广东省汕头市重点中学2025届高中毕业班高三第二次调研测试数学试题

广东省汕头市重点中学2025届高中毕业班高三第二次调研测试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010
x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2
-∞-
B ．1(,]2
-∞-
C ．[4,)+∞
D ．(,4]-∞-
2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;
② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;
③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为
56
. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
3．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
4．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．关于函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：
①函数()f x 的一个周期为
2
π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②
B ．②
C ．②③
D ．③
6．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *
+=-=+∈ ，若对于任意的[]
*
2,2,a n N ∈-∈，不等式
21
211
n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][
),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞
D ．[]
2,2-
7．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12
B ．10
C 10
D ．2
8．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴
线的概率为（ ）
A ．
514
B ．
314
C ．
328
D ．
528
9．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得
2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）
A ．
118
B ．
54
C ．
14
D ．
18
10．若[]1,6a ∈，则函数2x a
y x
+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）
A ．
45 B ．35 C ．25 D ．15
11．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）
A ．2αβα<≤
B ．23αβα≤≤
C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在
D ．存在某一位置使得3a β>
12．设函数22sin ()1
x x f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=__________．
14．已知x ，y 满足约束条件0,1,22,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
则z x y =-的最大值为__________.
15．以()1,0a ，()2,0a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()10y ,，()20,y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点()12,a a 的轨迹方程为_________．
16．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin ρθ=-（02,0θπρ≤<>），M 为该曲线上的任意一点.
（1）当3
2
OM =
时，求M 点的极坐标； （2）将射线OM 绕原点O 逆时针旋转
2
π
与该曲线相交于点N ，求MN 的最大值. 18．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：
（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？ （2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.
（参考公式：()()()()()
2
2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）
19．（12分）已知函数23()x
f x x e =
（1）若0x <，求证：1
();9
f x <
（2）若0x >，恒有()(3)2ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围.
20．（12分）已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-． （1）求m 的值；
（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：
1119
234
a b c ++≥．
21．（12分）如图在四边形ABCD 中，3BA =，2BC =，E 为AC 中点，13
2
BE =
.
（1）求AC ； （2）若3
D π
=
，求ACD ∆面积的最大值.
22．（10分）已知等比数列{}n a ,其公比1q >,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是1． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若n n b na =,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使1
2140n n T n +-⋅+=成立的正整数n 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【题目详解】
作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，
当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意； 当0m >时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
<， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意； 当0m <时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
>， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，
使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率1
2AD k m -≤=，解得12
m ≤-. 综上可得实数m 的取值范围为1
(,]2
-∞-， 故选：B. 【题目点拨】
本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题 2、C 【解题分析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【题目详解】 如图；
连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；
直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：
三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=
23115
22131=2222
BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 155
1326F EBM
V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56
，④正确； 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题． 3、D 【解题分析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平
移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 4、B 【解题分析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值. 【题目详解】
根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，
执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，
当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，
5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.
故选：B ． 【题目点拨】
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 5、C 【解题分析】
①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性
判断.③根据平移变换，函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数
11
()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1
()2
3π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域.
【题目详解】 因为171711
4sin 4cos 4cos 4sin ()22122122122
12f x x x x x f x πππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误；
当3,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 23232
12f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上单调递增，故②正确； 函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知
()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1
()2
3g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题. 6、B 【解题分析】
先根据题意，对原式进行化简可得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，然后利用累加法求得11=3-11
n a n n +++，然后不等式
21
211
n a t at n +<+-+恒成立转化为2213t at +-≥恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案. 【题目详解】
由题，()()11111n n n n n n a a a na n a ++-=+⇒=++ 即
()1111
111
n n a a n n n n n n +-==-+++ 由累加法可得：
11121111121n n n
n n a a a a a a a a n n n n n ++-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭
即1111111123311121n a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+-++-+=-< ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
对于任意的[]
*
2,2,a n N ∈-∈，不等式
21
211
n a t at n +<+-+恒成立 即22213240t at t at +-≥⇒+-≥
令()[]()
2
2
2424,2,2f a t at at t a =+-=+-∈-
可得()20f ≥且()20f -≥
即22
12
202120t t t t t t t t ⎧≥≤-⎧+-≥⇒⎨⎨≥≤---≥⎩⎩
或或 可得2t ≥或2t ≤- 故选B 【题目点拨】
本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题. 7、B
【解题分析】
根据b 在a 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-，可得min
2b =；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为
模长和夹角运算，代入min b 即可求得min
3a b
-.
