随机过程三(1)

3.2.1 随机过程的极限
★ 随机过程的极限
设随机信号X(t)和随机变量X，如果有
lim E{[ X (t ) X ] } 0
2 t t0
则称X为随机信号X(t)当t→t0时的极限， 记为
l.i.m X (t ) X
t t 0
3.2.2 随机过程的连续性
★ 一般定义
设随机信号X(t) ，如果有
随机信号分析
主讲：杜青松
第三章 随机过程的变换
本章学习的主要内容
★随机过程变换的基本概念 ★随机过程的导数和积分 ★随机过程通过线性系统分析
3.1 随机过程变换的基本概念
★随机过程变换的概念
★随机过程的线性变换
★线性变换的基本定理
3.2 随机过程的导数和积分
★随机过程的极限
★随机过程的连续性
★ 平稳随机过程的连续性
平稳随机过程X(t) 依均方收敛意义下连续 的充要条件是其相关函数RX(τ)在τ＝0处连续。
3.2.3 随机过程的导数
★ 随机过程导数的定义
[定义] 设随机过程X(t) ，如果下列极限 存在， X (t t ) X (t )
l.i.m
t 0
t
则称此极限为随机过程X(t)的导数，记为 X’(t) 或dX(t)/dt ，即

b
a b
[R
a
b
X
(t1 , t 2 ) m X (t1 )m X (t 2 )]dt1dt2
3.1.1 随机过程变换的概念
★ 随机过程的变换
给定一个随机过程X(t)，如果按照某种法则T， 对它的每一个样本函数x(t) ，都能够确定一个 对应的函数y(t)，我们得到了一个新的随机过程 Y(t)，记为
Y(t)= T [X(t)]
T就称为从随机过程X(t)到Y(t)的变换， Y(t) 是随机过程X(t)经过变换T后的结果。
其数学期望和相关函数分别记为mY(t)和RY(t1,t2)。
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性
1、导数过程的数学期望mY(t)
X (t t ) X (t ) dX (t ) mY (t ) E[Y (t )] E E l.i.m t dt t 0 m (t t ) m X (t ) X (t t ) X (t ) lim E lim X t 0 t 0 t t dmX (t ) d E[ X (t )] dt dt
Y X (t )dt
a b
3.2.4 随机过程的积分
★ 随机过程积分的统计特性
1、均值
E[Y ] E[ X (t )dt]
a b
mX (t )dt
a
b
3.2.4 随机过程的积分
★ 随机过程积分的统计特性（续）
2、方差
Y X (t1 )dt1 X (t2 )dt2
G X ( )
j
GYX ( )
j
j
GY ( )
GX ( )
j
G XY ( )
GY ( )
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的例题
[例3.2.1] 设X(t)为平稳随机过程，其相关 函数为
RY ( ) e
2
求如下两个过程的互相关函数。 2 dX (t ) d X (t ) Y (t ) Y ' (t ) dt dt 2
(3.2.3)
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
由此可得平稳随机过程及其导数过程的相 关函数的示意图。
R X ( )
d d d d
RYX ( )
d d d d
RY ( )
R X ( )
R XY ( )
RY ( )
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
1、叠加性 函数之和的线性变换等于各函数线性变换之 和。 2、比例性（齐次性） 任意函数乘以常数后的线性变换等于该函数 线性变换后再乘以该常数。
3.1.2 随机过程的线性变换
★ 线性系统
如果系统的输入和输出之间满足线性变换关 系，则该系统为线性系统。 如果系统的输入和输出之间的线性变换满足 如下关系：
X 1 2
t1t 2
t1 t 2 t
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性
[定义] 如果随机过程X(t)满足可微性条件 ，则 经微分后得到的导数是一个新的随机过程，称为 导数过程，记作
dX (t ) X (t t ) X (t ) Y (t ) l.i.m t 0 dt t
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
由此可得随机过程及其导数过程相关函 数的示意图。
R X (t1 , t 2 )
t1 t2
RYX (t1 , t 2 )
t2 t1
RY (t1 , t 2 )
R X (t1 , t 2 )
R XY (t1 , t 2 )
RY (t1 , t 2 )
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
2、导数过程的相关函数（续）
对于平稳随机过程X(t)，则有
dRX ( ) d dR ( ) RYX ( ) X d dRXY ( ) d 2 RX ( ) RY ( ) 2 d d RXY ( )
2、导数过程的相关函数（续）
平稳随机过程X(t)与其导数过程在同一时 刻是不相关的。
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
3、导数过程的功率谱密度
dRX ( ) d 1 RXY ( ) d d 2 1 jG X ( )e j d 2 G XY ( ) jG X ( ) d
3.1.3 线性变换的基本定理
★ 随机信号线性变换的基本定理（续）
定理二：设Y(t)= L[X(t)]，L是线性变换，则 有 RXY (t1,t2) =Lt2[RX (t1,t2) ] RY (t1,t2) =Lt1 Lt2[RX (t1,t2) ] 其中Lt1表示对t1作L变换， Lt2表示对t2作L变 换。
3.2.4 随机过程的积分
★ 随机过程积分的定义
[定义] 设随机过程X(t) ，把区间[a,b]划分 成n等份，如果
2 n lim E Y X (ti )ti 0 n i 1
则称Y为X(t)在区间[a,b]的均方积分，记 为
3.1.2 随机过程的线性变换
★ 线性变换
设有任意两个随机变量A1和A2以及任 意两个随机信号X1(t)和X2(t) ，如果满足
L[A1X1(t)+ A2X2(t) ]= A1L[X1(t)]+ A2L[X2(t) ]
则称变换L为线性变换。
3.1.2 随机过程的线性变换
★ 线性变换的两个基本特性
2 a a b b b a

