2011年高考数学第一轮复习各个知识点攻破5-2平面向量的坐标运算

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解析:∵a=(1,2),b=(x,1), ∴a+2b=(1,2)+2×(x,1)=(2x+1,4), 2a-b=2×(1,2)-(x,1)=(2-x,3). ∵a+2b与2a-b平行.∴(2x+1)×3-
• 答案:D
• 4.如果向量=i-2j,=i+mj, 其中i、 j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,且 A、B、C三点共线,则m=________. • 解析:由题设, • 又A、B、C三点共线, • ∴-2×1=1×m,∴m=-2. • 答案:-2
• 答案:B
1 1 1 → 2.已知AB=a 且 A(2,4),B(4,2),又 λ=2,则 λa 等于 1 A.(- ,-1) 8 1 C.( ,1) 8 1 B.( ,3) 4 1 D.(- ,-3) 4 ( )
• 答案:A
• 3.已知a=(1,2),b=(x,1),且a+2b与2a -b平行,则x等于 ( )
图1
• [解] (1)如图1,设D(xD,yD),E(xE,yE), M(x,y). • 知(xD-2,yD-1)=t(-2, -2).
• (2)解法1:
• ∵t∈[0,1],∴x=2(1-2t)∈[-2,2], • ∴所求轨迹方程为:x2=4y,x∈[-2,2].
→ =OA → +AD → =OA → +tAB → =OA →+ 解法 2:如图 1,OD → - OA → ) =(1 -t)OA → + tOB → , OE → =OB → + BE → =OB → +tBC → t(OB → +t( OC → -OB → )=(1-t)OB → +tOC → ,OM → =OD → +DM →= =OB → + tDE → = OD → + t( OE → - OD → ) = (1 - t) OD → + tOE → = (1 - OD → +2(1-t)tOB → +t2OC →. t)2OA
• 1 .向量的坐标表示主要依据平面向量的 基本定理.平面向量实数对(x,y).任何一 个平面向量都有唯一的坐标表示,但是每 一个坐标所表示的向量却不一定唯一,也 就是说,向量的坐标表示与向量不是 的关系,但和起点为原点的向量是 的关系.即向量(x,y) 点A(x,y).向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点坐标.
• 设M点的坐标为(x,y),由
• 消去t,得x2=4y. • ∵t∈[0,1],∴x∈[-2,2]. • 故所求轨迹方程为:x2=4y,x∈[-2,2].
• [拓展提升] 平面向量的坐标运算更多地 应用于平面向量的数量积,在向量的加法、 减法、数乘运算方面单独命题的可能性较 小,若有,则通常为容易题,偶尔会在解 答题中出现,难度也不大,主要考查向量 的工具功能.近几年高考中向量与三角函 数、解析几何相结合的类型较多,这也是 由向量的几何性和代数性决定的,复习时 要注意在几何问题中充分利用向量的几何 性.
• 理解向量平行与线段平行,向量相等与线 段相等的关系是解题的关键.
• 2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐 标时一定要搞清方向,用对应的终点坐标 减去始点坐标,本节易忽略点有二:一是 易将向量的终点坐标误认为是向量坐标; 二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂 直的坐标表示混淆.
解法 2:∵向量 b 与向量 a 的夹角是 180° ,∴b = λa(λ<0),∴|b |=|λ ||a |, 又|a |= 5,|b |=3 5,∴λ=-3, ∴b=-3(1,-2)=(-3,6). 解法 3:注意到 A、B、C、D 四个选项均满足条件 |b |=3 5, 所以关键是利用好夹角这个已知条件, 易知(- 3,6)=-3(1,-2),所以选 A.
• 双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两 条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直 于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知 成等差数列,且 同向(如图2),求 双曲线的离心率.
图2
x2 y2 解:设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),右焦 a b 点为 F(c,0)(c>0),则 c2=a2+b2. 不妨设 l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0, |b· c-a· 0| → 则|FA|= 2 2 =b, a +b → |= |OF|2-|AF|2 =a. |OA → |2+ |OA → |2=|OB → |2,且|OB → |=2|AB → |- |OA → |, 因为|AB → |2+ |OA → |2=(2|AB → |-|OA → |)2, 所以|AB 4 于是得 tan∠AOB= =3. →| |OA →| |AB
• 向量共线的坐标表示 • [例2] 若平面向量b与向量a=(1,-2)的 夹角是180°,且|b|=3 ,则b= ( ) • A.(-3,6) B.(3,-6) • C.(6,-3) D.(-6,3) • [解析] 解法1:确定一个平面向量需要两 个独立的条件,因此,可设b=(x,y),由a, b的夹角为180°,得a∥b,∴1×y-(- 2)·x=0 ①;由|b|=3 得x2+y2=45②, 联立①②解得 当b=(3,
• [答案] A
• [拓展提升] (1)本题主要涉及平面向量的 模、夹角、共线的充要条件等基础知识, 以及运算能力、分析能力和数形结合能 力.注意“若a=(x1,y1),b=(x2,y2), a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.”的使用; • (2)解法1用的是待定系数法,体现了方程 的思想,关键是将题目中的等量关系转化 成含有未知数的两个方程; • (3)在解题时,要灵活地运用不同的方法, 如利用数形结合,则可以直观地得到结 果.
