《导数》基础训练题(1)答案

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导数基础题训练文(含答案)

导数及其应用一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒3．函数3y x x =+的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；3．函数sin x y x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。

2023年人教版数学导数基础练习题及答案

2023年人教版数学导数基础练习题及答案（正文）在2023年人教版数学教材中，导数是数学中重要的基础概念之一。

为了帮助学生更好地理解和掌握导数的概念和应用，教材中提供了一系列的基础练习题及答案。

本文将为大家呈现部分2023年人教版数学导数基础练习题及答案。

练习题1：已知函数f(x)=3x²-2x+1，求f(x)的导函数f'(x)。

解答：导数的求法主要是运用导数的基本公式，对函数中的各项进行求导。

f'(x)=d(3x²)/dx - d(2x)/dx + d(1)/dx=6x - 2练习题2：已知函数y=x⁴-2x³+x²，求x=2时的切线方程。

解答：根据导数的定义，切线的斜率等于函数在该点的导数值。

因此，要求得切线方程，需要先求得函数在x=2时的导数值，然后再带入切点坐标即可。

y' = d(x⁴)/dx - d(2x³)/dx + d(x²)/dx= 4x³ - 6x² + 2x将x=2代入导数表达式，得到斜率k：k = 4(2)³ - 6(2)² + 2(2)= 16 - 24 + 4= -4切点坐标已知为(2, f(2))，将x=2代入函数表达式，得到切点的纵坐标：f(2) = (2)⁴ - 2(2)³ + (2)²= 16 - 16 + 4= 4由切点坐标和斜率可以得到切线方程y-y₁=k(x-x₁)，将值代入：y-4=-4(x-2)练习题3：求函数f(x)=x³-3x²+2x-5的驻点和拐点。

解答：驻点的求法主要是通过求导数，令导函数f'(x)的值为0，然后求得对应的x值。

拐点的求法则是通过求二阶导数，令二阶导函数f''(x)的值为0，然后求得对应的x值。

首先，求导函数f'(x)：f'(x) = d(x³)/dx - d(3x²)/dx + d(2x)/dx - d(5)/dx= 3x² - 6x + 2然后，令导函数f'(x)为0，解方程得到驻点x：3x² - 6x + 2 = 0利用求根公式，可以求得两个解：x₁ = (6 + √(6²-4×3×2))/(2×3) ≈ 2.732x₂ = (6 - √(6²-4×3×2))/(2×3) ≈ 0.268接着，求二阶导函数f''(x)：f''(x) = d(3x²)/dx - d(6x)/dx + d(2)/dx= 6x - 6将x₁和x₂代入二阶导函数，解方程得到拐点x：6x - 6 = 0x = 1综上所述，函数f(x)=x³-3x²+2x-5的驻点分别为x₁≈2.732和x₂≈0.268，拐点为x=1。

导数专题训练(含答案)

导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)，令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上．又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)，即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0，因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43，所以a 3－3a 2＋4＝0，即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意．综上a ＝－1或a ＝2.变式训练解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )，所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823，解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。

高二导数练习题及答案文库

高二导数练习题及答案文库导数是高中数学中的重要知识点之一，掌握导数的概念和运算方法对学生的数学学习至关重要。

为了帮助高二学生更好地巩固导数知识，提高解题能力，本文整理了一些高二导数练习题及其详细答案，供学生参考和练习。

一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)。

解：根据导数的定义，可得：f'(x) = lim(Δx→0)⁡[f(x + Δx) - f(x)] / Δx代入函数f(x)的表达式，展开并化简：f'(x) = lim(Δx→0)⁡[(3(x + Δx)² - 2(x + Δx) + 1) - (3x² - 2x + 1)] / Δx= lim(Δx→0)⁡[3x² + 6xΔx + 3(Δx)² - 2x - 2Δx + 1 - 3x² + 2x - 1] /Δx= lim(Δx→0)⁡(6xΔx + 3(Δx)² - 2Δx) / Δx= lim(Δx→0)⁡(6x + 3Δx - 2) = 6x - 2所以，函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)为6x - 2。

