2023届高考四川凉山州高三数学第二次诊断性检测卷 含答案(文科)

第Ⅰ卷
（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数z =3+2i 1+i
，则z 的虚部是（）
A.-12i
B.-52i
C.-1
2
D.52
2.集合A =｛x y =log (1-2x )｝，B =｛y y =2x ，x <1｝，则A ∩B =（）A.{x |x <12｝B.{x |0<x <12｝C.{x |x ≤12
｝
D.{x |0<x ≤12｝
3.已知x ，y 满足约束条件x+y -1≥0
x-y+1≥02x -y-2≤0
⎧⎩
⏐
⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐.目标函数z =x+2y 的最小值是（
）
A.1
B.2
C.11
D.无最小值
4.C 0表示生物体内碳14的初始质量,经过t 年后碳14剩余质量C （t ）=C 0
（12
t >0，h 为碳14半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C 0，据此推算该生物是距今约多少年前的生物(参考数据:1g2≈0.301).正确选项是（）A.1.36h B.1.34h
C.1.32h
D.1.30h
5.执行如图所示程序框图，则输出的S 的值是（）
A.
45
B.56
C.6
7D.7
8
凉山州2023届高中毕业班第二次诊断性检测
数学（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；
非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.
数学（文科）试卷第1页（共4页）
t h
结束
开始S =0
n =1
S =S +1n （n +1）n =n +1
n >5
否
是输出S 2丨丨
6.不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（）
A.
1
5
B .
25
C .
35
D.4
57.已知f （x ）是定义域为｛x x ≠0｝的偶函数且f （x ）=ln x
x -1e
2（x >0），则函数f （x ）零点个数是
（）A.6
B.5
C.4
D.38.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A (3,2)，点P 为该抛物线上一动点，则△PAF 周长的最小值是（）
A.3+22
√ B.3
C.4+22
√ D.2+22√+23
√9.在△A BC 中,角A ，B ，C 对边分别为a ,b ,c .命题p :1-tan 2
A
21+tan 2
A
2
+b cos （A+C ）a =0,命题q :△ABC 为等腰三角形.则p 是q 的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.在四面体A -BCD 中，AB=CD=7√，A D=BC=29√，A C=BD=27√，则四面体A -BCD 外接球
表面积是（）A.64π
B.32π
C.256π
D.2563π
11.已知a =tan 20232022，b=e ，c =20232022
则a ,b ,c 大小关系是
（）
A.c <b<a
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
12.如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为2，点P 为正方形BCC 1B 1内(不含边界)一动点,∠BPC
角平分线交BC 于点Q ，点P 在运动过程中始终满足BQ QC =2.
①直线BC 1与点P 的轨迹无公共点;②存在点P 使得PB ⊥PC ;
③三棱锥P-BCD 体积最大值为89;
④点P 运动轨迹长为4π9
.上述说法中正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
第Ⅱ卷
（非选择题，共90分）二、填空题
（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线l 1∶mx-y +1=0，直线l 2∶4x-my +2=0，若l 1∥l 2，则m =____________.
14.已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1（a>0，b>0）的右焦点F （2,0）,点F 到该双曲线渐进线的距离为3√，则双曲线的离心率是____________.
数学
（文科）试卷第2页（共4页）
1
2023
丨
15.已知正实数a,b ，称v =a+b 2为a,b 的算术平均数，u =ab √为a,b 的几何平均数，H =23v +13
u 为
a,b 的希罗平均数.点G 为△A BC 的重心且3AG =AB +a+b 6
A C ，则正数a,b 的希罗平均数H 的
最大值是____________.16.已知函数f （x ）=4sin x cos x -2sin 2x +2cos 2x +1，则下列说法中正确的是____________
①f （x ）一条对称轴为x =π8
；
②将f （x ）图象向右平移π4
个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若f （x 2
）=5√+1，则tan x =4±15√；
④若f （x 1）=f （x 2）=2且x 1>x 2，则x 1-x 2的最小值为π.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题12分）下图截取自2022年1月27日《西昌发布》公众号公布的自2016年至2021年
西昌市地区生产总值条形统计图。

将2016年视作第1年，并四舍五入保留地区生产总值整数
部分得到图二所示表格.经计算可知年份x 与生产总值y 之间具有较好的线性相关关系.
