朔州市实验中学九年级数学下册第28章样本与总体28.2用样本估计总体2简单随机抽样调查可靠吗教案新版

2．简单随机抽样调查可靠吗
使学生认识到只有样本容量足够大，才能比较准确地反映总体的特性，这样的样本才可靠，体会只有可靠的样本，才能用样本去估计总体．
重点
通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算平均数和方差，并与总体的频数分布直方图、平均数和方差进行比较，得出结论．
难点
通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算平均数和方差，并与总体的频数分布直方图、平均数和方差进行比较，得出结论．
一、创设情境，引入新课
在上节课中，我们知道在选取样本时应注意的问题，其一是所选取的样本必须具有代表性，其二是所选取的样本的容量应该足够大，这样的样本才能反映总体的特性，所选取的样本才比较可靠．
二、探究问题，形成概念
1．用例子说明样本中的个体数太少，不能真实反映总体的特性
让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例，考察一下抽样调查的结果是否可靠．上一节中，老师选取的一个样本是：
抽到的编号(学号) 111 254 167 94 276
成绩80 86 66 91 67 它的频数分布直方图、平均成绩和方差分别如下：
另外，同学们也分别选取了一些样本，它们同样也包含五个个体，根据小明取到的两个样本数据得到的频数分布直方图、计算它们的平均成绩和方差，如下图所示：
从以上三张图比较来看，它们之间存在明显的差异，平均数和方差与总体的平均数与方差也相去甚远，显然这样选择的样本不能反映总体的特性，是不可靠的．以下是总体的频数分布直方图、平均成绩和方差，请同学们把三个样本的频数分布直方图、平均成绩和方差与它进行比较，更能反映这样选取样本是不可靠的．
2．选择恰当的样本个体数目
下面是某位同学用随机抽样的方法选取两个含有40个个体的样本，并计算了它们的平均数与方差，绘制了频数分布直方图，具体如下：
从以上我们可以看出，当样本中个体太少时，样本的平均数、方差往往差距较大，如果选取适当的样本的个体数，各个样本的平均数、方差与总体的方差相当接近．
三、练习巩固
1．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60 kg以上的人数为( )
A．300 B．100
C．60 D．20
2．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )
A.6
5
B.
6
5
C. 2 D．2
3．为了了解我市某县参加今年初中毕业会考的6000名考生的数学成绩，从中抽查了200名学生的数学成绩(成绩为整数，满分120分)进行统计分析，并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇形统计图：
成绩(分) 59.5以下59.5～69.5 69.5～79.5
人数28 44 46
成绩(分) 79.5～89.5 89.5～99.5 99.5以上
人数32
(1)请将以上统计表和扇形统计图补充完整；
(2)若规定60分以下(不含60分)为“不合格”，60分以上(含60分)为“合格”，80分以上(含80分)为“优秀”，试求该样本的合格率、优秀率；
(3)在(2)的规定下，请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格的人数．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充．
作业
1．布置作业：教材“习题28.2”中第2 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确，相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，因此，在实际工作中，样本容量既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小．
几何旋转综合题练习
1、如图，已知ABC ∆是等边三角形.
（1）如图（1），点E 在线段AB 上，点D 在射线CB 上，且ED=EC.将BCE ∆绕点C 顺时针旋转60°至ACF ∆,连接EF.猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系;
（2）点E 在线段BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明.
2、如图1，△ACB 、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点 (1) 求证：MN ⊥CE
(2) 如图2将△AED 绕A 点逆时针旋转30°，求证：CE ＝2MN
A B C A C D E 第21题图第21题图(2)
3、在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。

