/共150页
边界条件
ijn j Ti
ui ui
初始条件
ui t0 ui0
ui
t0
ui0
(4) (5)
第8页/共150页
问题的精确解的特点
变形体域内任意一点在任意时刻均满足运 动微分方程。
拉格朗日乘子法修正泛函的变分
由此得
K BT u f
B
0
λ
u
(33)
拉格朗日乘子法的特点
方程组的阶数增加； 拉格朗日乘子有明确物理意义，相当于力； 导出的系数矩阵存在零对角元。
第32页/共150页
罚函数法修正泛函的变分
C
P
CT (u)C(u)dV
(34)
仍以离散结构为例，修正泛函为
t2 t1
T
P dt
T t2
t1
P
dt
0
(26)
式（26）说明，完整有势系统在任意时间间隔 内满足几何关系和给定位移边界条件的所有可 能运动中，真实运动使哈密顿作用量取驻值
第25页/共150页
例2 用哈密顿原理推导受均布动载荷的等截面 悬臂梁的振动微分方程 梁内任意一点位移可表示为
u z w x
WI I I 1, 2, N
(13)
迦辽金法的特点 余量方程相当于虚功； 求解方程系数矩阵有对称性； 当存在泛函时与变分法有等效结果。
第15页/共150页
例1 用各种加权余量法计算图示弹性基础梁的 挠度
z
p
x
O
第16页/共150页
弹性基础梁的基本微分方程和边界条件为
d4w
dx 4 w
第23页/共150页
考虑粘滞力后
t2 t1
T W W
dt 0
(24)
W ui uidV
式（23）中考虑了粘滞力的虚功。
第24页/共150页
考虑到应力应变关系，外力虚功可改写为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
W
1 2
Dijklij kldV
fiuidV
TiuidS
(25)
将式（25）代入式（22），可得
,
f1 1
2
(42)
为约束反力的负值
罚函数法
2k k
k
k
uu12
fu12
(43)
取 1000k
u1
1001 f1 1000 2001k
, u2
f1 2000 2001k
,
f2
1000(1 2001
f1)
第37页/共150页
广义变分原理
将场函数应满足的附加条件引入泛函，将的变分原 理转化为无附加约束条件的变分原理。
x 1
w 0
1
0
w x1 0
x [1,1] (14)
x 2x w 16EI w kl4
l
pl 4
16EI
第17页/共150页
取试探解为无弹性基础时的精确解
1
(
x2
5)( x 2 24
1)
(15)
则近似解可表示为
w1
a11
a1 ( x 2
5)(x2 24
1)
(16)
容易发现，式（16）严格满足边界条件
机械振动数值分析
会计学
1
有限元法要点
概述
求解域的离散 —— 将连续体求解域离散为若干个 子域，通过子域边界协调条件构造连续体；
利用近似函数求解 —— 每个子域内用近似函数分 片表示全域内待定的未知变量；
原问题的等效 —— 利用变分或加权余量法，建立 基本变量代数方程组或常微分方程组。
第1页/共150页
第11页/共150页
权函数可以选N个函数的线性组合，即
N
vi = WIbiI
(9)
I 1
将式（9）代入式（7），得
RiWI dV 0
(10)
第12页/共150页
几类常用权函数 配点法 —— 取Dirac函数为权函数
WI δ(x xI ) I 1, 2, N (10)
子域法 —— 权函数在N个子域内取1，在子 域外取零，即
t1 0
第28页/共150页
代入哈密顿方程得
Aw
EI
4w x4