2. 已知函数g(x) = 4x³ + 2x² - x的导数g'(x)，求g'(1)的值。

解：根据导数的定义，g'(x) = lim(Δx→0)⁡[g(x + Δx) - g(x)] / Δx代入函数g(x)的表达式，展开并化简：g(x + Δx) = 4(x + Δx)³ + 2(x + Δx)² - (x + Δx)= 4x³ + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - x - Δx= 4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx代入导数的定义：g'(x) = lim(Δx→0)⁡[(4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) - (4x³ + 2x² - x)] / Δx= lim(Δx→0)⁡(12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) / Δx= lim(Δx→0)⁡(12x² + 12xΔx + 4(Δx)² + 4x + 2Δx - 1)= 12x² + 4x - 1将x = 1代入上述导数表达式，可得：g'(1) = 12(1)² + 4(1) - 1 = 15所以，g'(1)的值为15。

导数解答题练习(含解析)

导数解答题基础练习1．已知函数()()(1)(1)=+-+-．f x x a lnx a x（1）当1f x的单调区间；a=-时，求()（2）是否存在实数a，使得()+∞有极值点？若存在，求a的取值范围；若不存在，f x在(0,)请说明理由．2．设函数()(1)=+-．f x lnx a x（Ⅰ）讨论：()f x的单调性；（Ⅱ）当()f x有最大值，且最大值大于22a-时，求a的取值范围．3．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =-++．（1）若1a =-，求()f x 的极值；（2）讨论()f x 的单调性．4．已知函数2()1b ax f x x -=+．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求a ，b 的值；（Ⅱ）当221b a =-时，讨论函数()f x 的单调性．5．已知函数32()2f x x ax b =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．导数解答题基础练习参考答案与试题解析一．解答题（共5小题）1．已知函数()()(1)(1)f x x a lnx a x =+-+-．（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在(0,)+∞有极值点？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当1a =-时，()(1)f x x lnx =-，(0)x >，11()1x f x lnx lnx x x-'=+=-+， ()f x '在(0,)+∞递增且f （1）0=，故()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增；（2）令()()(0)a g x f x lnx a x x='=+->，则221()a x a g x x x x -'=-=， ()i 当0a 时，()0g x '>，故()()g x f x ='在(0,)+∞单调递增，f '（1）0=，(0,1)x ∴∈时，()0f x '<，()f x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，则1x =是函数()f x 的极小值点；()ii 当0a >时，令()0g x '=，解得：x a =，x ，()g x '，()g x 的变化情况如下：①1a =时，()f x f ''（1）0=，（当且仅当1x =时取等号），故()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点，②当01a <<时，x ，()f x '，()f x 在(,)a +∞的变化如下：故()f x 在(,1)a 递减，在(1,)+∞递增，则1x =为函数()f x 的极小值点，③当1a >时，x ，()f x '，()f x 的变化如下：故()f x 在(0,1)递增，在(1,)a 递减，则1x =为()f x 的极大值点，综上：存在实数a ，a 的取值范围是(-∞，1)(1⋃，)+∞．2．设函数()(1)f x lnx a x =+-．（Ⅰ）讨论：()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()(1)f x lnx a x =+-的定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x-∴'=-=，若0a ，则()0f x '>，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>，当1(x a ∈，)+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(a，)+∞上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当0a 时，()f x 在(0,)+∞上无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值，最大值为1()1f lna a a=-+-， 1()22f a a>-， 10lna a ∴+-<，令g （a ）1lna a =+-，g （a ）在(0,)+∞单调递增，g （1）0=，∴当01a <<时，g （a ）0<，当1a >时，g （a ）0>，a ∴的取值范围为(0,1)．3．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =-++．（1）若1a =-，求()f x 的极值；（2）讨论()f x 的单调性．