四川省成都经济技术开发区实验中学校2021届高三数学上学期入学考试试题文

成都经开区实验中学2021级高三上学期入学考试试题
数 学（文科）
（考试历时：120分 全卷满分：150分 ）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则(
)=U
A
B
A ．∅
B ．R
C ．{}|0x x >
D ．{}0
2.若纯虚数z 知足(1)1i z ai +=-，则实数a 等于
A ．0
B ．1-或1
C ．1
D ．1- 3．计算4cos15cos75sin15sin75︒︒-︒︒= A ．0
B ．
21
C ．
43
D ．
2
3 4.命题“R x ∈∀，总有22
+x >0”的否定是
A.“R x ≠∀，总有22
+x >0” B.“R x ∈∀，总有022
≤+x ” C.“R x ∈∃，使得22
+x >0” D.“R x ∈∃，使得022
≤+x ”
5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，已知22a b bc -=，sin 2sin C B =，则A = A ．
6π
B ．3
π
C ．
56
π
D ．
23
π 6. 已知数列
知足，
，记
，且存在正整数
，使得对一切
恒成立，则
的最大值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 7. 已知变量x ，y 知足约束条
，则
的最大值为
A. B. C. D.
8.某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同窗对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；
丁说：“A 、C 至少一件获奖”.
若是以上四位同窗中有且只有二位同窗的预测是正确的，则获奖的作品是 A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D 9. 用数学归纳法证明“”，则当
时，应当在
时对
应的等式的两边加上 A. B.
C.
D.
10. 已知函数在[2，+)上是增函数，则的取值范围是( ) A. （
B. （
C. （
D. （
11.设曲线)(1
*+∈=N n x y n 在点 （1，1）处的切线与x 轴的核心的横坐标为n x ，则n
x x x ....21⋅等于
A.
n 1 B. 11+n C. 1
+n n D.1 12．已知直线3+=kx y 和圆05462
2
=+--+y x y x 相交于N M ,两点，若32=MN ，则k 的值为 A ．21-2或 B ．21-2或- C ．212或- D ．2
1
2或
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知34tan =⎪⎭
⎫
⎝⎛+θπ，则=-θθ2cos 22sin
14. 设为数列的前项和, 且 则
_________
15. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出T 的值为 .
16．设曲线y=ax 2
在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a 的值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 17．（本题满分10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ,知足(1 -q )S n +q n
= 1,且q (q -1)≠0. (1)求{a n }的通项公式;
(2)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2, a 3,a 5成等差数列.
18.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：
阶梯级别
第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水范围（单位：立方米）
(0.10]
(10. 15]
（15.+
）
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，取得
右边的茎叶图：
（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的散布列和数学期望； （2）用抽到的10户家庭作为样本估量全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n 户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n 的值.
19．（本题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求点B 到平面SAC 的距离．
20. （本题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，核心在x 轴上，焦距为，离心率为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线L 通过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若，求直线L 的方程．
21. （本题满分12分）已知p ：方程x 2
＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
22．（本题满分12分）已知函数()()2
2ln 0f x x x a x a =-+≠，0x 是函数()f x 的极值点．
S
B
A
C
O
（1）若4a =-，求函数()f x 的最小值；
（2）若()f x 不是单调函数，且无最小值，证明：()00f x <．
成都经开区实验中学2021级高三上学期入学考试试题
数 学（文科）参考答案
1—5 CCADB 6—10 BDDAC 11—12 BC 13.﹣
14.
15.39 16. 1 17.【答案】(1)当时,
当
时,
=,
,
而,综上
(2)由(1)知为1为首项,为公比的等比数列,且
.
∵成等差数列,即
,
故,∴,两边同时除以,
即
,故成等差数列.
【解析】本题主要考查的是等差数列及等比数列的综合应用,意在考查考生分析问题、解决问题的能力. (1)求出,利用时,,求出的通项;
(2)求出
,由
,取得
,说明
成等差数列.
18.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户顶用水量为一阶的有2户，二阶的有6户， 三阶的有2户。

第二阶梯水量的户数X 的可能取值为0,1,2,3 ………………1分
，
，
所以X 的散布列为
X 0
1
2 3 P
………………………5分 EX=
……………………………6分
(2)设Y 为从全市抽取的10户顶用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y ～B ,
所以，其中………………8分
设 …………………10分
若，则，； 若
，则
，。

所以当或，可能最大，
所以的取值为6。

………………12分
19． 证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2
2
OA OB OC SA ===
，且AO BC ⊥，----------2分 又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2
2
SO SA =
， 从而222
OA SO SA +=．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．
又AO BO O =．
所以SO ⊥平面ABC ．----------------------5分
（Ⅱ）设B 到平面SAC 的距离为d ，则由（Ⅰ）知：三棱锥S ABC B SAC V V --= 即
11
33
ABC SAC S SO S d ∆∆⋅=⋅------7分 ∵ABC △为等腰直角三角形,且腰长为 2. ∴22BC = ∴22422SO SB OB =
-=-= ---------8分
∴△SAC 的面积为SAC S ∆=
2
12sin 6032
⨯⨯︒= △ABC 面积为2ABC S ∆=, ∴223d =,26
3
d =
∴B 到平面SAC 的距离为
26
3
----------------12分 20.【答案】(1)
(2)
【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何意义取得椭圆方程；（2）将椭圆和直线联立取得二次方程，由得
，按照韦达定理取得参数值。

解析： (1)设椭圆方程为，因为
，
所以
，
所求椭圆方程为
.
（2）由题得直线L 的斜率存在，设直线L 方程为y=kx+1， 则由
得
，且
．
设，则由得，又，所以消
去解得，，
所以直线的方程为
21.【答案】m ≥3或1<m ≤2.
【解析】本题考查命题的真假判断与应用，对两个命题为真时进行化简，正确理解“p 或q”为真，p 且q”为假的意义是解题的关键．
先对命题p ，q 为真是，求出各自成立时参数所知足的范围，再按照“p 或q”为真，p 且q”为假判断出两命题的真假情况，然后求出实数m 的取值范围 解：若方程x 2
＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则
解得m>2，即p ：m>2.
............... 解得m≥3或1<m≤2.
22.【答案】（1）()f x 的最小值为()24ln 2f =-；（2）观点析． 【解析】（1）解：()2
24ln f x x x x =--，其概念域是{}|0x x >．
()422f x x x
-'=-()()2212224x x x x x x +---=
=． 令()0f x '=，得2x =，·······2分
所以，()f x 在区间()02，
单调递减，在()2+∞，上单调递增． 所以()f x 的最小值为()24ln 2f =-．·······5分 （2）解：函数()f x 的概念域是{}|0x x >，
对()f x 求导数，得()22222a x x a
f x x x x
='-+=-+，
显然，方程()2
0220f x x x a '=⇔-+=（0x >），
因为()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根，所
以480
02a a
∆=->⎧⎪
⎨>⎪⎩
，解得102a <<，·······7分
设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <，
所以()()()212222x x x x x x a f x x x
-=
'--+=， 列表分析如下：
所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，()()12f x f x >，·······9分 故只需证明()10f x <，由120x x <<，且121x x +=，得11
02
x <<， 因为102a <<
，11
02
x <<，所以()()11112ln 0f x x x a x =-+<， 从而()00f x <．·······12分。