曲边梯形面积常用近似计算方法在Excel中的实现

曲边梯形面积常用近似计算方法在Excel 中的实现
作者：欧阳和平刘姣娥阳晖
来源：《科技视界》 2012年第36期
欧阳和平刘姣娥阳晖
（湖南食品药品职业学院湖南长沙410014）
【摘要】针对曲边梯形面积常用近似计算方法存在的局限性，本文提出在Excel中实现
矩形法、梯形法和抛物线法计算曲边梯形面积的步骤、方法和误差估计，并通过实例作出了分析。

【关键词】Excel；定积分；曲边梯形面积；梯形法；Simpson；生物利用度
0 引言
在科学研究、工程和生产实践中，往往要碰到求曲边梯形面积的问题。

在直角坐标系中，
曲边梯形面积是指由曲线y=f（ｘ）和直线ｘ＝ａ、ｘ＝ｂ及ｙ＝０所围成的面积。

这里，f （ｘ）＞０，ｂ＞ａ。

该曲边梯形面积，在数学上可以通过计算被积函数为f（ｘ），积分下、上限分别为ａ与ｂ的定积分来得到。

当被积函数f（ｘ）能用初等函数表达，在积分区间连续，并且能找到f（ｘ）的原函数Ｆ（ｘ），那么，定积分的值Ｓ＝Ｆ（b）－Ｆ（a）。

但当f（ｘ）不能用初等函数来表达，或只是一些实验得出来的经验值序列，或f（ｘ）的原函数Ｆ（ｘ）
不能用初等函数来表达，则Ｓ只能通过近似计算来求得。

求曲边梯形面积近似值的方法有矩形法、梯形法和抛物线法等多种，具体可采用图解法、计算机编程来计算，但都有一定的局限性。

图解法受绘图界面所限制，不可能将曲边梯形分得太小，计算繁琐且不精确。

计算机编程又不
是一般人都能掌握的，就是掌握了也不是在所有场合都适应的。

本文提出一种用Microsoft Excel计算曲边梯形面积近似值的简单而又实用的方法。

1 Excel计算曲边梯形面积的方法
前已述，求曲边梯形面积近似值的方法有矩形法、梯形法和抛物线法。

不管是哪种方法都
是先将曲边梯形细分成若干小曲边梯形，接着分别计算出各小曲边梯形面积的近似值，最后将
各小曲边梯形的近似值之和作为整个曲边梯形面积的近似值。

所不同的是：矩形法将每个小曲
边梯形的曲边用一条水平直线来代替，因而小曲边梯形就变成了小矩形，计算小曲边梯形面积
就变成了计算小矩形面积；而梯形法则是将每个小曲边梯形的曲边以一条连接两个交点的直线
段来代替，这样小曲边梯形就变成了小梯形，计算小曲边梯形面积就变成了计算小梯形面积；
抛物线法则是以抛物线上的一段弧代替小曲边梯形的曲线弧，从而计算出定积分的近似值。

在I列应用梯形法曲边梯形面积近似计算公式（5）比照矩形法相似的计算方法算出10个小梯形面积。

方法是在I3单元格中输入公式“=(C2+C3)/2*D3”求出第一小梯形的面积，然后用填充柄向下填充求出其他小梯形面积。

在最后一行，用求和函数“=SUM(I3:I12)”求出I列中各小梯形面积之和，即为用梯形法计算出来的曲边梯形面积的近似值。

用矩形法、梯形法和抛物线法求曲边梯形面积近似值时，一般来说，n取得越大，近似程
度就越好。

在Excel环境下，我们使用填充柄的智能作用，可以很方便地用增加n的方法来求
取更精确的结果。

对于上例，当取n=10，用梯形法和抛物线法得出的结果分别是0.74621和
0.74682，如图1所示；当取n=100，Δx短小到图1的1/10，求得结果是0.746818 和
0.746824；当取n=1000，Δx短小到图1的1/100，结果分别是0.74682407149和
0.746824132812436；当n=10000，Δx短小到图1的1/1000，结果是0.74682413219 和
0.746824132812428。

此例n由1000增加到10000时，用抛物线法计算有13位小数相同，说明精度已达到了10-13；而梯形法只有6位小数相同，前6位小数应该是可靠的。

矩形法精度相对较差，但矩形法1和矩形法2的平均值或矩形法3和矩形法4的平均值就
是梯形法的值。

当ｆ（x）在每个小区间都是单调增加或单调减少的非负函数时，矩形法3产
生的误差永远是负偏差，而矩形法4产生的误差永远是正偏差。

这在那些要求计算不能产生负
偏差或正偏差的场合用矩形法3和矩形法4将是合理的选择。

对于小区间非均分的梯形法求解，误差可分段估计然后再予综合考虑。

3 Excel计算曲边梯形面积的应用举例
曲边梯形面积计算在多个领域都有应用，这里仅举医药领域生物利用度中应用的例子。

【例】一组健康受试者单剂量，空腹口服某药溶液剂1g，服药前采空白血作对照，2小时
后进餐，每隔一定时间采血样，测定血中药物浓度，结果见表1，求该药溶液剂的AUC0-6。

分析：此题求AUC0-6就是求曲边为血药浓度曲线，积分下、上限为0与6的曲边梯形面积，可用梯形法或抛物线法中的任意一种方法计算。

这里将两种方法计算的过程及结果同时给出。

方法：确定n=12，在B列和C列输入表1中数据，在D列和F列确定Δt和k，然后分别
按梯形法和抛物线法计算出该曲边梯形面积的近似值即是AUC0-6的近似值。

计算结果详见图2
所示。

从图中可以看出，用梯形法算得AUC0-6=12.28，用抛物线法算得AUC0-6=12.27，比较接近。

4 结束语
Excel计算曲边梯形面积近似值概念清晰，方法简单明了，操作容易掌握，误差可控。

Excel的突出优点是可以把小区间分得很细，大量的计算由填充柄填充得到，人们轻轻松松就
可将很复杂的计算完成，突破了图解法和计算机编程计算的局限性，是定积近似理论与Excel
智能方法的完美结合，可广泛应用于理论分析、科学研究、工程计算和生产实践中。

【参考文献】
［１］华罗庚．高等数学引论(第一卷，第一分册)[M]．北京:科学出版社,1963:291-336.
［２］同济大学数学教研室,主编．高等数学(上册，第四版)[M]．北京:高等教育出版
社,1996:306-314.
［３］康博创作室．Office 2000中文版易学易用专辑[M]．北京:人民邮电出版
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［４］Excel Home．Excel应用大全[M]．北京:人民邮电出版社,2008.
［５］Excel Home．Excel 2010应用大全[M]．北京:人民邮电出版社,2011.
［６］欧阳和平,阳晖．VS环境下假设检验Web应用程序开发[J]．计算机与现代
化,2012(10):187-190,193．
［责任编辑：王洪泽］。