完全平方公式第1课时

纠
指出下列各式中的错误，并加以改正：
错
(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1;
练
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
习
(3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;第一数与第二数乘
积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
动脑筋
想一想
完全平方公式 的证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2=a2 −2ab+b2.
(1) 用多项式的乘法法则来证明它成立。
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+b2;
(a−b)2= 你能自己完成吗?
完全平方公式 的图形理解
A．①②③
B．①②④
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
C．①③④
D．②③④
3.下列运算正确的是( C ) A．a2·a3＝a6 C．(－2a2b)3＝－8a6b3
B．(a2)3＝a5 D．(2a＋1)2＝4a2＋2a＋1
4.下列计算正确的是( C ) A．(x＋y)2＝x2＋y2
C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2 D．(x－1)2＝x2－1
5. 运用乘法公式计算 (a - 2)2 的结果是（ A ）
A．a2 - 4a + 4
B．a2 - 2a + 4
C．a2 - 4
D．a2 - 4a - 4
6. 下列计算结果为 2ab－a2－b2 的是 ( D )
9. 若 a + b = 5，ab = －6，求 a2 + b2，a2－ab + b2. 解：a2 + b2 = (a + b)2－2ab = 52－2×(－6) = 37，
a2－ab + b2 = a2 + b2－ab = 37－(－6) = 43.
10. 已知 x + y = 8，x－y = 4，求 xy. 解：∵ x + y = 8，∴ (x + y)2 = 64，即 x2 + y2 + 2xy = 64 ①.
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
问题 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
1. 说一说积的次数和项数； 2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有
什么关系？ 3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，
y
1 2
2
.
解：
y
1 2
2 =
y2
-
1
2•y•2
+
1 2 2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = y2 - y + 1 .
4
针对训练 利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2；
(3) (－3a＋b)2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
证明：数(多项式相乘)、形(面积法) 文 字 ： 两数和与这两数差的积,等于这 两数的平方差.
公式：（a+b)2= a2+2ab+b2 （a-b)2= a2-2ab+b2.
变形：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy ＝(x+y)2－2xy,
(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
证明：数(多项式相乘)、形(面积法)
应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1;
(3) 第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的 2倍 错了符号;第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992.
解： 1022 = (100 + 2)2
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
(2) 原式＝20222－2×2022×2021＋20212 ＝(2022－2021)2＝1.
例3 已知 x－y＝6，xy＝－8. 求： (1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy，
典例精析
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ；
注意 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32
= 4x2 − 12x + 9 ;
做题时要边念边写：
第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
典例精析
例1 利用完全平方公式计算： (2) (4m + n)2；
解：(4m + n)2 = (4m)2 + 2 • (4m) • n + n2
(a + b)2 = a2
+ 2ab
+ b2
= 16m2 + 8mn + n2.
(3)
计算下列各式，你能发现什么？ (1) (p+1)2 =p2+2p+1=p2+2×p×1+12 (2) (m+2)2= m2+4m+4=m2+2×m×2+22 (3) (p-1)2 = p2-2p+1=p2-2×p×1+12 (4) (m-2)2 = m2- 4m+4=m2-2×m×2+22
猜想 (a+b)2= a2+2ab+b2 (a -b)2= a2 - 2ab+b2
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的图形理解
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a+b)2= a2+2ab+b2
初
(a−b)2 = a2− 2ab+b2 .
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1)
∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。
解：992 = (100 – 1)2
= 10000 + 400 + 4
= 10000 - 200 + 1
= 10404.
= 9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记 完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方 公式的形式．
针对训练 利用乘法公式计算： (1) 982－101×99； (2) 20222－2022×4042＋20212. 解：(1) 原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
课堂练习
1.指出下列各式中的错误，并加以改正： (1)(2a － 1)2=2a2 －2a ＋1 ； (2)(2a ＋ 1)2=4a2 ＋1 ； (3)(－ a － 1)2= － a2 －2a － 1 ．
2.下列变形中，错误的是；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy ＝36－16＝20.
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
拓展练习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
并进行比较.你发现了什么？
直接求：总面积 = (a + b)(a + b). b
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2.a
你发现了什么？
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
a
计算下列各式，你能发现什么？
(1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)= p2+2p+1 (2) (m+2)2= (m+2)(m+2)=m2+4m+4 (3) (p-1)2 =(p-1)(p-1)= p2-2p+1 (4) (m-2)2 = (m-2)(m-2)=m2- 4m+4
回顾旧知———平方差公式
( a + b )( a – b )=a2 - b2 问题：那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是 否也能用一个公式来表示呢？
情境引入 一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要 将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植不同的
新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，
(4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy， (x－y)2＝(x＋y)2－4xy.
课堂小结
多
项 式 乘 多 项
特殊
乘 法 公 式
式
平方差公式 完全平方公式
公式：(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
b 有什么关系？它的符号与什么有关？
完全平方和公式(a+b)2= a2 +2ab+b2
完全平方差公式(a-b)2= a2 - 2ab+b2
公式特点：
1、积为二次三项式；
首平方，
2、积中两项为两数的平方和；尾平方，
3、另一项是两数积的2倍，且 2倍首尾
与乘式中间的符号相同。
在中央
注意：公式中的字母a，b可以表示数，单项式 和多项式。
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
学习目标展示
1、经历两个数的和（差）的平方的探究，归纳 出完全平方公式。
2、通过对几何图形面积的求解，验证完全平方 式，并能运用完全平方公式进行简单的运算
3、通过自主、合作、探究，探索完全平方公式， 感悟从具体到抽象的研究方法，感受观察、猜 想，归纳、验证的数学思想
A．(a－b)2
B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2
D．－(a－b)2
7. 运用完全平方公式计算： (1) (6a + 5b)2 =__3_6_a_2_+_6_0_a_b__+__2_5_b_2 _； (2) (4x - 3y)2 =___1_6_x_2 _-_2_4_x_y_+__9_y_2__；
∵ x－y = 4，∴ (x－y)2 = 16，即 x2 + y2－2xy = 16 ②. 由 ①－② 得 4xy = 48. ∴ xy = 12.
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? (3) (a-b)2与a2-b2相等吗?
(3) (2m - 1)2 =____4_m__2_-_4_m__+__1____；
(4) (-2m - 1)2 =___4_m__2_+_4_m___+_1____. 8. 由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝ 64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792 ＝___2_5__．
几 b ab b2
识 结构特征:
何 解
完 左边是 两数的和（差） 的平方; 释: a a2 ab
全 右边是 两数平方的和加上（减去）两数 乘积的2倍
a
b
平
方 语言表述:
公 两数和(差) 的平方
式
等于 这两数的平方和
用自己的语 言叙述上面
的公式
加上(减去) 这两数乘积的2倍.
(a−b)2 = a2−2ab+b2