【解答】解：（1）若1a =-，则21()(0)2f x x lnx x =->，又1()f x x x'=-，令()0f x '=，解得1x =-（舍去）或1x =，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上为减函数；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数．故()f x 在1x =处取得极小值为12，无极大值． 2(1)(1)()(2)()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=-++==， ①当0a 时，令()0f x '<得到01x <<；令()0f x '>得到1x >，此时()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数；②当01a <<时，令()0f x '<得到1a x <<；令()0f x '>得到0x a <<或1x >，此时()f x 在(,1)a 上为减函数，在(0,)a 或(1,)+∞上为增函数；③当1a =时，显然()0f x '恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上为增函数； ④当1a >时，令()0f x '<得到1x a <<，令()0f x '>得到01x <<或x a >，此时()f x 在(1,)a 上为减函数，在(0,1)或(,)a +∞上为增函数；综上：①当0a 时，()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数； ②当01a <<时，()f x 在(,1)a 上为减函数，在(0,)a 或(1,)+∞上为增函数； ③当1a =时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；④当1a >时，()f x 在(1,)a 上为减函数，在(0,1)或(,)a +∞上为增函数．4．已知函数2()1b ax f x x -=+．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求a ，b 的值；（Ⅱ）当221b a =-时，讨论函数()f x 的单调性．【解答】解：（Ⅰ）由于2()1b ax f x x -=+，则222222(1)2()2()(1)(1)a x x b ax ax bx ax f x x x -+----'==++因为()f x 在1x =处有极值2，所以有(1)0(1)2f f '=⎧⎨=⎩，即2022a b a b a --=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得40a b =-⎧⎨=⎩，经检验4a =-，0b =符合题意．所以，当()f x 在1x =处有极值2时，4a =-，0b =．（Ⅱ）因221b a =-，所以222222(1)(1)()()(1)(1)ax a x ax ax x a f x x x ---+-'==++ ①当0a =时，22()(1)x f x x '=+，令()0f x '=，得0x =，则当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞．②当0a ≠时，令()0f x '=，得x a =，或1x a=- )i 当0a >时，1a a-<，则当1(,)x a a ∈-时，()0f x '<；当1(,)x a∈-∞-或(,)a +∞时，()0f x '>．所以()f x 的增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1(,)a a-． )ii 当0a <时，得1a a->．则当1(,)x a a ∈-时，()0f x '>；当(,)x a ∈-∞或1(a-，)+∞时，()0f x '<．所以()f x 的增区间为1(,)a a -，减区间为(,)a -∞，1(a-，)+∞．综上所述，当0a =时，()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞．当0a >时，()f x 的增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1(,)a a-．当0a <时，()f x 的增区间为1(,)a a -，减区间为(,)a -∞，1(a-，)+∞． 5．已知函数32()2f x x ax b =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）2()626()3a f x x ax x x '=-=-．令()6()03a f x x x '=-=，解得0x =，或3a ．①0a =时，2()60f x x '=，函数()f x 在R 上单调递增．②0a >时，函数()f x 在(,0)-∞，(3a ，)+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减． ③0a <时，函数()f x 在(,)3a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(3a ，0)上单调递减．（2）由（1）可得：①0a 时，函数()f x 在[0，1]上单调递增．则(0)1f b ==-，f （1）21a b =-+=，解得1b =-，0a =，满足条件．②0a >时，函数()f x 在[0，]3a 上单调递减． 13a ，即3a 时，函数()f x 在[0，1]上单调递减．则(0)1fb ==，f （1）21a b =-+=-，解得1b =，4a =，满足条件． ③013a <<，即03a <<时，函数()f x 在[0，)3a 上单调递减，在(3a ，1]上单调递增．则最小值32()2()()1333a a a f ab =⨯-⨯+=-，化为：3127a b -+=-．而(0)f b =，f （1）2a b =-+，∴最大值为b 或2a b -+．若：3127a b -+=-，1b =，解得3a =，矛盾，舍去．若：3127a b -+=-，21a b -+=，解得a =±0，矛盾，舍去．综上可得：存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1． a ，b 的所有值为：01a b =⎧⎨=-⎩，或41a b =⎧⎨=⎩．。

