【湘教版】高中数学必修四期末试题(带答案)(2)

一、选择题
1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θ
θ
=，则tan 2θ的值为（ ） A ．
34
B ．
43 C ．
23
D ．
32
2．已知0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，2sin 2cos21αα-=，则cos α=（ ） A ．
15
B
C ．
35
D
3．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()5π2f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．π4f x ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是奇函数 4．在ΔABC 中,
2sin (22
c a B
a b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形
5．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足
1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）
A 31-
B ．221-
C ．231-
D ．71-
6．若2
a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[0,2]
C ．22,222]-+
D ．[222,2]-
7．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
8．设非零向量a 与b 的夹角是23π
，且a a b =+，则22a tb b
+的最小值为（ ）
A ．
33
B ．
32
C ．
12
D ．1
9．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （
51
2
AB BC -=
）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，
GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2
m l n =⋅；
③2m l n =+；④
211
m l n
=+.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
10．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin
2
b a < B ．()2
cos >cos 3a b -
C ．(
)
2
sin sin3a b +<
D ．2
3cos >sin 2b a ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
11．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数
sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度
越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是
111
sin sin 2sin 3sin 4234
y x x x x =++++
．结合上述材料及所学知识，你认为下列说
法中正确的有（ ）．
A ．函数111
1
sin sin 2sin3sin 4sin100234
100
y x x x x x =+
++++
不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+
++在区间,1616ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增；
C ．若某声音甲对应函数近似为111
()sin sin 2sin3sin 4234
f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1
()sin 22
h x x =
响度大； D ．若某声音甲对应函数近似为1
()sin sin 22
g x x x =+
，则声音甲一定比纯音1
()sin33
h x x =更低沉．
12．已知()()
sin 6f x x a b x ππ⎛⎫
=--+
⎪⎝
⎭
，若()0f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ）
A ．
56
B ．
23
C ．1
D ．2
二、填空题
13．已知(0,)θπ∈，且sin 410
πθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭，则sin 2θ=__________．
14．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 15．在ABC 中,已知tan
sin 2
A B
C +=,给出以下四个论断:
①tan tan A B =,②1sin sin A B <+≤
22sin cos 1A B +=,④
222cos cos sin A B C +=,其中正确的是__________.
16．在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，
3CF
FD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______．
17．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.
18．在ABC 中，AB =AC =
G 为ABC 的重心，则
AG BC ⋅=________．
19．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移12π
个单位，再向上平移1个单位，得
到()g x 的图象.若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为_______________.
20．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得
()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ．下列结论：
①函数3y x x =-具有性质M ；
②函数35x x y =+具有性质M ；
③若函数()[]8log 2,0,y x x t =+∈具有性质M ，则510t =； ④若3sin y x a =+具有性质M ，则5a =． 其中正确结论的序号是____________．
三、解答题
21．（1）求值：4sin 220tan320-︒︒； （2）已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫
+=--<< ⎪⎝⎭
，求22cos sin 2x x +的值.
22．已知,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，且sin cos 222
αα-=. （1）求cos α的值；
（2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求cos β的值． 23．已知向量()()3,1,1,2AB AC =-=-. （1）求向量AB 与AC 的夹角θ；
（2）若()()
AB AC AB AC λ+⊥-，求实数λ的值.
24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；
（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +. 25．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛
⎫=
-+∈ ⎪⎝
⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值 26．定义行列式运算法则为：
1214233
4
a a a a a a a a =-，已知函数(
)2cos 2sin x f x x
=
.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）若函数()()02g x f x m m π⎛⎫
=+<<
⎪⎝
⎭
是偶函数，求不等式()0g x ≤的解集.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθ
θθθ
+=
-，再利用二倍角的正切化简前者，结合
tan 311tan θθ
=可得1
tan 2θ=，从而可求tan 2θ.
【详解】
32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θ
θθθθθθθθθθθθθ
+
+--===---⨯-， 故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ
---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2
θ=，故1
242tan 21314
θ⨯
=
=-， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：已知θ的三角函数值，求(
)*
n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函
数值逐级计算即可.
