安徽省阜阳市颍东区第十四中学2020年高三数学理联考试题含解析

安徽省阜阳市颍东区第十四中学2020年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，集合，则
A． B． C． D．
参考答案：
B
2. 已知是定义域为R的奇函数，,
的导函数的图象如图所示，若两正数满
足，则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
D
因为是定义域为R的奇函数，,所以，又因为恒成立，所以函数在R上单调递增，所以若两正数满足
，则，把b看做横坐标，a看做纵坐标，画出线性约束条件的可
行域，
的几何意义为过点的直线的斜率，由可行域知，当为点（2,0）
时，
取最小值，其最小值为
；当为点（0,4）时，
取最大值，其最大值为。

所以的取值范围是。

3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则是
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
B
4. 在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为
，则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值
（大于）的点的轨迹可以是（）
参考答案：
A
略
5. 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点
．若，，则
A． B．C．
D．
参考答案：
B
略
6. 若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（）
A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，当k=5时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=10，S=1
满足条件，执行循环体，第1次循环，S=11，K=9，
满足条件，执行循环体，第2次循环，S=20，K=8，
满足条件，执行循环体，第3次循环，S=28，K=7，
满足条件，执行循环体，第4次循环，S=35，K=6，
满足条件，执行循环体，第5次循环，S=41，K=5，
此时S不满足输出结果，退出循环，
所以判断框中的条件为k＞5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．
7. 等差数列中，，则
A．10 B．20 C．40 D．2+log25
参考答案：
B
8. 设函数f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则
（）
参考答案：C
解答：
解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0可得x=．
∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．
故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．
根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，可得＞x2＞0．
故选C．
9. 若实数x，y满足，则的取值范围是（）
A． B． C．
D．[-2，0]
参考答案：
B
10. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 幂函数，当时为减函数，则实数的值是_____
参考答案：
2
略12. 已知实数x，y满足则的最大值为________．
参考答案：
4
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.
【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，
由题得z=x+y,
所以y=-x+z,直线的纵截距为z.
当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距最大，z最大.
联立得A(2,2),
所以.
故答案为：4
【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13.
若直线与圆相切，则实数
的取值范围是．参考答案：
答案：
14. 若函数f （x ）=cos2x+asinx 在区间[
，
]上的最小值大于零，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，1）∪（2，+∞）
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】将函数化简只有一个函数名，转化为二次函数问题，利用三角函数的有界限，求解即可．
【解答】解：函数f （x ）=cos2x+asinx 化简可得：f （x ）=1﹣2sin 2x+asinx ∵x∈[
，
]上，
∴sinx∈[，1]， 令sinx=t ，（
）
函数f （x ）转化为g （t ）=﹣2t 2+at+1，（）上的最小值大于零
其对称轴t=， 当
时，g （）最小为
由题意：，可得：a ＞﹣1， ∴a≥4． 当
时，g （1）最小为1﹣a
由题意：1﹣a ＞0，可得：1＞a ∴a＜1． 当
，其最小为
或1﹣a ．
即2＜a ＜4，与a ＞﹣1或1＞a ∴2＜a ＜4，
综上可得a 的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查了三角函数与二次函数的结合，利用二次函数的性质，讨论在其范围内的最值问题．属于难题．
15. 已知函数f （x ）=x 3+ax +b 的图象在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣y ﹣5=0，则a = ；b = ．
参考答案：
﹣1，﹣3．
求出原函数的导函数，由曲线在x=1处的切线的斜率求得a ，再由曲线和直线在x=1处的函数值相等求得b ．
解：由f （x ）=x 3+ax+b ，得f′（x ）=3x 2+a ， 由题意可知y′|x=1=3+a=2，即a=﹣1． 又当x=1时，y=﹣3， ∴13﹣1×1+b=﹣3，即b=﹣3． 故答案为﹣1，﹣3．
16. 已知集合M ?{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M 的个数是 ．
参考答案：
4
【考点】交集及其运算． 【专题】集合．
【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M 的个数即可． 【解答】解：∵M ?{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}， ∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，
故答案为：4．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
17. 若x ，y 满足约束条件
则
的最小值为 ．
参考答案：
画出x ，y 满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=的几何意义为动点P （x ，y ）到定点Q （﹣2，﹣1）的斜率，
当P 位于A （﹣1，1）时，此时QA 的斜率最大，
此时z max==2，
当P位于B（1，1）时，此时直线的斜率最小，
目标函数z=的最小值是．
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m
（I）当时，求f(x) >0的解集；
（II）若关于的不等式f(x) ≥2的解集是，求的取值范围．
参考答案：
解：（I）由题设知：，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数的定义域为；…………（5分）（II）不等式f(x)≥2即，
∵时，恒有，
不等式解集是，
∴，的取值范围是．…………（10分）
19. 22.（本小题12分）
已知数列，满足，其中.
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且.
（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.
参考答案：
解：（Ⅰ）当时，有
…………2分
.
………………3分
又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，………………5分
所以
，
所以数列为等差数
列. ………………7分
（ⅱ）设，（其中为常数且），所以
所以数列均为以7为公差的等差数
列. ………………8分
设，
（其中，为中的一个常数），
当时，对任意的有；…………9分
当时，
………10分
①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；
②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；……………11分综上：设集合，
当时，数列中必有某数重复出现无数次.
当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一
次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数
次. ………12分
略
20. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，都有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，设,求在区间上的最大值．
参考答案：
(Ⅰ)当时，
所以.
所以，切点为.
所以曲线在点处的切线方程为即
…………………4分
（Ⅱ）定义域为
设
令得
当变化时，，的变化如下表
所以. ………………9分
所以
（Ⅲ）因为，,令,则当时, ,,为减函数
所以的最大值为
当时, 时
+
所以的最大值为
当时, 时，恒成立，为增函数
所以的最大值为………………13分21. 已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a （Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，则 h（x）
=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，
解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，即 h（x）
=，
故 h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．
22. （10分）（2012?道里区校级三模）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．
（Ⅰ）求证：PA是⊙O的切线；
（Ⅱ）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（Ⅰ）由AB为直径，知，，由此能证明PA为圆的切线．（Ⅱ）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，由AE?EB=CE?ED，得m=k，由△AEC∽△DEB，
△CEB∽△AED，能求出AB=10，，由此能求出sin∠BCE．
解答：（Ⅰ）证明：∵AB为直径，
∴，，
∵，
∴PA⊥AB，
∵AB为直径，∴PA为圆的切线．…（4分）
（Ⅱ）解：CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，
∵AE?EB=CE?ED，∴m=k，
∵△AEC∽△DEB △CEB∽△AED，
∴AB=10，．
在直角三角形ADB中，，
∵∠BCE=∠BAD，∴．…（10分）
点评：本题考查与圆有关的比例线线段的应用，解题时要认真审题，注意相交弦定理和相似三角形性质的合理运用．。