导数基础题训练文(含答案)

导数基础题训练文(含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March导数及其应用一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒3．函数3y x x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；3．函数sin x y x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

导数练习题附答案

一、选择题(每题只有一个选项是正确的，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

)1．某函数的导数为y′＝12(x－1)，那么这个函数可能是 ()A．y＝ln1－x B．y＝ln11－xC．y＝ln(1－x) D．y＝ln11－x2．(2021•江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，那么曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ()A．4 B．－14 C．2 D．－123．(2021•辽宁)曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为 ()A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋14．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 ()A.94e2 B．2e2 C．e2 D.e225．函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()6．设y＝8x2－lnx，那么此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别 ()A．单调递增，单调递减B．单调递增，单调递增C．单调递减，单调递增D．单调递减，单调递减7．以下关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的选项是 ()①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③ B．①②③C．② D．①②8．f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)•f(n)＜0，那么方程f(x)＝0在区间[m，n]上() A．至少有三个实根 B．至少有两个实根C．有且只有一个实根 D．无实根9．函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，那么实数a的取值范围是() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞210．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 ()A.2033cm B．100cm C．20cm D.203cm11．(2021•河南省实验中学)假设函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如下图，那么m的范围为 ()A．(－∞，－1) B．(－1,2) C．(1,2) D．(0,2)12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如下图．假设两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，那么b＋2a＋2的取值范围是 ()A．(13，12) B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3) D．(－∞，－3) 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

导数基础训练题

导数基础训练题第1课时变化率与导数1、在曲线方程21y x =+的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1,2)x y +∆+∆，则yx∆∆为（） A. 12x x ∆++∆ B. 12x x ∆--∆ C. 2x ∆+ D. 12x x+∆-∆ 2.一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度为（） A. 36t ∆+ B. 36t -∆+ C. 36t ∆- D. 36t -∆-3、一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为218s t =，则2t =秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A. 2B. 1C.12 D. 144、设()f x 在0x x =可导，且'0()2f x =-，则000()()lim x f x f x x x∆→--∆∆等于（）A ．0B ．2C ．-2D ．不存在 5、在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆中，x ∆不可能（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．大于0或小于06、在曲线2y x =上切线倾斜角为4π的点是（） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)247、曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+8、曲线24y x x =-上两点(4,0)A 、(2,4)B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是（）A ．(3,3)B ．(1,3)C ．(6,12)-D ．(2,4) 9、若函数()f x 在0x 处的切线的斜率为k ，则极限000()()limx f x x f x x∆→-∆-==∆ 。

10、函数在322y x x =-+在2x =处的切线的斜率为。

导数基础训练试题及答案

导数基础训练试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 函数f(x)=3x^3+2x^2+5的导数是（）。