(1)如图1，则AA 1与CC 1的数量关系是 ；位置关系是 。

(2)如图2，将△A 1B 1C 1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。

(3)如图3，在（2）的基础上，直线AA 1、CC 1交于点P ，设AB=4，则PB 长的最小值
是 。

4、已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE ＝BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′
(1) 如图1，当α＝30°时，求证：B ′C ＝DE
(2) 连接B ′E 、DE ′，当B ′E ＝DE ′时，请用图2求α的值
(3) 如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为_______________
A 1
C 1
O B C B 1A 1
C 1O B C B 1P
A 1C 1O
B
C B 1图1 图2 图3
P E D
A B C F P E D A B C F E D
A C
B F
5、如图P 为等边△ABC 外一点，AH 垂直平分PC 于点H ，∠BAP 的平分线交PC 于点D (1) 求证：DP ＝DB (2) 求证：DA ＋DB ＝DC
(3) 若等边△ABC 边长为14，连接BH ，当△BDH 为等边三角形时，请直接写出CP 的长度为_________
6、如图，四边形ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠BFE=900
，点B 、E 、F ，按逆时针排列），点P 为DE 的中点，连PC ，PF
(1)如图①，点E 在BC 上，则线段PC 、PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．
(2)如图②，将△BEF 绕点B 顺时针旋转a(O<a<450
)，则线段PC ，PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．
(3)如图③，若AB=1，△AEF 为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，能使点F 落在BC 上，且AB 平分EF ，直接写出AE 的值是________．
图① 图② 图③
7、已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDF ，其中D 、G 分别为斜边AB 、EF 的中点，连CE ，又M 为BC 中点，N 为CE 的中点，连MN 、MG
(1) 如图1，当DE 恰好过M 点时，求证：∠NMG ＝45°，且MG ＝2MN
(2) 如图2，当等腰Rt △EDF 绕D 点旋转一定的度数时，第(1)问中的结论是否仍成立，并证明
(3) 如图3，连BF ，已知P 为BF 的中点，连CF 与PN ，直接写出
CF
PN
＝______
8、已知：如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，CD ⊥AB 于D ，AB=10，将CD 绕着D 点顺时针旋转a （0°<a<90°）到DP 的位置，作PQ ⊥CD 于Q ，点I 是△PQD 角平分线的交点，连IP ，IC ，
（1）如图1，在PD 旋转的过程中，线段IC 与IP 之间是否存在某种确定不变的关系？请证明你的猜想。

