辽宁省盘锦市高三数学上学期期末考试试题 理

辽宁省盘锦市2017届高三数学上学期期末考试试题 理
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合{(,)0}A x y x y =+=，B ＝{（1，1），（1，－1），（2，2）}，则A∩B＝ A ．{（1，1）} B ．{（－1，1）} C ．{（1，－1）} D ．{1，－1} 2．如果复数212bi
i
-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）为纯虚数，那么b ＝ A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4
3．已知a ＝（1，2），b ＝（－4，t ），若a ∥b ，则实数t ＝ A ．－2 B ．2 C ．－8 D ．8
4．直线y ＝2x －1被圆x2＋y2＝1截得的弦长等于 A ．
5
5 B ．
5
5
C 3
D ．2
5．命题p ：∀x ∈[2，＋∞），log 2x ≥1，则 A ．p 是真命题，┐p ：∃x 0∈[2，＋∞），log 2x 0＜1 B ．p 是假命题，┐p ：∀x ∈[2，＋∞），log 2x ＜1
C．p是假命题，┐p：∃x0∈[2，＋∞），log2x0＜1
D．p是真命题，┐p：∀x∈[2，＋∞），log2x＜1
6．某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积是
A．3285
+
B．1135
+
C．3235
+
D．1185
+
7．在长为12cm的线段AC上任取一点B，现作一矩形，邻边长分别等于线段AB，BC的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
A．1 3
B．2 3
C．3 4
D．4 5
8．设m，n是两条不同的直线α，β是两个不同的平面，以下判断正确的是A．若m⊥α，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
B．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α；
C．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
D．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
9．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则
A．2f（1）＝f（2）
B ．2f （1）＞f （2）
C ．2f （2）＞f （4）
D ．2f （2）＜f （4）
10．执行下边所示的程序图（其中[x]表示不大于x 的最大整数），输出r 值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝9，则29
n n
S a +取得最小值时，n 等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
12．已知函数f （x ）＝sinx ＋cosx ，g （x ）＝x ，直线39(
)44
x t t ππ
=≤≤与函数f （x ），g （x ）的图象分别交于N 、M 两点，记()h t MN =，函数h （t ）的极大值为
A ．
32π
B ．53
π
C ．
312
π+ D ．
3222
π+ 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：
13．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ＝x ，则其离心率为________
14．二项式6
3()x x
-展开式中含x 2
项的系数为________．
15．已知函数113sin cos 22()2
x x
f x +=
．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c 且满足2cos cos a c C
b B
-=
，则f （A ）的取值范围是________． 16．P 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线BD 1上的一点，且BP ＝λBD 1（λ∈（0，1））．有下面结论： ①A 1D ⊥C 1P ；②若BD 1⊥平面PAC ，则13λ=；若ΔPAC 为钝角三角形，则1(0,)2λ∈；④若2
(,1)3
λ∈，则ΔPAC 为锐角三角形．
其中正确的结论为________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
17．S n 是数列{a n }的前n 项和，数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，且S 5＝62． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若b n ＝11－2log 2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b n ．
18．小张、小丽、小方三位同学一起参加同一家公司的招聘考试，合格者现场签约，小张表示合格就签约，小丽和小方两同学约定两人都合格则一同签约，否则都不签约，已知小张考试合格的概率为
12，小丽和小方考试合格的概率都是1
3
，三位同学考试是否合格互不影响． （Ⅰ）求至少有1人考试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数X 的分布列和数学期望．
19．如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝BD ＝3．
（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；
（Ⅱ）求二面角A —PC —B 的正弦值．
20．已知椭圆E ：2
21x y t
+=的焦点在x 轴上，抛物线C ：222x y =与椭圆E 交于A ，B 两点，直线AB 过抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程和离心率e 的值；
（Ⅱ）已知过点H （2，0）的直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，又过M 、N 作抛物线C 的切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，问这样的直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 21．已知函数f n （x ）＝2x －nlnx （n ∈N*）． （Ⅰ）判断f n （x ）的单调性；
（Ⅱ）当n ＝4时，求f 4（x ）在点（1，f 4（1））处的切线方程；
（Ⅲ）是否存在函数(){()*}k n f x f x n N ∈∈，f k （x ）＝0在（k ，k ＋1）上有且只有一个解；若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
（e ＝2.78，ln8＝2.079，ln9＝2.197，ln10＝2.302）
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．选修4——4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，曲线C 的方程是x 2
＋y 2
－2y ＝0，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相
同的长度单位建立了极坐标系，直线l 的参数方程是325
45x t y t ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程
（Ⅱ）设直线l 与x 轴的焦点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 得取值范围．
23．选修4——5：不等式选讲 已知()21f x x x =++-
（Ⅰ）求不等式f （x ）＞5的解集；
（Ⅱ）若f （x ）≥a 2
