全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．
3.已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为
________．
4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．
5.已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________．
6.设P为曲线C：f(x)＝x2－x＋1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________．
7.已知函数f(x)＝a ln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
8.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
二、解答题
1.已知f(x)＝e x－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
2.已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
3.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
全国高三高中数学专题试卷答案及解析
一、填空题
1.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．
【答案】(0,1]
【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．
2.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________．
【答案】(－1,0)
【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f (x )在x ＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边f ′(x )＞0，右边f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)．
3.已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为
________．
【答案】∪
【解析】xf ′(x )<0⇒
或 当x ∈时，f (x )单调递减，此时f ′(x )<0.
当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递增，此时f ′(x )>0.
4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是______．
【答案】(，2)
【解析】由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为
f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得 又a >0，解得<a <2.
5.已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．
【答案】－
【解析】因为函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，所以函数g (x )＝ax 3＋bx 在[0,1]上的最大值为2，而g (x )是奇函数，所以g (x )在[－1,0]上的最小值为－2，故f (x )在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－.
6.设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________．
【答案】
【解析】设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1.
∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2.
∵y 0＝f (x 0)＝
－x 0＋1＝2＋， ∵x 0∈[0,2]，∴≤y 0≤3，
故点P 的纵坐标的取值范围是
.
7.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
【答案】[－2，＋∞)
【解析】∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝＋1.
又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)
＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
max
8.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
【答案】9
【解析】依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9
二、解答题
1.已知f(x)＝e x－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
【答案】（1）当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．（2）(－∞，0]
【解析】(1)∵f(x)＝e x－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝e x－a.令f′(x)≥0，得e x≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当
a>0时，有x≥ln a．综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝e x－a.∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝e x－a≥0恒成立，即a≤e x在R上恒成立．
∵x∈R时，e x>0，∴a≤0，
即a的取值范围是(－∞，0]．
2.已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【答案】（1）a＝（2）当a≤0时f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．当0<a<时，f(x)的
单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.当a＝时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．f(x)的单
调递增区间是(0，＋∞)．f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是
【解析】f′(x)＝ax－(2a＋1)＋ (x>0)．
(1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝.
(2)f′(x)＝ (x>0)．
①当a≤0时，x>0，ax－1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．
②当0<a<时， >2.在区间(0,2)和上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.
③当a＝时，f′(x)＝≥0，
故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．
④当a>时，0<<2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是
3.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【答案】（1）a＝（2）在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.【解析】(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.。