（2）如图2：连IA ，当AI ⊥DP 时，求DQ 的长。

（3）如图3，若取BC 的中点M ，连IM ，当PD 旋转过程中，线段IM 的长度变不变？若不变请求出其值；若变化，求出其变化范围。

I
Q
P
D
C B
A
I
Q
P
D
C B
A
M
I
Q
P
D
C
B
参考答案
1、答案：(1)AB=AF+BD; …………2分 (2)如图（2）中的实线图，AB=AF-BD; …………4分
(3)如图(1)，过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G,得△AEG 为等边三角形 ∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,
又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE ，∴∠BED=∠GCE …………6分 又∵BE=CG,DE=CE
∴△BDE ≌△GEC ∴BD=EG=AE
又∵AF=BE ∴AB=BE+AE=AF+BD …………8分
如图（2），过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G,得△AEG 为等边三角形 ∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,
又∵∠CDE-∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD-∠GCE ，∴∠BED=∠GCE …………6分 又∵BE=CG,DE=CE
∴△BDE ≌△GEC ∴BD=EG=AE
又∵AF=BE ∴AB=BE-AE=AF-BD ………8分
2、答案：（1）连EM 并延长，使MF=EM ，连BF ，易证△EDM ≌△FBM ，从而易证等腰Rt △EAC ≌Rt △FBC ，易得Rt △ECF ，∴MN ⊥CE
(2)同样，证△EDM ≌△FBM ，∴∠EAC+∠EDB+∠DBC=360°，∠MBF+∠FBC+∠DBC=360°，而∠EDB=∠MBF ，∴∠EAC=∠FBC ，易证△EAC ≌△FBC ，易得等腰Rt △ECF ，CE=2MN
3、答案：（2）中点连顶点，易证△1AOA ≌△1COC
(3)易得PC ⊥1AA ，∴以AC 为斜边的Rt △，斜边不变，取AC 中点，BP 最小=PM-
F 第21题图（1） 第21题图（2）
1
2
-2
4、答案：
证明：(1) 连接EC
由正方形的对称性可知，EA ＝EC 连接AC 、B ′C ∴EA ＝AC
∴△ACE 为等边三角形
∴∠DAE ＝60°－45°＝15° 由旋转可知，∠BAB ′＝30° ∴∠B ′AC ＝15°
∴△ADE ≌△AB ′C （SAS ） ∴B ′C ＝DE
(2) 由旋转可知，AB ′＝AD ＝AB ，AE ＝AE ′ 在△AB ′E 和△ADE ′中
⎪⎩
⎪
⎨⎧===''''DE E B AE AE AD AB
∴△AB ′E ≌△ADE ′（SSS ） ∴∠B ′AE ＝∠DAE ′ ∴∠EAE ′＝∠DAB ′
由旋转可知：∠BAB ′＝∠EAE ′ ∴∠ADB ′＝∠BAB ′＝45° 即α＝45°
(3) 过点A 作AM ⊥B ′E ′
由(1)可知：∠B ′＝45°，∠E ＝30° ∴AM ＝22，AE ′＝24 ∴22－2≤PQ ≤24＋2
5、答案：
证明：(1) ∵AH 是PC 的垂直平分线 ∴PA ＝PC ＝AB ∵AD 平分∠PAB ∴∠PAD ＝∠BAD 在△PAD 和△BAD 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠==AD AD BAD PAD BA PA ∠
∴△PAD ≌△BAD （SAS ） ∴DP ＝DB
(2) 在CP 上截取CQ ＝PD ，连接AQ ∵AP ＝AC
∴∠APD ＝∠ACQ 在△APD 和△ACQ 中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CQ PD ACQ
APD AC AP
∴△APD ≌△ACQ （SAS ） ∴AD ＝AQ ，∠CAQ ＝∠PAD
∴∠BAC ＝∠CAQ ＋∠BAQ ＝∠PAD ＋∠BAQ ＝∠BAD ＋∠BAQ ＝∠DAQ ＝60° ∴△ADQ 为等边三角形 ∴AD ＝DQ
∴CD ＝DQ ＋CQ ＝AD ＋DB
(3) 24（提示：设DP ＝DB ＝DH ＝x ，则CH ＝2x ，CD ＝3x ，AD ＝CD －DB ＝2x ）
6、答案：（1）FP=PC ，FP ⊥PC(用Rt △的中线及换角得出) （2）方法一：（中点+中点构造中位线）
如图，构造以B 点为直角的等腰Rt △BEG 和Rt △BHD
H
G P
F
E
D
C
B
A
易证△BDG ≌△BEH,FP
12GD,PC ∨1
2
EH ，∵GD ⊥EH ，∴FP=PC ，FP ⊥PC 方法二：（中线倍长，构造全等）
延长CP 至H ，使PH=PC ，连HE ，HF ，FC
H
P F E
D
C
B
A
易证△HEP ≌△CDP ，∴HE ∨CD ，由“X ”型易得∠FBC=∠FEH ，∴△FBC ≌△FBH ，∴FH=FC ，∠BFC=∠EFH ，∠BFC-∠EFC=∠EFH-∠EFC=90°，∴Rt △HFC 中FP ⊥PC （3）面积法
x
5x
x
x
2x E F
D
C
B A
5⋅2x ∴5
7、答案：（1）连DG ，由对称性可知（中垂线上的点）D 、C 、G 三点共线，Rt △CME 中，MN=
12EC ，NG=1
2
EC ，∠MNG=2∠MEG=90°，∴△MNG 为等腰Rt △，即证. （2）连DC 、CF 、BE 、NG ，易证△DBE ≌△DCF ，BE=CF ，CF ⊥BE （垂直交叉“X ” 型得），
∴MN ∨
1
2
BE ，NG ∨CF ，MN=NG ，MN ⊥NG ，∴△MNG 为等腰Rt △ （3）取BC 的中点M ，连PM 、MN 、DC ，同样证△DBE ≌△DCF ，易得△PMN 为等腰Rt △，
PM=
1
2
CF ，
2PN PN CF PM ==
8、答案：（1）垂直且相等
连DI ，易证△DIC ≌△DIP ，∴IP=IC. 过I 作IE ⊥QP 于E ，IF ⊥CD 于F ，∵IE=IF ，∴Rt △CIF ≌Rt △PIE ，易证CI ⊥PI
（2）由等腰得AD=AI=5，设IH=x ，则AH=5-x ，DH=AD+2x-AH=3x ，∴()2
3x +()2
5-x =25， ∴x=0（舍去），x=1，∴AH=4，∴DQ=4
互补，三点一线
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质
基础题
知识点1 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象和性质
1．二次函数y ＝x 2
＋4x －5的图象的对称轴为( )
A ．x ＝4
B ．x ＝－4
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
2．抛物线y ＝x 2
－2x ＋1的顶点坐标是( )
A ．(1，0)
B ．(－1，0)
C ．(－2，1)
D ．(2，－1)
3．在二次函数y ＝－x 2
＋2x ＋1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( )
A ．x<1
B ．x>1
C ．x<－1
D ．x>－1
4．二次函数y ＝ax 2
