四川省成都经济技术开发区实验中学校2021届高三数学上学期入学考试试题文
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成都经开区实验中学2021级高三上学期入学考试试题
数 学(文科)
(考试历时:120分 全卷满分:150分 )
注意事项:
1.答题时,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答:先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交;
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|U x y ==,9{|log }A x y x ==,{|2}x B y y ==-,则(
)=U
A
B
A .∅
B .R
C .{}|0x x >
D .{}0
2.若纯虚数z 知足(1)1i z ai +=-,则实数a 等于
A .0
B .1-或1
C .1
D .1- 3.计算4cos15cos75sin15sin75︒︒-︒︒= A .0
B .
21
C .
43
D .
2
3 4.命题“R x ∈∀,总有22
+x >0”的否定是
A.“R x ≠∀,总有22
+x >0” B.“R x ∈∀,总有022
≤+x ” C.“R x ∈∃,使得22
+x >0” D.“R x ∈∃,使得022
≤+x ”
5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边别离为a ,b ,c ,已知22a b bc -=,sin 2sin C B =,则A = A .
6π
B .3
π
C .
56
π
D .
23
π 6. 已知数列
知足,
,记
,且存在正整数
,使得对一切
恒成立,则
的最大值为
A .3
B .4
C .5
D .6 7. 已知变量x ,y 知足约束条
,则
的最大值为
A. B. C. D.
8.某校有A ,B ,C ,D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同窗对这四件参赛作品的获奖情况预测如下: 甲说:“A 、B 同时获奖”; 乙说:“B 、D 不可能同时获奖”; 丙说:“C 获奖”;
丁说:“A 、C 至少一件获奖”.
若是以上四位同窗中有且只有二位同窗的预测是正确的,则获奖的作品是 A .作品A 与作品B B .作品B 与作品C C .作品C 与作品D D .作品A 与作品D 9. 用数学归纳法证明“”,则当
时,应当在
时对
应的等式的两边加上 A. B.
C.
D.
10. 已知函数在[2,+)上是增函数,则的取值范围是( ) A. (
B. (
C. (
D. (
11.设曲线)(1
*+∈=N n x y n 在点 (1,1)处的切线与x 轴的核心的横坐标为n x ,则n
x x x ....21⋅等于
A.
n 1 B. 11+n C. 1
+n n D.1 12.已知直线3+=kx y 和圆05462
2
=+--+y x y x 相交于N M ,两点,若32=MN ,则k 的值为 A .21-2或 B .21-2或- C .212或- D .2
1
2或
第Ⅱ卷(共90分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知34tan =⎪⎭
⎫
⎝⎛+θπ,则=-θθ2cos 22sin
14. 设为数列的前项和, 且 则
_________
15. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出T 的值为 .
16.设曲线y=ax 2
在点(1,a )处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行,则a 的值是 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 17.(本题满分10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,知足(1 -q )S n +q n
= 1,且q (q -1)≠0. (1)求{a n }的通项公式;
(2)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2, a 3,a 5成等差数列.
18.(本题满分12分)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:
阶梯级别
第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水范围(单位:立方米)
(0.10]
(10. 15]
(15.+
)
从本市随机抽取了10户家庭,统计了同一个月的用水量,取得
右边的茎叶图:
(1)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯水量的户数的散布列和数学期望; (2)用抽到的10户家庭作为样本估量全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n 户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大,求出n 的值.
19.(本题满分12分)如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的等边三角形,90BAC ∠=°,O 为BC 中点. (Ⅰ)证明:SO ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求点B 到平面SAC 的距离.
20. (本题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点,核心在x 轴上,焦距为,离心率为
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线L 通过点M (0,1),且与椭圆C 交于A ,B 两点,若,求直线L 的方程.
21. (本题满分12分)已知p :方程x 2
+mx +1=0有两个不相等的负根;q :方程4x 2
+4(m -2)x +1=0无实根.若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.
22.(本题满分12分)已知函数()()2
2ln 0f x x x a x a =-+≠,0x 是函数()f x 的极值点.
S
B
A
C
O
(1)若4a =-,求函数()f x 的最小值;
(2)若()f x 不是单调函数,且无最小值,证明:()00f x <.
成都经开区实验中学2021级高三上学期入学考试试题
数 学(文科)参考答案
1—5 CCADB 6—10 BDDAC 11—12 BC 13.﹣
14.