A. 9x^2+4xB. 9x^2+4x+5C. 3x^2+4xD. 3x^2+4x+53. 函数f(x)=sin(x)的导数是（）。

A. cos(x)B. sin(x)C. -cos(x)D. -sin(x)4. 如果函数f(x)的导数为f'(x)=6x，那么f(x)可能是（）。

A. 3x^2+CB. 2x^3+CC. x^3+CD. x^2+C5. 函数f(x)=e^x的导数是（）。

A. e^xC. -e^xD. -e^(-x)6. 函数f(x)=ln(x)的导数是（）。

A. 1/xB. xC. ln(x)D. 17. 函数f(x)=x^(1/3)的导数是（）。

A. 1/3x^(-2/3)B. 1/3x^(1/3)C. x^(-2/3)D. x^(2/3)8. 函数f(x)=sqrt(x)的导数是（）。

A. 1/(2sqrt(x))B. 1/2sqrt(x)C. 2/sqrt(x)D. 2sqrt(x)9. 函数f(x)=x^5-5x^3+x的导数是（）。

A. 5x^4-15x^2+1B. 5x^4-15x^2+xC. 5x^4-15x^2+1+xD. 5x^4-15x^210. 函数f(x)=cos(x)的导数是（）。

A. -sin(x)B. sin(x)D. cos(x)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的导数是______。

2. 函数f(x)=1/x的导数是______。

3. 函数f(x)=tan(x)的导数是______。

4. 函数f(x)=x^2-6x+10的导数是______。

5. 函数f(x)=ln(x)+x的导数是______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^2+3x-5在x=2处的导数值。

导数专项训练及答案

导数专项训练例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________.2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________.3. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______. 6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+,则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________.7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________.10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x )在它们的交点(1, c )处具有公共切线,则c 的值是___________.【2】常见函数的导数及复合函数的导数1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1xx +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______.3．函数333()(1)(2)(100)f x x x x =+++在1x =-处的导数值为___________.4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________.5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++的值为．6. 设f 1(x )=cos x ,定义)(1x f n +为)(x f n 的导数,即)(' )(1x f x f n n =+,n ∈N *,若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=,则sin A 的值是______.【3】导数与函数的单调性22x xe e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为______. 2. 已知函数()ln ()f x x a R =∈，若任意12[2,3]x x ∈、且12x x >，t =()2121()f x f x x x --,则实数t的取值范围____________.3. 已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a 在x R ∈上有三个零点，则实数a 的取值范是．4.设'()f x 和'()g x 分别是f (x )和()g x 的导函数，若'()'()0f x g x ≤在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=3123x ax -与g (x )=x 2+2bx 在开区间(a , b )上单调性相反(a >0)，则b -a 的最大值为．【4】导数与函数的极值、最值1. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ． 2. 已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .3. 已知函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b ,其中a , b R ∈.若函数f (x )仅在x =0处有极值,则a 的取值范围是______________.4. 设曲线(1)x y ax e =-在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点02(,)B x y 处的切线为2l .若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为____________.5.已知函数f (x )=e x -1, g(x )= -x 2+4x -3若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为______.6. '()f x 是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间[m ，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是__________. 【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为()3c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r2. 已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y = f(x )在点(1, f(1))处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．3. 已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).4.已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ．（1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．5.设函数2()1x f x e x ax =---（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围导数专项练习答案【1】导数的几何意义及切线方程1. 2；2. y =-2或9x +y -16=03.34； 4. 2e ； 5. 3； 6.201232y x =+; 7. 2； 8. 2； 9. 13a < 10. ()0,3e -11. 4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -1e; 2. 12- 3. 3⨯99! 4. 2x -y -1=0； 5. -1 ; 6. 1;【3】导数与函数的单调性1. (0, 1);2. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭; 3. (-4, 0); 4. 12【4】导数与函数的极值、最值1. 11；2. 2ln2-2；3. 88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 4. 312a ≤≤; 5. []1,3 ; 6.0m ≥[5] 解答题 1. 答案解:(1)由题意可知()23480233r l r l r πππ+=≥,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r c rππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭, 即2216084y r r c rπππ=-+,定义域为{}02x r <≤. (2)2160168y r rc r πππ'=--+,令0y '=,得3202r c =-.令32022r c ==-,得92c =,①当932c <≤时,32022c ≥-,当02r <≤时,0y '<,函数单调递减,∴当2r =时y有最小值;②当92c >时,32022c <-,当32002r c <<-时,0y '<;当3202r c >-时,0y '>, ∴当3202r c =-时y 有最小值. 综上所述,当932c <≤时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时3202r c =-2. 答案()()()()()()()22(2)2ln 0+22110220......5f x ax a x x ax a a f x ax a x x x =-++∞-+-'>=-++=>函数的定义域是，，当时，分()()()()()22212110=0,11..............................................................62ax a x ax f x f x x xx x a -+---''=====⋯⋯⋯令，即所以或分3. 解答4.若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．5. 解答导数专题复习（配详细答案）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