＋bx －1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是( )
A ．－3
B ．－1
C ．2
D ．3
5．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的x 、y 的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1
则该二次函数图象的对称轴为( )
A ．y 轴
B ．直线x ＝5
2
C ．直线x ＝2
D ．直线x ＝3
2
6．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( )
A ．函数有最小值
B ．对称轴是直线x ＝1
2
C ．当x<1
2，y 随x 的增大而减小
D ．当－1<x<2时，y>0
7．若A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(1，y 3)为二次函数y ＝x 2
＋4x －5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A ．y 1<y 2<y 3
B ．y 2<y 1<y 3
C ．y 3<y 1<y 2
D ．y 1<y 3<y 2
8．函数y ＝x 2
＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝________；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而________．(填“增大”或“减小”)
9．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线________．
10．写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．
(1)y ＝x 2
＋3x －2；
(2)y ＝－12
x 2
＋x －4.
知识点2 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象变换
11．把抛物线y ＝－x 2
向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为( )
A ．y ＝－x 2＋2x ＋2
B ．y ＝－x 2
－2x ＋2
C ．y ＝－x 2＋2x －4
D ．y ＝－x 2
－2x －4
12．在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2
＋4x －3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )
A ．(－3，－6)
B ．(1，－4)
C ．(1，－6)
D ．(－3，－4) 中档题
13．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2
不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )
A ．y ＝2(x －2)2＋2
B ．y ＝2(x ＋2)2
－2
C ．y ＝2(x －2)2－2
D ．y ＝2(x ＋2)2
＋2
14．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a<0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )
A ．有最小值5、最大值0
B ．有最小值－3、最大值6
C ．有最小值0、最大值6
D ．有最小值2、最大值6
15．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋a 2
－1的图象为下列之一，则a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C.
－1－52 D.－1＋5
2
16．二次函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点(3，0)．
(1)求b的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)在所给坐标系中画出二次函数y＝x2＋bx＋3的图象．
17．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
综合题
18．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．
参考答案
基础题
1.D
2.A
3.A
4.D
5.D
6.D
7.B
8.－1 增大
9.x ＝－1
10.(1)∵a＝1，b ＝3，c ＝－2，∴x ＝－b 2a ＝－32×1＝－32，4ac －b 2
4a ＝4×1×（－2）－32
4×1＝－17
4.∴抛物线
开口向上，顶点坐标为(－32，－174)，对称轴是直线x ＝－3
2
.
(2)∵a＝－12，b ＝1，c ＝－4，∴x ＝－b 2a ＝－12×（－12）＝1，4ac －b 2
4a ＝4×（－12）×（－4）－12
4×（－12）
＝－7
2
.
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1，－7
2
)，对称轴是直线x ＝1.
11.B 12.C 中档题
13.B 14.B 15.A
16.(1)将(3，0)代入函数解析式，得9＋3b ＋3＝0.解得b ＝－4.
(2)∵y＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1，∴顶点坐标是(2，－1)，对称轴为直线x ＝2. (3)图略．
17.(1)把点C(5，4)代入抛物线y ＝ax 2
－5ax ＋4a ，得25a －25a ＋4a ＝4，解得a ＝1.∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－5x ＋4.∵y＝x 2
－5x ＋4＝(x －52)2－94，∴顶点坐标为P(52，－94
)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为y ＝(x －5
2＋
3)2－94＋4＝(x ＋12)2＋74
，即y ＝x 2
＋x ＋2.
综合题
18.(1)将点O(0，0)代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1中，得0＝m 2
－1.解得m ＝±1.∴二次函数的解析式
为y ＝x 2＋2x 或y ＝x 2
－2x.
(2)当m ＝2时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1，∴C(0，3)，顶点坐标为D(2，－1)． (3)存在．连接CD ，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P 位于CD 与x 轴的交点时，PC ＋PD 最短．设经过C 、D 两点的直线解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，则将C(0，3)，D(2，－1)两点坐标代入解析式中
可得⎩⎪⎨⎪⎧3＝b ，－1＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝3.
∴y ＝－2x ＋3.令y ＝0，可得－2x ＋3＝0，解得x ＝32.∴当P 点坐标为
(3
2，0)时，PC ＋PD 最短．。