15.39 16. 1 17.【答案】(1)当时,
当
时,
=,
,
而,综上
(2)由(1)知为1为首项,为公比的等比数列,且
.
∵成等差数列,即
,
故,∴,两边同时除以,
即
,故成等差数列.
【解析】本题主要考查的是等差数列及等比数列的综合应用,意在考查考生分析问题、解决问题的能力. (1)求出,利用时,,求出的通项;
(2)求出
,由
,取得
,说明
成等差数列.
18.解:(1)由茎叶图可知抽取的10户顶用水量为一阶的有2户,二阶的有6户, 三阶的有2户。
第二阶梯水量的户数X 的可能取值为0,1,2,3 ………………1分
,
,
所以X 的散布列为
X 0
1
2 3 P
………………………5分 EX=
……………………………6分
(2)设Y 为从全市抽取的10户顶用水量为二阶的家庭户数,依题意得Y ~B ,
所以,其中………………8分
设 …………………10分
若,则,; 若
,则
,。
所以当或,可能最大,
所以的取值为6。
………………12分
19. 证明:(Ⅰ)由题设AB AC SB SC ====SA ,连结OA ,ABC △为等腰直角三角形,所以2
2
OA OB OC SA ===
,且AO BC ⊥,----------2分 又SBC △为等腰三角形,故SO BC ⊥,且2
2
SO SA =
, 从而222
OA SO SA +=.所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥.
又AO BO O =.
所以SO ⊥平面ABC .----------------------5分
(Ⅱ)设B 到平面SAC 的距离为d ,则由(Ⅰ)知:三棱锥S ABC B SAC V V --= 即
11
33
ABC SAC S SO S d ∆∆⋅=⋅------7分 ∵ABC △为等腰直角三角形,且腰长为 2. ∴22BC = ∴22422SO SB OB =
-=-= ---------8分
∴△SAC 的面积为SAC S ∆=
2
12sin 6032
⨯⨯︒= △ABC 面积为2ABC S ∆=, ∴223d =,26
3
d =
∴B 到平面SAC 的距离为
26
3
----------------12分 20.【答案】(1)
(2)
【解析】试题分析:(1)由椭圆的几何意义取得椭圆方程;(2)将椭圆和直线联立取得二次方程,由得
,按照韦达定理取得参数值。
解析: (1)设椭圆方程为,因为
,
所以
,
所求椭圆方程为
.
(2)由题得直线L 的斜率存在,设直线L 方程为y=kx+1, 则由
得
,且
.
设,则由得,又,所以消
去解得,,
所以直线的方程为
21.【答案】m ≥3或1<m ≤2.
【解析】本题考查命题的真假判断与应用,对两个命题为真时进行化简,正确理解“p 或q”为真,p 且q”为假的意义是解题的关键.
先对命题p ,q 为真是,求出各自成立时参数所知足的范围,再按照“p 或q”为真,p 且q”为假判断出两命题的真假情况,然后求出实数m 的取值范围 解:若方程x 2
+mx +1=0有两个不相等的负根,则
解得m>2,即p :m>2.
............... 解得m≥3或1<m≤2.
22.【答案】(1)()f x 的最小值为()24ln 2f =-;(2)观点析. 【解析】(1)解:()2
24ln f x x x x =--,其概念域是{}|0x x >.
()422f x x x
-'=-()()2212224x x x x x x +---=
=. 令()0f x '=,得2x =,·······2分
所以,()f x 在区间()02,
单调递减,在()2+∞,上单调递增. 所以()f x 的最小值为()24ln 2f =-.·······5分 (2)解:函数()f x 的概念域是{}|0x x >,
对()f x 求导数,得()22222a x x a
f x x x x
='-+=-+,
显然,方程()2
0220f x x x a '=⇔-+=(0x >),
因为()f x 不是单调函数,且无最小值,则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根,所
以480
02a a
∆=->⎧⎪
⎨>⎪⎩
,解得102a <<,·······7分
设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ,2x ,其中12x x <,
所以()()()212222x x x x x x a f x x x
-=
'--+=, 列表分析如下:
所以,1x 是极大值点,2x 是极小值点,()()12f x f x >,·······9分 故只需证明()10f x <,由120x x <<,且121x x +=,得11
02
x <<, 因为102a <<
,11
02
x <<,所以()()11112ln 0f x x x a x =-+<, 从而()00f x <.·······12分。