高二导数基本练习题及答案

高二导数基本练习题及答案1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数f'(x)。

解析：对于多项式函数，直接应用幂函数的求导法则即可。

根据幂函数的求导法则，指数减1并乘以原指数的系数。

因此，对于f(x) = 2x^3 -3x^2 + 4x - 5，其导数为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 求函数g(x) = 3sin(2x)的导数g'(x)。

解析：对于三角函数的求导，需要运用复合函数的求导法则。

根据复合函数求导法则，首先对外层函数求导，然后乘以内层函数的导数。

对于g(x) = 3sin(2x)，外层函数为sin(2x)，内层函数为2x。

因此，g'(x) = 3 * cos(2x) * 2 = 6cos(2x)。

3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数h'(x)。

解析：对于对数函数的求导，需要运用链式法则。

根据链式法则，对于复合函数h(x) = ln(x^2 + 1)，其中外层函数为ln(u)，内层函数为u = x^2 + 1。

因此，h'(x) = 1/(x^2 + 1) * 2x = 2x/(x^2 + 1)。

4. 求函数y(x) = e^(3x+2)的导数y'(x)。

解析：对于指数函数的求导，也需要运用链式法则。

根据链式法则，对于复合函数y(x) = e^(3x+2)，其中外层函数为e^u，内层函数为u = 3x + 2。

因此，y'(x) = e^(3x+2) * 3 = 3e^(3x+2)。

5. 求函数z(x) = sqrt(x^3 + 2x)的导数z'(x)。

解析：对于根号函数的求导，同样需要运用链式法则。

根据链式法则，对于复合函数z(x) = sqrt(x^3 + 2x)，其中外层函数为sqrt(u)，内层函数为u = x^3 + 2x。

因此，z'(x) = (1/2)(x^3 + 2x)^(-1/2) * (3x^2 + 2) = (3x^2 + 2)/(2sqrt(x^3 + 2x))。

导数(1)答案

导数及应用（1）一、基础训练:1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则yx∆∆为 . 答案 Δx+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f ′(x)= . 答案 cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R 上可导且满足不等式xf ′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b 满足a ＞b,则下列不等式不一定成立的是（填序号）. ①af(b)＞bf(a) ②af(a)＞bf(b) ③af(a)＜bf(b) ④af(b)＜bf(a) 答案 ①③④4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围为 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=ea x 在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . 答案 2二、典型例题题型一利用导数定义解题例1 （1）求函数y=12+x 在x0到x0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy =11)(2020+-+∆+x x x =11)(11)(2202020+++∆+--+∆+x x x x x x=11)()(2202020+++∆+∆+∆x x x x x x ，∴x y∆∆=11)(220200+++∆+∆+x x x x x . （2）函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，→+-+xx f x f )1()21(题型二、利用法则与公式求导例2 求下列各函数的导数：（1）y =25sin x xx x ++；（2）y =（x +1）（x +2）（x +3）；（3）y =-sin2x (1-2cos 24x)；（4）y =x -11+x+11. 解（1）∵y =2521sin x x x x ++=x23-+x 3+2sin x x ，∴y ′=（x23-）′+(x 3)′+(x -2sin x )′=-23x 25-+3x 2-2x -3sin x +x -2cos x . (2)方法一 y =（x 2+3x +2）（x +3）=x 3+6x 2+11x +6，∴y ′=3x 2+12x +11. 方法二y ′=［（x +1）（x +2）］′（x +3）+（x +1）（x +2）（x +3）′ =［（x +1）′（x +2）+（x +1）（x +2）′］（x +3）+（x +1）（x +2）=（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2）=（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2）=3x 2+12x +11. （3）∵y =-sin 2x (-cos 2x )=21sin x ，∴y ′=(21sin x ) ′= 21（sin x ）′=21cos x . （4）y =x-11+x+11=)1)(1(11x x x x +--++=x -12，∴y ′=(x -12)′=2)1()1(2x x -'--=2)1(2x -.例3 求下列函数的导数：（1）y =4)31(1x -;(2)y =sin 2(2x +3π);(3)y =x 21x +. 解（1）设u =1-3x ,y =u -4. 则y x ′=y u ′·u x ′=-4u -5·（-3）=5)31(12x -.(2)设y =u 2,u =sin v ,v =2x +3π, 则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+324πx .(3)y ′=(x 21x +)′=x ′·21x ++x ·（21x +)′=21x ++221xx +=22121xx ++.例4有一倒置的圆锥形容器，其底面的半径等于圆锥的高，若以9π3cm /s 的速度向该容器注水，求当水深为10cm 时水面上升的速度.