高考数学二轮复习 立体几何专题测试

2009届高考数学二轮复习 立体几何专题测试
（一）典型例题讲解:
例1两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证 MN ∥平面BCE
命题意图 本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识
知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)⇒线(外)∥面 或转化为证两个平面平行
错解分析 证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN 所在平面是一个关键
技巧与方法 证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行
证法一 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB ∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ， ∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45°
∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ
∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形
∴MN ∥PQ ∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外， ∴MN ∥平面BCE
证法二 如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ， ∴
AB
AH
AC AM =
连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得
AB
AH
BF FN =
∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE 得:平面MNH//平面BCE ∴MN ∥平面BCE
例2在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC
(1)若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；
(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；
(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由 命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质 知识依托 线面垂直、面面垂直的判定与性质
P
错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出
技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线
(1)证明 ∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1
(2)证明 延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N ∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1
∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1
∴C 1N ⊥C 1B 1
∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C
∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C
∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C
(3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必
要性 过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1
∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点
∴AM =DE =2
1
211
CC AA 1，∴AM =MA 1 例3、在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点 (1)求证 四边形B ′EDF 是菱形； (2)求直线A ′C 与DE 所成的角；
(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角 命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强
知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角
错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面
技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平
C
1
移法 求二面角的大小也可应用面积射影法
(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=
2
5
a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由
EG AB A ′B ′知，
B ′EGA ′是平行四边形
∴B ′E ∥A ′G ,又A ′
F D
G ,∴A ′GDF 为平行四边形
∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形
(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角
在△A ′CP 中，
易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =2
13a 由余弦定理得cos A ′CP =
15
15 故A ′C 与DE 所成角为
另法（向量法） 如图建立坐标系，则
(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2a
A a C a a D a E a '
(,,),(,,0)2
a
A C a a a DE a '⇒=-=-
15
cos ,15
||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>=
=
' 故A ′C 与DE 所成角为 (3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示
又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′
在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a
则cos ADB ′=3
3
B
故AD 与平面B ′EDF 所成的角是
另法（向量法）
∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示
又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′，
如图建立坐标系，则
(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '
(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=- 3
cos ,||||
DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=
=
'， 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 (4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心
作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，
故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角 在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =
10
30
=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH
=
6
30
=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 另法（向量法） 如图建立坐标系，则
(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2
a
A A a
B a a D a E a ''，
所以面ABCD 的法向量为 (0,0,),m AA a '==
下面求面B ′EDF 的法向量n
设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22
a a
ED a EB a '=-=-
022
1
002
a a y n ED y a z n
ED y az ⎧
-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩
∴(1,n =
∴6
cos ,||||6
n m n m n m <>=
=
故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例4、如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°
求 (1)AC 1的长；
(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值 命题意图 本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题
知识依托 向量的加、减及向量的数量积 错解分析 注意＜AA ,1＞=＜1AA ,＞=120°而
不是60°,＜,＞=90°
技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用
21111111222111:(1)||()()()()
||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD
=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解
2222
2
111112221:||,||||,,120,,9011
cos120,cos120,0,
22||2AA b AB AD a
AA AB AA AD AB AD AA AB b a ab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<
>=︒
∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=
1
1
11112211(2),||2,()()
AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222
111||()()
||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴
2
2
11124||||,cos b
a b AC BD BD +-=
>=
<
∴BD 1与AC （二）巩固练习
一、选择题：
1、 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是（ ）
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、平行、相交、异面都有可能
2、在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( ) A a 不和b 垂直，但可能a ∥b B a 可能和b 垂直，也可能a ∥b C a 不和b 垂直，a 也不和b 平行 D a 不和b 平行，但可能a ⊥b
3、已知直线,4||cm a a 相距与平面，平面αα平面α内直线b 与c 相距6cm 且a||b,a 与b 相距5cm ，则a 、c 相距（ ）
A 、5cm
B 、cm 97或5cm
C 、cm 97
D 、cm 65或5cm
4、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=6，AD=4，31=AA 分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=，
11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为( )
A. 104
B. 38
C. 134
D. 16
5、一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( ) (A)
33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 3
3
π3416cm
6、中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：
B 为（ ） A ．11：8 B ．3：8
C ．8：3
D ．13：8
7、如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A.
