2011年高考数学第一轮复习各个知识点攻破5-2平面向量的坐标运算

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解析：∵a＝(1,2)，b＝(x,1)， ∴a＋2b＝(1,2)＋2×(x,1)＝(2x＋1,4)， 2a－b＝2×(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)． ∵a＋2b与2a－b平行．∴(2x＋1)×3－
• 答案：D
• 4．如果向量＝i－2j，＝i＋mj， 其中i、 j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，且 A、B、C三点共线，则m＝________. • 解析：由题设， • 又A、B、C三点共线， • ∴－2×1＝1×m，∴m＝－2. • 答案：－2
• 答案：B
1 1 1 → 2．已知AB＝a 且 A(2，4)，B(4，2)，又 λ＝2，则 λa 等于 1 A．(－ ，－1) 8 1 C．( ，1) 8 1 B．( ，3) 4 1 D．(－ ，－3) 4 ( )
• 答案：A
• 3．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a －b平行，则x等于 ( )
图1
• [解] (1)如图1，设D(xD，yD)，E(xE，yE)， M(x，y)． • 知(xD－2，yD－1)＝t(－2， －2)．
• (2)解法1：
• ∵t∈[0,1]，∴x＝2(1－2t)∈[－2,2]， • ∴所求轨迹方程为：x2＝4y，x∈[－2,2]．
→ ＝OA → ＋AD → ＝OA → ＋tAB → ＝OA →＋ 解法 2：如图 1，OD → － OA → ) ＝(1 －t)OA → ＋ tOB → ， OE → ＝OB → ＋ BE → ＝OB → ＋tBC → t(OB → ＋t( OC → －OB → )＝(1－t)OB → ＋tOC → ，OM → ＝OD → ＋DM →＝ ＝OB → ＋ tDE → ＝ OD → ＋ t( OE → － OD → ) ＝ (1 － t) OD → ＋ tOE → ＝ (1 － OD → ＋2(1－t)tOB → ＋t2OC →. t)2OA
• 1 ．向量的坐标表示主要依据平面向量的 基本定理．平面向量实数对(x，y)．任何一 个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每 一个坐标所表示的向量却不一定唯一，也 就是说，向量的坐标表示与向量不是 的关系，但和起点为原点的向量是 的关系．即向量(x，y) 点A(x，y)．向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点坐标．
• 设M点的坐标为(x，y)，由
• 消去t，得x2＝4y. • ∵t∈[0,1]，∴x∈[－2,2]． • 故所求轨迹方程为：x2＝4y，x∈[－2,2]．
• [拓展提升] 平面向量的坐标运算更多地 应用于平面向量的数量积，在向量的加法、 减法、数乘运算方面单独命题的可能性较 小，若有，则通常为容易题，偶尔会在解 答题中出现，难度也不大，主要考查向量 的工具功能．近几年高考中向量与三角函 数、解析几何相结合的类型较多，这也是 由向量的几何性和代数性决定的，复习时 要注意在几何问题中充分利用向量的几何 性．
• 理解向量平行与线段平行，向量相等与线 段相等的关系是解题的关键．
• 2．已知向量的始点和终点坐标求向量的坐 标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标 减去始点坐标，本节易忽略点有二：一是 易将向量的终点坐标误认为是向量坐标； 二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂 直的坐标表示混淆．
解法 2：∵向量 b 与向量 a 的夹角是 180° ，∴b ＝ λa(λ<0)，∴|b |＝|λ ||a |， 又|a |＝ 5，|b |＝3 5，∴λ＝－3， ∴b＝－3(1，－2)＝(－3,6)． 解法 3：注意到 A、B、C、D 四个选项均满足条件 |b |＝3 5， 所以关键是利用好夹角这个已知条件， 易知(－ 3,6)＝－3(1，－2)，所以选 A.