题型三、求切线方程例5 已知曲线y =31x 3+34.(1)求曲线在x =2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解（1）∵y ′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k =y ′|x =2=4.∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.（2）设曲线y =31x 3+34与过点P （2，4）的切线相切于点 A (x 0，31x 03+34)，则切线的斜率k =y ′|0x x ==x 02. ∴切线方程为y -(31x 03+34)=x 02(x -x 0),即y =x 02·x -32x 03+34. ∵点P （2，4）在切线上，∴4=2x 02-32x 03+34,即x 03-3x 02+4=0,∴x 03+x 02-4x 02+4=0,∴x 02(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.题型四、用导数研究单调性例6 已知f (x )=e x-ax -1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 f ′(x )= e x -a .(1)若a ≤0，f ′(x )= e x-a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增. 若a ＞0, e x-a ≥0,∴e x≥a ,x ≥ln a . ∴f (x )的递增区间为（ln a ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立. ∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立. ∴a ≤（e x）min ，又∵e x＞0,∴a ≤0.（3）方法一由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x在（-∞，0］上恒成立. ∵e x在（-∞，0］上为增函数. ∴x =0时，e x最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤1，∴a =1.方法二由题意知，x =0为f (x )的极小值点. ∴f ′(0)=0,即e 0-a =0,∴a =1.四、巩固练习1. y =tan x 的导数为 .解 y ′='⎪⎭⎫ ⎝⎛x x cos sin =x x x x x 2cos )(cos sin cos )(sin '-' =xxx 222cos sin cos +=x2cos 1.2.设函数f （x ）=cos （3x +ϕ）（0＜ϕ＜π）.若f (x )+f ′(x )是奇函数,则ϕ= . 答案6π3.若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或-41 4、函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,33 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 5.设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a = . 答案 -26.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0πY ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,327.若函数f (x )的导函数为f ′(x )=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,18.设函数f (x )=ax +bx +1（a ,b ∈Z ），曲线y =f (x )在点（2，f （2））处的切线方程为y =3. （1）求f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f ′(x )=a -2)(1b x +,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++.0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==11b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==38,49b a因为a ,b ∈Z ,故f (x )=x +11-x . (2)证明在曲线上任取一点（x 0,x 0+110-x ）,由f ′(x 0)=1-20)1(1-x 知,过此点的切线方程为y -110020-+-x x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--20)1(11x (x -x 0).令x =1,得y =1100-+x x ,切线与直线x =1的交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ; 令y =x ,得y =2x 0-1,切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1);直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为2111100--+x x |2x 0-1-1|=21120-x |2x 0-2|=2. 所以,所围三角形的面积为定值2.9．已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f′(x)=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，f′(x)=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.（2）解由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,∴只需a≥3.当a=3时，f′(x)=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明∵f(-1)=a-2＜a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.。