2．D
解析：D 【分析】
先利用二倍角公式化简整理得到1
sin cos 2
αα=，再利用同角三角函数的平方关系，结合范围解出cos α即可. 【详解】
由2sin 2cos21αα-=，0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，得2sin 21cos2αα=+，cos 0α>， 所以24sin cos 2cos ααα=，即2sin cos αα=，故1
sin cos 2
αα=， 代入22sin cos 1αα+=得，
25cos 14
α=，故24cos 5α=，
因为cos 0α>，所以cos 5
α=. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点.
3．B
解析：B 【分析】
利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成
立知π422f a ⎛⎫=+=
⎪
⎝⎭
a b =，整理得()
sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数
的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】
由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，
利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan b
a
ϕ=
， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的最值，
所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪
⎭
， 即
22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2
102
a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ=
=，可得4
π
ϕ=，
所以()sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 5
sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<， 当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选项A 不正确； 对于选项B ：
sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎭
()ππ
4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
--+，故选项B 正确；
对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭ ⎪⎝
⎭是奇函数，故选项C 不正确；
对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+
++ ⎪⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成立，知
π
4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，从而得
()
sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，属于中档题.
4．A
解析：A 【解析】
依题意，利用正弦定理及二倍角公式得
sin sin 1cos 2sin 2
C A B
C --=，即sin sin cos A C B =，又
()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故
π
cos 0,2
C C ==
，故三角形为直角三角形，故选A. 5．C
解析：C 【分析】
计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】
222
2222cos
123
AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π
+=++⋅=++⋅=，
所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得
()()
231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.
当且仅当AP AB AC
+方向相反时，等号成立.
--与AB AC
-.
因此，AP的最小值为231
故选：C.
【点睛】
结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：-≤±≤+.
a b a b a b
6．D
解析：D
【解析】
如图所示：OA a
=，OB b
=，OD a b
=+
=，OC c
∵()()0
-⋅-≤，∴点C在劣弧AB上运动，
a c
b c
+-表示C、D两点间的距离CD．
a b c
CD的最大值是BD＝２，CD最小值为OD2222
-=.
故选D
7．A
解析：A
【解析】
由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为
1
2
．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC +
+=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．
8．B
解析：B 【分析】
利用向量a 与b 的夹角是23π
，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b
+化成
只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】
对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图
a BA CD ==，
b BC =，a b BD +=,
23ABC π
∠=
，3
DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+， 2
2
2
2222=
=
222a tb a tb a tb b
b
b
+++，
a b =，
2
2
2
22
222
244cos 223=224a t a b t b a tb a tb b b b
π++++=， 2
222
222
2
244cos
4231244a t a b t b a t
a a t a t t b
a
π++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb
b
+的最小值为
2
. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb
b
+化成只含有t 为自变量的二
次函数形态，进而求最值.
9．A
解析：
A 【分析】 设1A
B =，则2B
C =
，再由
1
4
圆弧分别求出,,
l m n ，再逐项判断即可得正确选项. 【详解】 不妨设1AB =，则
2BC =，
所以)12l BE π
==
⨯
，
)213ED =-=
所以(3
2
m EG π
==⨯，
(
134
CG =-=，
所以())422
n GI π
π==⨯=，
所以(
()
)
3412
2
2
m n l π
π
π
⨯+
⨯
=
⨯
=
=+
，故①正确；
(2
2
2
2734
2m π-⨯=
=
，
)
)
2
7122
2
l n π
π-⨯⨯
=
⋅=， 所以2m l
n =⋅，故②正确；
))
5
122
2
l n π
ππ⨯
+
+=
=
，((22332m ππ=⨯⨯-=-，
所以2m l n
≠+，故③不正确；
11l n
l n l n
+
+===
⋅
(
113
2
3
2
mππ
+
==
⨯
，所以
211
m l n
≠+，
故④不正确；所以①②正确，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即,,
l m n的值.