• 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两 条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直 于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知 成等差数列，且 同向(如图2)，求 双曲线的离心率．
图2
x2 y2 解：设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，右焦 a b 点为 F(c,0)(c>0)，则 c2＝a2＋b2. 不妨设 l1：bx－ay＝0，l2：bx＋ay＝0， |b· c－a· 0| → 则|FA|＝ 2 2 ＝b， a ＋b → |＝ |OF|2－|AF|2 ＝a. |OA → |2＋ |OA → |2＝|OB → |2，且|OB → |＝2|AB → |－ |OA → |， 因为|AB → |2＋ |OA → |2＝(2|AB → |－|OA → |)2， 所以|AB 4 于是得 tan∠AOB＝ ＝3. →| |OA →| |AB
• 向量共线的坐标表示 • [例2] 若平面向量b与向量a＝(1，－2)的 夹角是180°，且|b|＝3 ，则b＝ ( ) • A．(－3,6) B．(3，－6) • C．(6，－3) D．(－6,3) • [解析] 解法1：确定一个平面向量需要两 个独立的条件，因此，可设b＝(x，y)，由a， b的夹角为180°，得a∥b，∴1×y－(－ 2)·x＝0 ①；由|b|＝3 得x2＋y2＝45②， 联立①②解得 当b＝(3，
• [答案] A
• [拓展提升] (1)本题主要涉及平面向量的 模、夹角、共线的充要条件等基础知识， 以及运算能力、分析能力和数形结合能 力．注意“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.”的使用； • (2)解法1用的是待定系数法，体现了方程 的思想，关键是将题目中的等量关系转化 成含有未知数的两个方程； • (3)在解题时，要灵活地运用不同的方法， 如利用数形结合，则可以直观地得到结 果．
1 → → 又BF与FA同向，故∠AOF＝2∠AOB， 2tan∠AOF 4 所以 ＝ . 1－tan2∠AOF 3 1 解得 tan∠AOF＝ 或 tan∠AOF＝－2(舍去)． 2 b 1 因此 ＝ ，a＝2b，c＝ a2＋b2＝ 5b. a 2 c 5 双曲线的离心率为 e＝ ＝ 2 . a
• 过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于 A、B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函 数y＝log2x的图象于C，D两点． • 求证：O，C，D三点在一条直线上．
• 平面向量坐标运算的应用 • [例3] 如图1，三定点A(2,1)，B(0，－1)， C(－2,1)；三动点D、E、M满足＝t，＝t， ＝t， ======= t∈[0,1]． • (1)求动直线DE斜率的变化范围； • (2)求动点M的轨迹方程．
• 3．平面向量的坐标运算 (x ＋xb 2＝ • (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a1＋ (x1－x2，y1－y2) ，y1＋y2) • ，a－b＝ ． (x2－x1，y2－y1) • (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ， • 这就是平面内两点 (λx ，λy) 间的距离公式． 单位向量 • (3)若a＝(x，y)，则λa＝ ；当λ＝ x1 y 时， ． 2－x2y1＝0 表示a方向的 • (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的
• 归纳拓展：向量共线有多种表现形式： • 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)． • (1)a∥b⇔a＝λb(λ∈R)即a∥b⇔(x1，y1)＝ (λx2，λy2)． • (2)若x2≠0，y2≠0， • (3)a∥b⇔x1y2＝x2y1⇔x1y2－x2y1＝0.
• 1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－ 1,2)，则c等于 ( )
[解] 设 C、D 的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)．由题意得 → ＝(x1＋1，y1－2)，AB → ＝(3,6) AC → ＝(－1－x2,2－y2)，BA → ＝(－3，－6) DA 1→ → 1→ → 又AC＝ AB，DA＝－ BA 3 3 1 1 ∴(x1＋1，y1－2)＝ (3,6)，(－1－x2,2－y2)＝－ (－3，－ 3 3 6)即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2) ∴x1＋1＝1 且 y1－2＝2，－1－x2＝1 且 2－y2＝2 ∴x1＝0 且 y1＝4，x2＝－2 且 y2C、D 和向量 CD (－2，－4)
• 第二节
平面向量的坐标运算
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示． 2．会用坐标表示平面向量的加法、减 考纲要求 法与数乘运算． 3．理解用坐标表示的平面向量共线的 条件． 从近几年高考来看，向量的坐标运算有 单独考查，更多的是与其他知识综合考 考试热点 查．预计2011年对本部分的考查以选择 题或填空题的形式出现，考查利用平面 向量基本定理进行向量坐标运算的能力.
→＝ 5．已知平面内三点 A、B、C 在同一条直线上，OA → ＝(n,1)，OC → ＝(5，－1)，且OA → ⊥OB → ，求 m、 (－2，m)，OB n 的值．
• 平面向量的坐标运算 • [例1] 已知A(－1,2)，B(2,8)， • [分析] 待定系数法设定点C、D的坐标， 再根据向量， 和关系进 行坐标运算，用方程思想解之．
• 1．平面向量基本定理 不共线 • 如果e1、e2是 的两个非零向量，对 唯一 于平面内的任一向量a，存在 的一对实 基底 数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.e1，e2称为表示平 基底向量 面内所有向量的一组 ，e1，e2都是这 组基底下的一个 ．
• 2．平面向量的坐标表示 • 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴 单位向量 正方向相同的两个 i、j作为基底， (x，y) 对任一向量a，有且只有一对实数 x、y，使 a＝ (x，y) 得a＝xi＋yj ，则实数对 叫做向量a的 a＝(x，y) 直角坐标，记作 ，其中x，y分别 叫做a在x轴、y轴上的坐标， 叫 做向量a的坐标表示，相等的向量其坐标相 同，坐标相同的向量是相等的向量 .