（1）求年份x 与生产总值y 的线性回归方程y=bx+a （最终结果保留整数）；（2）由线性回归方程预测2023年西昌市地区生产总值大约是多少亿元？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
=
∑x y -nxy ∑x 2
-nx
2
18.（本小题12分）已知对于任意n ∈N*，函数f （x ）=x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，正项等比
数列｛b n ｝的公比q (0,1)，且b 1b 5+2b 3b 5+b 2b 8=25，又b 3与b 5的等比中项为2.（1）)求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式；
（2）若λ≥a n ·log 2b n +1对任意n ∈N*恒成立，
求λ取值范围.数学（文科）试卷
第3页（共4页）
∧
∧∈i i
∧年份x 123456
生产总值
y （亿元）
443467522565573630
19.（本小题12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点E ，F 分别
是BC ，A 1C 1中点，
平面ABB 1A 1∩平面A EF=l.（1）证明：l ∥EF ；（2）若AB=A C =22√，AA 1=2，平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1,
求直线l 与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值.
20.（本小题12分）在平面内动点P 与两定点A 1（-3√,0），A 2（3√,0
）连线斜率之积为-23.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）已知点F 1（-1,0），F 2（1,0
），过点P 作轨迹E 的切线其斜率记为k （k ≠0），当直线PF 1，PF 2斜率存在时分别记为k 1，k 2.探索1k ·（1k 1+1k 2
）是否为定值.若是，求出该定值；若不是，
请说明理由.
21.（本小题12分）已知函数f （x ）=a ln x -x 2-1x
（a ∈R ）.（1）当a =52
时，求函数f （x ）的单调区间；
（2）若函数f (x )有两个不同的极值点x 1，x 2（x 1<x 2
）,证明：2x 2-2x 1-a ln x 2+a ln x 1<0.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程[]（10分）
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为x=-2+2√2
t ，
y=-4+2√2
t
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐（t 为参数）,以原点为极点，x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ.（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点P （-2,-4），直线l 与曲线C 交于点A ，B.求证：PA ·PB =A B .
23.选修4-5：不等式选讲[]（10分）
已知函数f （x ）=|x+2|+|1-x |.（1）求不等式f （x ）≤4的解集；
（2）函数f （x ）最小值为k ，3a +2b +1c
=k （a >0，b >0，c >0），
求3a+2b+c 的最小值.数学（文科）试卷
第4页（共4页）
2
凉山州2023届高中毕业班第二次诊断考试文科数学参考答案及评分细则
1-5：CBACB ， 6-10：BACDB, 11-12：DC
13： -2 ； 14： 2 ； 15： 3 ； 16： ①③ 17解：1600
3.5,3
x y ==
……………………………………………………………………2分 2
6
1
()
6.25 2.250.250.25 2.25 6.251
7.5i x x -=+++++=∑…………………………4分
6
^
^
^1
2
6
1
61296,40435
()
i i
i x y x y
b a y b x x x -⋅=
==-≈-∑∑……………………………………………6分 37404x y ∧
=+………………………………………………………………………………8分
（2）当8x =时代入得700y =亿元，西昌市2023年地区生产总值约为700亿元…12分 18解：(1)由题意'
()2222n f x x a n =+∴=+……………………………………………2分
223335553542514b b b b b b b b =⎧++=⎧⇒⎨
⎨=+=⎩⎩
或3514b b =⎧⎨=⎩（舍）3553311
,()22n n n b q b b q b --====…6分 (2)2221325
log 2(1)(4)2682()1222
n n a b n n n n n +⋅=+-=-++=--+
≤当12n =或时取“=”12λ∴≥………………………………………………………………………………12分 19解：（1）取AB 中点G ，连接EG,A 1G ，
,E G 分别是BC,AB 中点
1
2
EG
AC EG AC ∴=
且 又
1A F
AC 且111
2
A F AC A F EG =∴
∴四边形EGA 1F 为平行四边形
1,EF
AG EF ∴⊄平面11ABB A ,1AG
⊂平面11ABB A EF
∴平面11ABB A ，EF ∴⊂平面,AEF 平面AEF
平面
11ABB A =l EF
l ∴…………………………………………………6分
（用面面平行性质定理得到EF
11ABB A 平行去证明也给满分）
（2）取11B C ∴中点H,取1HC 中点K ，连接1,,A H FK HE ∴ 三棱柱为直棱柱1AA ∴⊥平面ABC 111AA AC ∴⊥
平面11ACC A ⊥平面11ABB A ， 平面11
ACC A 平面111ABB A AA =
11AC ⊂平面11ACC A
11AC ∴⊥平面111111ABB A