10．D
解析：D
【分析】
对各个选项一一验证：
对于A.由0<2a<b<3-2a，可以判断出
2
b
a<，借助于正弦函数的单调性判断；
对于B.由0<2a<b<3-2a，可以判断出23
a b
<-，借助于余弦函数的单调性判断；
对于C.由0<2a<b<3-2a，可以判断出23
a b
+<，借助于正弦函数的单调性判断；
对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断；
【详解】
因为0<2a<b<3-2a
对于A. 有0<
2
b
a<，
若
22
b
a
π
<<，有sin sin
2
b
a<；若
22
b
a
π
<<，有sin sin
2
b
a>，故A错；
对于B.有23
a b
<-，若23
2
a b
π
<<-，有()
2
cos>cos3
a b
-，故B错；
对于C. 23
a b
+<，若23
2
a b
π
<+<，有()
2
sin sin3
a b
+>，故C错；
对于D. 222
333
sin cos cos
2222
a a a
ππ
+
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又因为b<3-2a<3，所以2
cos>cos(3)
b a
-
∵22
3
3
2
a a
π+
-<-∴()22
3
cos3cos
2
a a
π+
⎛⎫
->-
⎪
⎝⎭
∴()222
33
cos cos3cos sin
22
a a
b a
π+
⎛⎫⎛⎫
>->-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故D对.
故选：D.
【点睛】
利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．
11．B
解析：B 【分析】
A.结合奇偶性的定义判断即可
B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明 【详解】
A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++ ()()()()()()()
1111
sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100
f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数
B. ,1616x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上均为增函数
故111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+
++在区间,1616ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增. C. ()()1
1
()sin sin 3sin 434
g x f x h x x x x =-=++
()()11
()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++
()()11
()sin sin 3sin 4034
g f h ππππππ=-=++=
故声音甲的响度不一定比纯音1
()sin 22
h x x =响度大 D. ()11
()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+
- ()11
()()sin sin 2sin 3023
h g h ππππππ=-=+-=
甲不一定比纯音1
()sin33
h x x =更低沉 故选：B 【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
12．A
解析：A 【分析】
根据题意分析可得当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡
⎤⎡⎤
∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，0x a b --≥，从而可得5
06106
a b a b ⎧--=⎪⎪
⎨⎪---=⎪⎩，解方程即可求解.
【详解】
当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛
⎫
+≥ ⎪⎝⎭， 当151,,16
6x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦时，sin 06x ππ⎛
⎫+≤ ⎪⎝⎭
，， 故当15,66
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，0x a b --≤时，
当151,,166x ⎡⎤⎡⎤
∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
时，0x a b --≥， 即50610
6
a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得13
12a b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ ，所以56a b +=. 故选：A 【点睛】
本题考查了三角函数的性质、不等式恒成立，考查了基本运算求解能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】根据利用诱导公式和二倍角公式转化为求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用还考查了转化求解问题的能力属于中档题 解析：
24
25
【分析】 根据sin 410
πθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭，利用诱导公式和二倍角公式转化为2sin 2cos 2122sin 4πθθπθ⎛⎫=-=- ⎪⎛
⎫- ⎪⎝
⎝⎭⎭求解.
【详解】
因为sin 410πθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭， 所以224sin 4sin 2cos 2co 25s 21224πππθθθθ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=-=-=- ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 故答案为：24
25
【点睛】
本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
14．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号
解析：
26
- 【分析】 构造角22643π
ππαα⎛
⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】
()50,,,444
π
ππ
απα⎛⎫∈+
∈ ⎪⎝⎭，sin 462πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 46πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝
⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛
⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2132⎛=
⨯+= ⎝⎭
故答案为：26
【点睛】
本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.
15．②④【分析】已知式子变形可得逐个选项判定即可【详解】解：因为所以整理得所以①中：因为所以不一定等于故①不正确；②中：因为又因为所以所以故②正确；③中：不一定成立故③不正确；④中：所以故④正确【点睛】
解析：②④
【分析】
已知式子变形可得2
A B π
+=，逐个选项判定即可.
【详解】 解：因为tan
sin 2
A B
C += 所以
sin
22sin cos 22cos 2
A B
A B A B A B +++=+ 整理得()cos 0A B += . 所以2
A B π
+=
.
①中：因为2
A B π
+=
，所以tan A 不一定等于tan B ，故①不正确；
②
中：因为sin sin sin cos 4A B A A A π⎛
⎫+=+=
+ ⎪⎝
⎭
又因为
34
4
4A π
π
π<+
<
，所以sin 124A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭
所以1sin sin A B <+≤
故②正确；
③中：22222sin cos sin si n 12n si A B A A A ==+=+，不一定成立，故③不正确； ④中：2222cos cos cos sin 1A A B A +==+,2
2
sin si 1n 2
C π
==,
所以222cos cos sin A B C +=.故④正确. 【点睛】
本题考查两角和与差的三角函数公式，命题的真假的判断，属基础题.
