人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第1课时奇偶性的概念课件

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回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．具有奇偶性的函数，其定义域、图象和解析式各有什么特点？ [提示] (1)定义域特点：关于原点对称； (2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称； (3)解析式特点：偶函数满足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函数 满足f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0． 2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？ [提示] 定义法和图象法．
x f (x)＝x2
－3
－2
－1
1
2
3
知识点 函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件 设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D
结论
f (－x)＝__f_(_x_)_
f (－x)＝_－__f_(_x_)__
图象特点
关于_y_轴_对称
关于原__点__对称
提醒 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称． (3)当f (x)的定义域关于原点对称时： ①若f (－x)≠±f (x)⇔f (x)是非奇非偶函数． ②若f (－x)＝±f (x)⇔f (x)既是奇函数又是偶函数．
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学习 任务
1．理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(直观想象) 3．掌握判断函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
01
必备知识·情境导学探新知
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间 具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．
(2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝____4____． 4 法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋ a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4． 法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4． 法三：由函数f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函数， ∴4－a＝0，∴a＝4．
0
7
7 令g (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g (x)是奇函数， 所以f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2，又f (－3)＝－3， 所以g (3)＝5．又f (3)＝g (3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7．
反思领悟 由函数的奇偶性求参数值的思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的 方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f (－x) 与f (x)的关 系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的 函数值的关系列方程求解．注意，该方法求出的参数值要代入解析 式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．
反思领悟 判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法：
(2)图象法：
[跟进训练] 1．(多选)下列判断正确的是( )
√ √
BC [对于A，f (x)的定义域为[－1，1)，定义域不关于原点对称， ∴f (x)不是偶函数，∴A错误； 对于B，当x>0时，－x<0， ∴f (－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f (x)． 当x＜0时，－x＞0， ∴f (－x)＝－x2－x＝－f (x)， ∴f (x)是奇函数，∴B正确；
数．
()
×
2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于___1_____． 1 [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．]
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 函数奇偶性的判断 类型2 奇偶函数的图象问题 类型3 利用函数的奇偶性求值
◆ 类型1 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x3＋x； [解] 函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R． 且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)， 因此函数f (x)是奇函数．
(2)由(1)可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2，5)．
反思领悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对 称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画 出奇偶函数图象的问题．
[跟进训练] 2．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0 时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象， 如图所示． (1)请补出完整函数y＝f (x)的图象； [解] 由题意作出函数图象如图： (2)根据图象写出函数y＝f (x)的增区间； [解] 据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合． [解] 据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．
【例2】 已知奇函数f (x)的定义域为[－5， 5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．
(2)写出使f (x)<0的x的取值集合． [解] 由图象知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．
[母题探究]
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解] (1)如图所示：
◆ 类型2 奇偶函数的图象问题 【例2】 已知奇函数f (x)的定义域为[－5， 5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5，0]上的图象； [解] 因为函数f (x)是奇函数，所以y＝f (x)在[－5，5]上的图象关于 原点对称． 由y＝f (x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A
√B
C
D
B [B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶
性．故选B．]
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√
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3．若函数f (x)(f (x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f (x)f (－x)>0
√B．f (x)f (－x)<0
[跟进训练]
3．(1)若函数f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝( )
A．1
B．2 C．3
√D．0
D ∵f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f (－x)＝f (x)对于任意x∈R都
成立．
∴f (－1)＝f (1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0．当a＝0时，经
检验，满足题意．故选D．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打× ”)
(1)若f (－1)＝f (1)，则函数y＝f (x)(x∈R)一定是偶函数．( ) ×
(2)若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数．( )×
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
×
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函
C．f (x)<f (－x)
D．f (x)>f (－x)
B [∵f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)， 又f (x)≠0，∴f (x)f (－x)＝－[f (x)]2<0．故选B．]
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4 ． 已知 一个奇 函数的 定义域 为 { － 1 ， 2 ， a ， b} ， 则 a ＋ b 等 于 ___－__1___． －1 [由题意可知－1＋2＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1．]