1 → → 又BF与FA同向,故∠AOF=2∠AOB, 2tan∠AOF 4 所以 = . 1-tan2∠AOF 3 1 解得 tan∠AOF= 或 tan∠AOF=-2(舍去). 2 b 1 因此 = ,a=2b,c= a2+b2= 5b. a 2 c 5 双曲线的离心率为 e= = 2 . a
• 过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于 A、B两点,过A,B分别作x轴的垂线交函 数y=log2x的图象于C,D两点. • 求证:O,C,D三点在一条直线上.
• 平面向量坐标运算的应用 • [例3] 如图1,三定点A(2,1),B(0,-1), C(-2,1);三动点D、E、M满足=t,=t, =t, ======= t∈[0,1]. • (1)求动直线DE斜率的变化范围; • (2)求动点M的轨迹方程.
• 3.平面向量的坐标运算 (x +xb 2= • (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a1+ (x1-x2,y1-y2) ,y1+y2) • ,a-b= . (x2-x1,y2-y1) • (2)如果A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , • 这就是平面内两点 (λx ,λy) 间的距离公式. 单位向量 • (3)若a=(x,y),则λa= ;当λ= x1 y 时, . 2-x2y1=0 表示a方向的 • (4)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的
• 归纳拓展:向量共线有多种表现形式: • 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0). • (1)a∥b⇔a=λb(λ∈R)即a∥b⇔(x1,y1)= (λx2,λy2). • (2)若x2≠0,y2≠0, • (3)a∥b⇔x1y2=x2y1⇔x1y2-x2y1=0.
• 1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(- 1,2),则c等于 ( )
[解] 设 C、D 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2).由题意得 → =(x1+1,y1-2),AB → =(3,6) AC → =(-1-x2,2-y2),BA → =(-3,-6) DA 1→ → 1→ → 又AC= AB,DA=- BA 3 3 1 1 ∴(x1+1,y1-2)= (3,6),(-1-x2,2-y2)=- (-3,- 3 3 6)即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2) ∴x1+1=1 且 y1-2=2,-1-x2=1 且 2-y2=2 ∴x1=0 且 y1=4,x2=-2 且 y2C、D 和向量 CD (-2,-4)
• 第二节
平面向量的坐标运算
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示. 2.会用坐标表示平面向量的加法、减 考纲要求 法与数乘运算. 3.理解用坐标表示的平面向量共线的 条件. 从近几年高考来看,向量的坐标运算有 单独考查,更多的是与其他知识综合考 考试热点 查.预计2011年对本部分的考查以选择 题或填空题的形式出现,考查利用平面 向量基本定理进行向量坐标运算的能力.
→= 5.已知平面内三点 A、B、C 在同一条直线上,OA → =(n,1),OC → =(5,-1),且OA → ⊥OB → ,求 m、 (-2,m),OB n 的值.
• 平面向量的坐标运算 • [例1] 已知A(-1,2),B(2,8), • [分析] 待定系数法设定点C、D的坐标, 再根据向量, 和关系进 行坐标运算,用方程思想解之.
• 1.平面向量基本定理 不共线 • 如果e1、e2是 的两个非零向量,对 唯一 于平面内的任一向量a,存在 的一对实 基底 数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.e1,e2称为表示平 基底向量 面内所有向量的一组 ,e1,e2都是这 组基底下的一个 .
• 2.平面向量的坐标表示 • 在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴 单位向量 正方向相同的两个 i、j作为基底, (x,y) 对任一向量a,有且只有一对实数 x、y,使 a= (x,y) 得a=xi+yj ,则实数对 叫做向量a的 a=(x,y) 直角坐标,记作 ,其中x,y分别 叫做a在x轴、y轴上的坐标, 叫 做向量a的坐标表示,相等的向量其坐标相 同,坐标相同的向量是相等的向量 .
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