16．【分析】本题首先可根据题意得出然后将转化为再然后根据列出算式最后通过计算即可得出结果【详解】如图结合题意绘出图像：因为所以则故因为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算主要考查 解析：
13
10
【分析】
本题首先可根据题意得出23BE
AD 、1
4
DF AB =，然后将AC AE AF λμ=+转化为2314AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，再然后根据AC AB AD =+列出算式，最后通过计算即
可得出结果. 【详解】
如图，结合题意绘出图像：
因为2BE EC =，3CF FD ，
所以22
33BE BC AD ，11
44
DF DC AB ， 则2
3
AE
AB BE AB
AD ，1
4
AF AD DF AD
AB ， 故3142AB AD AC AE AF AD AB λμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
+
4231AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫
=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为AC AB AD =+，
所以114213
λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得910λ=，25μ=，1310λμ+=，
故答案为：13
10
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
17．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想
解析：5
3
【分析】
将已知条件转化为15
39
AO AB AC =
+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λ
λλ=
+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以
()()
350 OA AB AO AC AO
+-+-=，
所以935
AO AB AC
=+，即
15
39
AO AB AC
=+.
因为BD DC
λ
=，即()
AD AB AC AD
λ
-=-,
化简得
1
11
AD AB AC
λ
λλ
=+
++
，
设
11
k k
AO k AD AB AC
λ
λλ
==+
++
，
所以
1
13
5
19
k
k
λ
λ
λ
⎧
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪+
⎩
，解得
5
3
λ=.
故答案为：
5
3
【点睛】
本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
18．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型
解析：6
【分析】
根据三角形重心的性质转化为()
1
3
AG AB AC
=+，以及BC AC AB
=-，再求数量积.【详解】
如图，点D是BC的中点，
G为ABC的重心，∴()()
2211
3323
AG AD AB AC AB AC
==⨯+=+，
BC AC AB
=-，
所以()()
()
2211
33
AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()1
26863
=
-=
故答案为：6 【点睛】
本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
19．【分析】根据图象的平移得出函数再由已知得或要使最大则最大最小可求得取得的最大值【详解】将函数的图象向左平移个单位可得的图象再向上平移1个单位得到的图象则因为所以当得或∵∴要使最大则最大最小则当最大最
解析：5512
π
【分析】
根据图象的平移得出函数()2sin 213g x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，再由已知得()()123g x g x ==或()()123g x g x ==-.要使122x x -最大，则123
x π
+
最大，223
x π
+
最小.可求得12
2x x -取得的最大值. 【详解】
将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π
个单位，可得
2sin 2+2sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图象，
再向上平移1个单位，得到()2sin 213g x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
的图象.则()33g x -≤≤， 因为[]12,2,2x x ππ∈-，所以当()()129g x g x =，得()()123g x g x ==或
()()123g x g x ==-.
∵[]12,2,2x x ππ∈-，∴1211132,2,3
333x x π
π
ππ⎡⎤++
∈-⎢⎥⎣⎦
， 要使122x x -最大，则123
x π
+
最大，223
x π
+
最小.
则当1723
2x π
π+
=
最大，25232x ππ+=-最小时，即11912x π=，2176
x π=-时，122x x -取得最大值为
5512
π
. 故答案为：5512
π
. 【点睛】
本题考查三角函数的图象平移，正弦型函数的最值，属于中档题.
20．②③【分析】根据函数性质的定义结合每个选项中具体函数的定义即可判断【详解】①当时显然不存在是的故①错误；②是单调增函数其值域为对任意的总存在使得故②正确；③函数在上是单调增函数其值域为要使得其具有性
解析：②③ 【分析】
根据函数性质M 的定义，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】
①当10x =时，显然不存在2x ，是的()()121f x f x =，故①错误； ②35x x y =+是单调增函数，其值域为()0,∞+，
对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，故②正确； ③函数()8log 2y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦
要使得其具有M 性质，则88
8
81log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧
≤⎪+⎪⎨⎪+≤
⎪⎩
，即()88log 2log 21t ⨯+=，
解得()3
28t +=，
故510t =.故③正确；
④若函数3y sinx a =+具有性质M ，
一方面函数值不可能为零，也即30sinx a +≠对任意的x 恒成立， 解得3a >或3a <-，在此条件下， 另一方面，1
3y sinx a
=
+的值域是3y sinx a =+值域的子集.