510
B. 515
C. 54
D.3
2
8、正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,2
2
E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为
（ ）
C 1
A
D
（A ）
6
π （B ）
4
π （C ）
3
π （D ）
2
π
9、如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点， AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O 为球心，则直线 OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63
B ．arccos 63
C ．arcsin
3
3 D ．arccos
3
3
10、在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面
0,,,,30B C D B D D C B D D C A C a A
⊥==
∠
=, 则点C 到平面ABD 的距离是( ) A
B ．
C
a D
11、正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF
折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，
MB 和平面BCF 所成角的正切值为2
1
，那么点M 到直线EF 的距离为
( )
A
2 B 1 C
D 12
12、如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC 、M 、N 分别是对边OA 、BC
的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比量为2，现用基向量OA 、OB 、
OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++则（ ）
A ．13x =、13y =、13z =
B ．13x =、13y =、1
6
z =
F
C ．13x =、16y =、1
3
z =
D ．16x =
、13y =、1
6
z =
二、填空题：
13、正四棱锥S ABCD -
E 是SA 的中点，则异面
直线BE 与SC 所成的角为 。

14、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2cm, 高为4cm ，过BC 作一个截面，截面与底面ABC 成60︒角，则截面的面积是
15、已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成
45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于______
16、 如右图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为______
17、设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆的垂心 ③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心 其中正确命题的命题是
18、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --,有如下四个结论: ①AC BD ⊥ ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与平面BCD 成60的角 ④AB 与CD 所成的角为60 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)
三、解答题：
19、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点
(1)求证 CD ⊥PD ;
(2)求证 EF ∥平面P AD ;
(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面
PCD ？
20、设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD ， ∠ABC=∠DBC=120°，求
(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小； (2)异面直线AD 与BC 所成的角； (3)二面角A —BD —C 的大小
21、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC=1∶3
(1)若M 为AB 中点，求证 BB 1∥平面EFM ；
(2)求证 EF ⊥BC ；
(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小
22、 如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F
1
A
1
G
E
P D C
B
A
(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；
(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等
23、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，
SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .
（I ） 求证： //SB 平面ACM ；
（II ） 求二面角D AC M --的余弦值大小；
（III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .
24、在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120
，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC -的体积．
1S
N
M
D
C
B
A
解答
一.
二. 13. a r c t 3 14. 2
c m 15. －
3
3
16.
2
2
a 17. ①②③④ 18. ①②④ 三. 解答题
19、 证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影，
∵CD 平面ABCD 且CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD (2)取CD 中点G ，连EG 、FG ，
∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG ∥AD ，FG ∥PD ∴平面EFG ∥平面P AD ，故EF ∥平面P AD
(3）解 当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥面PCD
证明 G 为CD 中点，则EG ⊥CD ,由(1)知FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角 即∠EGF =45°，从而得∠ADP =45°，AD =AP
由Rt △P AE ≌Rt △CBE ,得PE =CE
又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，CD ⊥EF 即EF ⊥CD ，故EF ⊥平面PCD
20、解 (1)如图，在平面ABC 内，过A 作
AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，
∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角 由题
设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，
∴∠ADH =45°
(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，
∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°
(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角 设BC =a ,则由题设知，
AH =DH =
2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ARH =HR
AH =2 故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2
21、 (1)证明 连结EM 、MF ，∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点，
∴BB 1∥ME ，又BB 1⊄平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM
(2)证明 取BC 的中点N ，连结AN 由正三棱柱得 AN ⊥BC ， 又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ， ∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME
∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ， 又EF EFM ，∴BC ⊥EF
(3)解 取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角
A 1—
B 1D —
C 的平面角，易得∠A 1QO =arctan
22、 解 (1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中，
∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a
∴A 1E =
22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a 同理A 1F =
2
2
a ,又EF =a ∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°
过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =2
2
1a =
又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2
a ∴a =2，∴所求距离为2
(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形
∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1
得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°
∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件
23、（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME .
ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.
M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中
位线.
∴//ME SB . 又∵ME ⊂平面ACM ， SB ⊄平面ACM ， ∴SB //平面ACM . （II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 由SA AB =故设1AB AD AS ===，则
11
(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22
A B C D S M .
SA ⊥底面ABCD ， ∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．
设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,
11
(1,1,0),(,0,)22
AC AM ==,
则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩n n 即00,11
00.22
x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴
,
.y x z x =-⎧⎨=-⎩
令1x =,则(1,1,1)=--n .
∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>=
==-
⋅
n n n ,∴二面角D AC M --．
G E P D C
B
A
（III ）
11,0,22AM ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， ()1,1,1CS =--， 11022AM CS ∴⋅=-+=
AM CS ∴⊥ 又SC AN ⊥且AN
AM A =.
SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面AMN .
24、（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ，
由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，
由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥，
又DE BE E =，
∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ，
∴AC BD ⊥． （2）作DG BE ⊥，垂足为G ，
∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，
DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠， 由DE AC ⊥，BE AC ⊥知
DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠=，
∵112DE PC =
=
，∴DG =
，又∵3BE AB ==， ∴22213213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=
∴sin 26
DG DBE DB ∠=
=
， ∴BD 与底面ABC
所成的角为． （3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC
的距离2h DG ==，
211333P ABC ABC V S h -∆===．。