【题目详解】
b 在a 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-
0b > cos ,0a b
∴<><
又[)cos ,1,0a b <>∈- min
2b
∴=
2
2
2
2
2
2
3696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+
min
3910a b
∴-=⨯=
本题正确选项：B 【题目点拨】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值. 8、B 【解题分析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解. 【题目详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数2
828n C ==种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮）， 所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是63
2814
p ==. 故选：B 【题目点拨】
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9、D 【解题分析】
设BA a =，BC b =，作为一个基底，表示向量()
1122DE AC b a =
=-，()
33
24
DF DE b a ==-，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-53
44
a b =-+，然后再用数量积公式求解.
【题目详解】
设BA a =，BC b =，
所以()
1122DE AC b a =
=-，()3324DF DE b a ==-，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-5344
a b =-+， 所以531
448
AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=.
故选：D 【题目点拨】
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10、B
【解题分析】函数2x a y x +=在区间[)2,+∞内单调递增， 222
'10a x a
y x x
-∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[
)2,+∞恒成立， 4a ∴≤，
[][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴函数2x a
y x
+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413
615
-=-，故选B. 11、A 【解题分析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【题目详解】
由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'．
设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =
，BE =，
∴
可得AB AB '==，2B D BD '==．
sin ,sin OB OB AB DB αβ''
=
=''
， sin sin
βαα∴=>
，βα∴>； OB '∈
，∴1
sin [0,]2
α∈；
sin 22sin cos 2sin α
αα=
=， 2]，∴sin 23sin sin α
αβ=，
2αβ∴．
综上可得，2αβα<． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 12、B 【解题分析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【题目详解】
对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，
因为()()()()()2
22
2sin sin 11
x x x x
f x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；
对于选项D:因为2
22
2sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22
sin 01
f ππππ==+,故选项C 排除;
故选:B 【题目点拨】
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、120︒ 【解题分析】
∵2cos 2c B a b =+，∴222
222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-，
∴2221
cos 22
a b c C ab +-==-，∴120C =︒．
14、1 【解题分析】
先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数z x y =-的最大值． 【题目详解】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域， 由于z x y =-，则y x z =-，
要求z x y =-的最大值，则求y x z =-的截距z -的最小值， 显然当平行直线过点1,0A 时， z 取得最大值为：101z =-=.
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.
15、21
x
y x =
- 【解题分析】
根据圆的性质可知()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上，由此得到21112y a =-，同理可得2
2212y a =-，由对数运算法
则可知121y y =，从而化简得到1
2121
a a a =-，由此确定轨迹方程.
【题目详解】
()1212ln ln ln 0y y y y +==，121y y ∴=，
()1,0A 和()10,B y 的中点坐标为11,22y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上，
1
11211
12
y y a ∴⋅=---，即21112y a =-，同理可得：2
2212y a =-， ()()()2
121212121a a y y ∴--==，1
2121
a a a ∴=
-，
∴点()12,a a 的轨迹方程为21
x
y x =
-． 故答案为：21
x
y x =-． 【题目点拨】
本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出12,a a 满足的方程，由此得到结果. 16、1
4
-
【解题分析】
根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【题目详解】
解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x
x x y x ⎧+≤=⎨>⎩
， 若输出的实数y 的值为1-，
则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得1
4x =-，
当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14
-
.
【题目点拨】
本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）点M 的极坐标为37,26π
⎛⎫ ⎪⎝⎭或311,26
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
（21 【解题分析】 （1）令
3
1sin 2
θ=-，由此求得θ的值，进而求得点M 的极坐标. （2）设出,M N 两点的极坐标，利用勾股定理求得MN 的表达式，利用三角函数最值的求法，求得MN 的最大值. 【题目详解】
（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1sin 2
θ=- ∵02θπ≤< ∴76θπ
=
或116
πθ=， 所以点M 的极坐标为37,26π
⎛⎫
⎪⎝
⎭或311,26π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）由题意可设()1,M ρθ，2,
2N π
ρθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
. 由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫
=-+=-
⎪⎝⎭
.
==
M N
=
=
故54
π
θ=
时，MN 1. 【题目点拨】
本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.