3y sinx a =+的值域为[]3,3a a -+,
13y sinx a =
+的值域为11,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦
要满足题意，只需
113,333
a a a a ≥-≤++-，
解得291a -=
，故a =.故④错误. 综上所述，正确的是②③. 故答案为：②③ 【点睛】
本题考查函数新定义问题，涉及正弦函数值域的求解，对数函数值域的求解，属综合中档题.
三、解答题
21．（1
）2）825
. 【分析】
（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到4x π
+的范围，进而求出cos 4x π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可. 【详解】
（1）4sin 220tan320-︒︒
()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒ sin 440tan 40︒+=-︒ sin 440sin 40cos 40︒
︒=-+︒
sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒
-=︒
sin80sin 40co 402s -=
︒+︒
︒
()
0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=
-︒
0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒
=
-︒
3cos1022
cos 40-︒︒
︒
=
=
（2）
344x ππ-<<， 4
2
2
x π
π
π
∴-
<
+<
，
则cos 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭
， 所以3cos 45
x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又2cos 22cos 1x x =-，
cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4324255
25⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 则22412cos cos 2112525
x x =+=-+=； sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2972cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 所以21782cos sin 2252525x x +=
+=； 【点睛】
关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.
22．（1）；（2. 【分析】
（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.
（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.
【详解】
（1）将sin cos 22α
α
-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，
又2
παπ∈（，），所以cos α==.
（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22
ππαβ-<-<.
又因为4sin()5αβ-=，
所以3cos()5
αβ-， 所以cos cos[)]βααβ=-
-（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-
314525=+⨯， 【点睛】
关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．
23．（1）
4
π；（2）23． 【分析】
（1）由向量的夹角公式计算可得答案；
（2）由向量垂直的坐标表示可得答案．.
【详解】
（1）因为向量()()3,1,1,2AB AC =-=-，所以
31+12cos 2
θ⨯-⨯-==， 又0θπ≤≤，所以4π
θ=.所以向量AB 与AC 的夹角4
π； （2）因为向量()()3,1,1,2AB AC =-=-，所以
()()4331+2AB AC AB AC λλλ+=--=--，，，，
又()()AB AC AB AC λ+⊥-，则()()()431+3+20λλ⨯--⨯-=，解得23
λ=，所以实数λ的值为
23. 【点睛】
方法点睛：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则//a b 12210x y x y ⇔-=，a ⊥b 1212+0y x x y ⇔=. 24．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t =
【分析】
（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出
2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．
【详解】
（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||25AB ==
（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+.
∵()tOC OB
AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t = 【点睛】
考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．
25．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】
（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；
（2）解不等式()3222232
k x k k Z πππππ+
≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间； （3）由44
x ππ-
≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值.
【详解】 （1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=
=； （2）由()3222232k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-
≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-
=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当23
6x π
π-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264
f x π=+=. 【点睛】 方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或
()cos y A x k ωϕ=++的形式；
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
26．（1）π；（2）,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）先利用题中定义计算化简行列式，再利用周期的公式计算即可；
（2）先利用()g x 是偶函数计算参数m ，再结合余弦函数图象与性质解不等式即可.
【详解】
解：（1）依题意得，(
)22cos 2sin cos 2sin x f x x x x x ==
-2sin 2x x =-
2cos 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 故()f x 的最小正周期为：22
T ππ==； （2）函数()(
)2cos 22cos 2266g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=++
=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 故2,6m k k Z ππ+=∈，即,12
2k m k Z π
π=-+∈， 又02m π
<<可知，1k =时512
m π=，
故5()2cos 222cos 2126g x x x ππ⎛
⎫=+⋅+=- ⎪⎝⎭
. 故不等式()0g x ≤
，即2cos 20x -+≤
，即cos 2x ≥
， 结合余弦函数图象与性质可知，222,66k x k k Z ππππ-
+≤≤+∈， 解得,1212k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈. 故不等式的解集为,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
关键点点睛：
本题解题关键在于读懂新定义中行列式的计算法则，才能结合三角函数的图象与性质突破难点.。