－2a 恒成立，求实数a 的取值范围．
理科数学·参考答案、提示及评分细则
1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．B 7．B 8．A 9．D 10．D 11．A 12．C 13．2 2c
a
= 14．135 15．
1
<()<12
f A 16．①②④
17．解：（Ⅰ）∵a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是以2为公比的等比数列．
515(12)6212
a S -==-，a 1＝2．
∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n
． （Ⅱ）∵a n ＝2n
，∴b n ＝11－2n ， ∴b 1＝9，b n ＋1－b n ＝－2
∴{b n ）是公差为－2的等差数列． ∴2112()(9112)
(1022)
n n n b b n n b b b n n ++-+++=
==- 18．解：（Ⅰ）记事件“至少有1人考试合格”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“无1人考试合格”．
因1
112()(1)(1)(1)2339
P A =---=
，
故7()1()9
P A P A =-=
． （Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，1114(0)(1)(1)2339
P X ==--=
g ， 1114
(1)(1)2339
P X ==-=g
1111
(2)(1)23318P X ==-=g g
1111
(3)23318
P X ===g g
∴分布列为
故()012399181818
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 19．解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，BDC 平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．
因为PA∩AC＝A ，所以BD ⊥平面
PAC ．∵PC PAC ⊂平面．∴BD ⊥PC ． （Ⅱ）方法一：设
AC∩BD＝O ．过点B 作BE ⊥PC 于点E ，连接OE ．
由（Ⅰ）得BD ⊥平面PAC ．∴OB ⊥OE ，ΔOBE 是Rt △． 又BE ⊥PC ，OE 是BE 在平面PAC 内的射影，
∴OE ⊥PC 则．∠OEB 就是二面角
A —PC —
B 的平面角． 易知2
OA =
，2AC OA ==6PC =．
由
PA OE
PC
OC
=，得326OE ==
，则EB ==．
∴在Rt △BOE 中，3
sin 7
OB OEB EB ∠===A —PC —－B 的正弦值为7．
方法二：（向量法）设AC∩BD＝O ，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，易知33
2
OA =
，233AC OA ==，32
OB =
， 则点3(0,,0)2B ，33(,0,0)2C -
，33
(,0,3)2
P ． ∴333
(
,,0)22
CB =u u u r ，333(,,3)22BP =-u u u r 设n ＝（x ，y ，1）是平面PBC 的一个法向量，则由0n CB =u u u r g
，0BP =u u u r g n ，得333
0,2233330,22
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得3
,1,
x y ⎧=-
⎪⎨⎪=⎩
，所以3(,1,1)3n =-． 易知3
(0,,0)2
OB =u u u r 是平面APC 的一个法向量．
设二面角A —PC —B 为θ，观察图形，可知θ为锐角．
∴22233(1,1)(0,,0)2132cos cos ,33
()1123
n OB θ-
===
⨯-++g u u u r ， ∴27
sin 7
θ=
∴二面角A —PC —B 正弦值是
27
7
．
20．解：（Ⅰ）∵x 2
＝2py ，∴2p =
，∴22
y =
代入2
22x y =得2x = ∴2
(2,)2A -代点A 到221x y t
+=得t ＝4． ∴椭圆E ：2214
x y +=，a ＝2，b ＝1，∴3c =，∴离心率32e =．
（Ⅱ）依题意，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k （x －2），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．
因为222y =所以2
y '=
所以切线l 1，l 2的斜率分别为
12x ，22
x ． 当l 1⊥l 2时，
1222
122
x x =-，即x 1x 2＝－2． 由2(2),22y k x x y
=-⎧⎪⎨=⎪⎩得2
22420x kx k -+=， 所以12422x x k ==-，解得2
4
k =-
． 又2
2
88288>0k ka k ∆=-=+恒成立， 所以存在直线l 的方程是2
(2)4
y x =--，即2220x y +-=． 21．解：（Ⅰ）2()2n n x n f x x x -'=-
=
，f′n （x ）＝0时，2
n
x =
当0<<2n x 时，f′n （x ）＜0，f n （x ）为减函数， 当>2
n x 时，f′n （x ）＞0，f n （x ）为增减函数， 故f n （x ）的单调减区间为(0,)2n ，单调增减区间为(,)2
n +∞ （Ⅱ）∵f 4（x ）＝2x －4lnx ，∴44()2f x x
'=-， ∴k ＝－2，切点（1，2）
∴切线：y ＝－2x ＋4．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知2
n x =
时，函数f n （x ）－2x －nlnx （n ∈N*）取极小值，即为最小值，()ln (1ln )22
n n n f n n n =-=-． 当n ＜6时，()>02n n f ，此时，()02
n n f =无解， 当n ≥6时，()<02n n f ，此时，()02n n f =有解 若f k （x ）＝0在（k ，k ＋1）上有且只有一个解，需有f k （k ）f k ＋1（k ＋1）＜0． 又f k （x ）在(,)2k +∞上为单调函数，∴f k （k ）＜0，f k ＋1（k ＋1）＞0，
∴由f k （k ）＜0，即k （2－lnk ）＜0，可得k ≥e 2，即k ≥8，
由f k ＋1（k ＋1）＞0，即2（k ＋1）－kln （k ＋1）＞0，
令g （k ）－2（k ＋1）－kln （k ＋1）＞0（k ≥8），()2ln(1)1
k g k k k '=-+-+， 当k ≥8时，ln （k ＋1）≥2，∴g′（k ）＜0，即g （k ）在（8，＋∞）为单调减函数． 又g （8）＝18－8ln9＞0，g （9）＝20－9ln10＜0，
故k ＝8时，f 8（x ）＝0在（k ，k ＋1）上有且只有一个解
22．解：（Ⅰ）∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，
∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝sinθ
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3
y x =-
-． 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为（2，0）．
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为（0，1），半径r ＝1，则5MC =
∴51MN MC r +=≤． 51MN ∴范围是[551]
23．解：（Ⅰ）21,>1
()3,2121,<2
x x f x x x x +⎧⎪=-⎨⎪---⎩≤≤
∴2x ＋1＞5，x ＞2，－2x －1＞5，x ＜－3． 得f （x ）＞5的解集为{<3>2}x x x -或 （Ⅱ）∵()123f x x x =-++≥ ∴f （x ）≥a 2－2a ，化为a 2—2a ≤3 ∴－1≤a ≤3即a ∈[－1，3]。