b
a
X (t1 ) X (t2 )dt1dt2
E[Y ]
2
b
a

b
a
E[ X (t1 ) X (t2 )]dt1dt2

b
a

b
a
RX (t1 , t2 )dt1dt2
3.2.4 随机过程的积分
★ 随机过程积分的统计特性（续）
2、方差（续）
2 Y E[Y 2 ] E 2 [Y ]
★随机过程的导数 ★随机过程的积分
本堂课的作业
★第98页习题 3.1 3.3 3.4
3.1.1 随机过程变换的概念
★ 普通函数的变换
给定一个函数x(t)，如果按照某种法则
T，能够确定一个新的函数y(t)，那么我们
就说y(t)是x(t)经过变换T后的结果。记为
y(t)= T [x(t)]
T称为从x(t)到y(t)的变换。
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
2、导数过程的相关函数（续）
用类似的方法，可得Y(t)的自相关函数
RY (t1 , t 2 ) E[Y (t1 )Y (t 2 )] R XY (t1 , t 2 ) t1 (3.2.2)
2 R X (t1 , t 2 ) t1t 2



G X ( )e
j
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
3、导数过程的功率谱密度（续）
同理可得
GYX ( ) jGX ( ) GY ( ) GX ( )
2
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
由此可得随机过程与其导数过程的功率谱 密度的关系示意图。
dX (t ) X (t t ) X (t ) X ' (t ) l.i.m t 0 dt t
3.2.3 随机过程的导数
★ 随机过程导数的定义（续）
对于平稳随机过程X(t) ，可导的充要条件 是其相关函数RX(τ)在τ＝0处存在一、二阶导 数。 对于非平稳随机过程X(t) ，可导的充要条 件是存在二阶偏导数 R (t , t )
3.2.2 随机过程的连续性
★ 均值的连续性
当随机过程X(t) 依均方收敛意义连续，则 其均值mX(t)亦必为连续的，即有
t 0
lim E[ X (t t )] E[ X (t )] lim m X (t t ) m X (t )
或
t 0
3.2.2 随机过程的连续性
y(t+ε)=L[x(t+ε)]
即输入的时延对输出也只产生一个相应的时 延，则称系统为线性时不变系统。
3.1.3 线性变换的基本定理
★ 随机信号线性变换的基本定理
定理一：设Y(t)= L[X(t)]，L是线性变换， 则有 E{Y(t)}=E{L[X(t)]}= L{E[X(t)]}
即随机信号经过线性变换后，其输出 信号的数学期望等于输入信号的数学期望 通过线性变换后的结果。
3.1.3 线性变换的基本定理
★ 随机信号通过线性时不变系统
设有一线性时不变系统，如果输入过 程X(t)是狭义平稳的，则输出过程Y(t)也 是狭义平稳的；如果输入过程X(t)是广义 平稳的，则输出过程Y(t)也是广义平稳的。
3.2.1 随机过程的极限
★ 随机变量的极限
定义一：设一随机变量序列{Xn}，n=1, 2, …，如 果有
3.2.3 随机过程的导数
★ 导数过程的统计特性（续）
2、导数过程的相关函数
X(t)和Y(t)的互相关函数
X (t2 t2 ) X (t 2 ) RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] E X (t1 ) l.i.m t 2 0 t 2 X (t1 ) X (t 2 t 2 ) X (t1 ) X (t 2 ) lim E t 2 0 t 2 RX (t1 , t 2 t2 ) RX (t1 , t 2 ) lim RX (t1 , t 2 ) t 2 0 t 2 t 2 (3.2.1)
lim E[( X nn}依均方收敛于随机变量X；或者说随机 变量X是随机变量序列{Xn}依均方收敛意义下的极 限，记作
l.i.m X n X
n
3.2.1 随机过程的极限
★ 随机变量的极限（续）
如果随机变量序列{Xn}依均方收敛于随机 变量X，则必依概率收敛于X；反之不然。 本课程主要运用均方收敛的极限概念。
t 0
lim E{[ X (t0 t ) X (t0 )] 2 } 0
即
l.i.m X (t0 t ) X (t0 )
t 0
则称X(t)依均方收敛意义下在t=t0处连续。
3.2.2 随机过程的连续性
★ 一般定义（续）
设随机过程X(t) 的相关函数为RX(t1,t2)，如 果RX(t1,t2)沿时间轴t1=t2 =t处处连续，则随机 过程X(t) 于每一时刻都是依均方收敛意义下 连续的。
lim P{| X n X | } 0
n
ε为任意小的正数，则称随机变量序列{Xn}依概 率收敛于随机变量X；或者说随机变量X是随机变 量序列{Xn}依概率收敛意义下的极限，记作
p lim X n X
n
3.2.1 随机过程的极限
★ 随机变量的极限（续）
定义二：如果随机变量X及随机变量序列{Xn}， (n=1, 2, …)都有二阶矩，并且