三角形五心及其性质延伸学习资料

三角形五心及其性质延伸
1.内心：三角形三条内角平分线的交点 ，也是三角形内切圆的圆心。

角平分线性质：到角两边距离相等• 内心性质：到三角形三边距离相等。

延伸：①内角平分线定理
如图，AD ABC 中 BAC 的平分线，则有
AB BD （上左=下左） AC DC 上右 下右
证明过程如下：
作BE//AC 交其延长线于E,贝U E DAC .
••• BAD DAC,二 E BAD , AB BE =c.
又T BE//AC,易证△ ADC s △ EDB, •••△B -EB =-BD ,得证。

AC AC DC
②外角平分线定理
如图，AD ABC 的外角平分线，交 BC
AB BD
延长线于D ,则有竺-BD （同上）
AC DC
证明过程如下：
AEC EAC, AC AE.
又 T CE//AB,易证△ ADB s △ E DC, /-A B
二 BD ,得证。

AC CE DC
③三角形内角平分线长公式
作 CE//AB 交 AD 于 E,则 AEC EAC,
C
F
A
C
K
又AD+DE=AE ,即AD ——AE .而厶ABE 为等腰三角形，BF AE, b+c
④内心到三边距离r （三角形内切圆半径）
设三角形面积为 S ,则有
r=三-（即面积的2倍除以周长）
a+b+c
证明过程如下：
1 i
连接 OA,OB,OC. •••相切，二 OF AB ，即 S ^AOB = - AB?OF -cr ，同理
2 2
—ar .又 T S=S AOB + S AOC + S BOC ,即 S= 1
(a+b+c)r , 2 2 2S a+b+c
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如图，AD 为厶ABC 中 BAC 的平分线，则有
AD 2bccos — 2 b+c
（或 2cos —
2 证明过程如下:
作BE//AC 交其延长线于E,BF AE 交其于F 。

由前文的内角平分线定理可知， △ ADC s △ EDB,
AC DE
BE
二 AE 2AF
2ABsin
A
BAF =2csi n - ••• AD
2bccos — 2 b+c
（或 2cos — 2 S ^ AOC =
br ， S ^BOC = 2
C
E
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2.重心：三角形三条中线交点
中线性质:将三角形面积等分成两部分•
重心性质：分三角形的中线两段长比例为2:1（长:短）如图:AD,BE,CF为厶ABC三条中线，G为其重心，则有
AG:GC BG:GE CG :GF 2:1
证明过程如下：
作BH//FC交AD延长线于H,易证△ GDC 也△ HDB, /. GD DH ,GH 2GD 又••• BH//FG, F为AB中点，二G也为AH中点，即AG GH 2GD ,••• AG:GC 2:1，其他同证.
延伸：三角形中线长公式
如图,AD为厶ABC的中线，则有
AD —"7b2+c2 +2bccos A
2
证明过程如下：
作BE//AC交AD延长线于E,易证△ ADC也△ EDB,
1
二AD DE,即AD二一AE v BE//AC,：ABF A。

作AF EB交其
2
延长线于F。

又AB=c,：BF=AtCos ABF =ccosA , AF=csin A ,
故EF=ccosA b。

C
H
AD 丄 AE =丄—b)2~(csin A)2丄 Jb2+c2+2bccos A 2 2 2
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3.外心：三角形三边垂直平分线的交点，三角形外接圆圆心。

垂直平分线性质：到线段两端点距离相等。

外心性质：至U 三角形三个顶点距离相等。

内心到三顶点距离R （三角形外接圆半径） R= c （某边除以它对角正弦的2倍） 2sin C 证明过程于下： 连接AO 并延长交圆0于D,则AD 为圆直径,AD=2R.
又 ABD 90（直径所对的圆周角是90 ）,AB=c, ADB C （同弧AB
延伸①:正弦定理 由于R= C ,同理易证R
c
一
2sin C
2sin C
证明过程如下: AD AC cosA bcosA , BD= c bcosA ,
BD 2 CD 2，即 a 2 (c b cos A)2 (bsi nA)2 =
c 2 2bc cos A b 2 cos 2 A b 2 sin 2 A b 2 c 2 2bccosA ，其他边角也同求
所对的圆周角相等），二
AD=
AB sin ADB
,即2R
亠，R=
sin C
c 2sin C
正弦定理：亠
sin A b
sin B
c sin C
2R （每边除以它所对角的正弦为2R ）
延伸②:余弦定理
a 2
b 2
c 2 2bccos A (cos A
b 2
c 2
2bc
a 2
)
b 2sin B
作CD AB 交其于D, CD bsinA , 又 BC 2
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4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点
旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个,
但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。

证明过程如下：
如图，P i、F2、P3ABC三个旁
心。

以P为例，P i在BAM2平分线上，
••• P i到AB AM距离相等，即P i至U
AB AC所在直线MNi、M2距离相等,
同理，P i在ABM3平分线上，••• P i到AB BM距离相等，即P i到AB BC 所在直线MN、M2距离相等,故得到旁心到三边所在直线距离相等。

补充：三角形面积公式
absin C 2
acsin B
2
bcsin A
2 C
（-某角的正弦值乘以它两边长度的
积）
2
证明过程如下：
1 i i
作AD BC,则S -BC AD= - a AC si nC - a bsi nC，得证，其他边角
2 2 2
同理可求。