AC A B ∴⊥……8分 222111111111111111111
164
,,B C A B AC B C A H B C A H C C B C C C C ∴=+=∴=⊥⊥=
1A H ∴⊥平面111BCC B FK A H FK ∴⊥平面11BCC B .由（1）可知
EF l FKE ∴∠为所求线面角记为α,11
12
FK A H =
=.在Rt EHK 中5EK =.在Rt EKF 中2230
6cos 6
EK EF EK FK EF α=+=∴=
=
所以直线l 与平面平面11BCC B 所成角的余弦值为30
6
…………………………………12分 （建系利用解析法求解正确也给满分） 20解：设点P 坐标为2
(,),(3)333
PA PB y y x y k k x x x ⋅=
⋅=-≠±+-， 化简整
理得221(3)32x y x +=≠±∴点P 轨迹方程为22
1(3)32
x y x +=≠±……………5分
(2)设切线方程为y kx m =+，点(,),(0)P a b b ≠
22222
(32)63602360
y kx m
k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩ 由222222
3612(32)(2)0320k m k m k m =-+-=⇒-+=①……………………8分
y kx m =+过点,P
a b （）得m b ka =-代入①得2222
3220k b kab a k -+-+=② 又点,P a b （）
在椭圆上2
2
223
b a ∴=-代入②整理得 2222912403203a
b k abk a bk a k b
++=⇒+=⇒=-………………………………10分 12,11b b
k k a a =
=
+-12
11131132()()322b a a b a k k k a b b a b +-∴⋅+=-⋅+=-⋅=-
………………………………………………………………………………………12分
21解2'225
1
12()10x x a f x x x x -+=--=-<22520x x ⇒-+>2x ⇒>或102
x << ()f x ∴的单调减区间为1
02)2
+∞（，),(，；
'1()022f x x >⇒<<()f x ∴的单调减区间为1
[,2]2
………………………………5分
（2）当0a ≤时,'()0()f x f x <∴单调递减，无极值点，不满足条件.
当02a <≤时,2'
22
22
11()101040a x ax f x x ax a x x x
-+=--=-=⇒-+=∆=-<，, '()0()f x f x <∴单调递减，无极值点，不满足条件.
当2a >时，2'
22
11
()10a x ax f x x x x
-+=--=-=即221040x ax a -+=∆=->，的两根为12,x x .由韦达定理得12121212
,01,1x x a
x x x x x x +=⎧<∴<<<⎨
⋅=⎩满足条件…………8分 要证212122ln ln 0x x a x a x --+<， 即证
211221ln ln 22
x x x x
a x x -+<=-，
即证
212112
2()
ln ln ,
x x x x x x -<-+2
1221
1
2(
1)ln 1x x x
x x x -<+………………………………………10分
令21(1,)x t x =
∈+∞则只需证22ln 1
t t t -<+ 2'
22
2214(1)()ln ,(1,).()0
1(1)(1)t t g t t t g t t t t t --=-∈+∞=-=>+++()(1,)()(1)0.............................................................12g t g t g ∴+∞>=在单增，得证分22解：(1)将直线l
的参数方程2242
x t
y t ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为20.
cos ,sin x y y ρθρθ--==
∴直线l 的极坐标方程为cos sin 20........................................3ρθρθ--=分 ∴由曲线C 的极坐标方程22sin 2cos ρθρθ=
化为直角坐标方程为22........................................................................5y x =分
(2)
将2242
x t
y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
代入22y x =
得2400t -+= 设点A B 、对应的参数为12t t 、
，则121240...................7t t t t +=⋅=分 ∵P l ∈
∴2
2
21212
121240,()440PA PB t t AB t t t t t t ⋅===-=+-⋅=
∴2
..............................................................................10PA PB AB ⋅=分
23、(1)解：21,(1)()3,(21)...........................221,(2)x x f x x x x +≥⎧⎪
=-<<⎨⎪--≤-⎩
分
由图可知：当()4f x =时，5
2
x =-
或32x =，
所以()4f x ≤的解集为53[,] (522)
-分
(2)由图可知min 321
()3 3.....................................6f x k a b c
==∴++=，分
由柯西不等式得
2321(32)()36.....9a b c a b c ++⋅++≥=分
3212a b c ∴++≥，
当且仅当2a b c ===时取等号， 32a b c ∴++的最小值为12.................................................................10分。