18、（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望
为
125
. 【解题分析】
（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）首先确定X 的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望. 【题目详解】
（1）根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下：
根据公式可得()2
21004040101036 6.63550505050
k ⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且
()128231081120C C P X C ===，()218
231056210C C P X C ===，()3
83
1056
3120
C P X C ===， 其分布列为
1231201201205
EX =⨯
+⨯+⨯=. 【题目点拨】
独立性检验依据2K 的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目. 19、（1）见解析；（2）（﹣∞，0]
【解题分析】
（1）利用导数求x ＜0时，f （x ）的极大值为22439f e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即证1();9f x <（2）等价于k≤233211
x
x e x nx x
---，
x ＞0，令g （x ）＝233211
x x e x nx x
---，x ＞0，再求函数g(x)的最小值得解.
【题目详解】
（1）∵函数f （x ）＝x 2e 3x ，∴f′（x ）＝2xe 3x +3x 2e 3x ＝x （3x+2）e 3x ．
由f′（x ）＞0，得x ＜﹣23或x ＞0；由f′（x ）＜0，得2
03x -<<， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣23）内递增，在（﹣2
3
，0）内递减，在（0，+∞）内递增，
∴f （x ）的极大值为22439f e
⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭， ∴当x ＜0时，f （x ）≤2244139949f e ⎛⎫-
=<= ⎪⨯⎝⎭
（2）∵x 2e 3x
≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤233211
x x e x nx x
---，x ＞0，
令g （x ）＝233211x x e x nx x ---，x ＞0，则g′（x ）232
(13)211
x x x e nx x
++-=， 令h （x ）＝x 2（1+3x ）e 3x +2lnx ﹣1，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增， 且x→0+时，h （x ）→﹣∞，h （1）＝4e 3﹣1＞0， ∴存在x 0∈（0，1），使得h （x 0）＝0，
∴当x ∈（0，x 0）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（x 0，+∞）时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
∴g （x ）在（0，+∞）上的最小值是g （x 0）＝0
320000
32ln 1
x x e x x x ---，
∵h （x 0）＝()0
32
0013x x x e
++2lnx 0﹣1=0，所以0
320
00
12ln 13x x x e
x -=
+，
令0
20030=130x x x e
∴+=，2lnx ，
令
000
12ln =13013x x x -∴+=+，2lnx
所以0
320
00
12ln 13x x x e x -=
+=1，00=3x -2lnx ,
∴g （x 0）0320000000
32111331
0x x e x nx x x x x ----+-=
== ∴实数k 的取值范围是（﹣∞，0]． 【题目点拨】
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）4m =；（2）证明见详解. 【解题分析】
（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值； （2）利用柯西不等式证明. 【题目详解】
解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2
m
x <
， 22
m m x ∴-
<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以
22
m
=， 4m ∴=；
（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式2111
()(23)(111)923a b c a b c
+
+++≥++=， 1119234
a b c ∴++≥ 当且仅当43
a =
，23b =，4
9c =，等号成立．
【题目点拨】
本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题. 21、（1）1；（2
）4
【解题分析】
（1）AE x =，在BCE ∆和ABE ∆中分别运用余弦定理可表示出cos BCA ∠，运用算两次的思想即可求得x ，进而求出AC ；
（2）在ADC ∆中，根据余弦定理和基本不等式，可求得1CD AD ⋅≤，再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性，求出ABC ∆的面积的最大值． 【题目详解】
（1）由题设AE x =，则2AC x = 在BCE ∆和ABE ∆中由余弦定理得：
222222cos 22CE BC BE AC BC AB BCA CE BC AC BC
+-+-∠==⋅⋅，即22
13
4443448x x x x
+-+-=
解得1
2
x =，∴21AC x ==
（2）在ACD ∆中由余弦定理得2222cos AC CD AD CD AD D =+-⋅， 即221CD AD CD AD CD AD =+-⋅≥⋅，∴1CD AD ⋅≤
1sin 244
ACD S CD AD D AD ∆=
⋅=⋅≤
所以ACD ∆
1CD AD ==. 【题目点拨】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
22、 (Ⅰ) 2n
n a =.(Ⅱ) 3n =.
【解题分析】
(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(Ⅱ)2n
n n b na n ==⋅，
由数列的错位相减法求和可得n T ，解方程可得所求值． 【题目详解】
(Ⅰ)等比数列{}n a ,其公比1>q ,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是10
即有21112a q a q +=，3
241120a a a q a q =+=+
解得：12a q == 2n
n a ∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：2n
n n b na n ==⋅
则231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
相减可得：()231121222222212n n n n n
T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅- 化简可得：()1212n n T n +=+-⋅
12140n n T n +-⋅+=，即为11620n +-=
解得：3n =
【题目点拨】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．。