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唐山一中2013年高考仿真试卷（一）
数 学第Ⅰ卷
选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以AC、BC的长为邻边作一个矩形，则该矩形的面积小于32cm2的概率为
A． B. C． D． 矩形，则该几何体的体积是 （ ）
A．24 B．12 C．8 D．4
已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列， 若，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5. 过点作直线与圆相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．6
6. 若，不等式的解集为，关于的不等式 的解集记为，已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B . C. D.
．已知定义在上的单调函数，对，都有，则方程的解所在的区间是
A．（0，） B．（） C．（1，2） D．（2，3）
8.某班50名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图
如图所示.其中成绩分组区间是：，
， ，，.则图中
的值为（ ）
A.0.18
B.0.018
C.0.36
D.0.009
9.定义域为的连续函数，对任意都有，且其导函数满足，则当时，有（ ）
A. B.
C. D.
已知，函数，向量与向量
垂直时，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
A. B.
C. D. 11．已知椭圆：的左右焦点为，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交与不同的两点，如图，若为线段的点，则椭圆的离心率为 （ ）
A B． C． D．
12．已知函数
的最小值- 2 -为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C大小为 ；
14. 若在不等式组所确定的平面区域内任取一点，则点的坐标满足的概率是 ；
15. 如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且，若DE是圆A中绕圆心A转动的一条直径，则的值是
；
16. 给出下列命题：
① 线性回归方程 必过；
② 函数的零点有2个；
③ 函数是偶函数，且在区间内单调递增；
④ 函数的最小正周期为.
其中真命题的序号是________ _____。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤已知 (其中)，函数f(x)＝·，若直线是函数图象的一条对称轴，
上的图象.
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人．在备选的题中，甲答对其中，乙能答对其中的题规定每次考试都从备选的题中随机抽出题进行测试，分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率(本小题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，，D为AA1中点，BD与AB1交于点0，C0(I )证明：BCAB1；
(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.
20．(本小题满分12分）
已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．
21、（是自然对数的底数），曲线在点（1，）处的切线与x轴平行。

（1）求k的值；
（2）求的单调区间；
（3）设其中为函数的导函数，
证明：对任意。

请考生在2224三题中任选一题答，
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和
⊙O的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点．
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长．
24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知和是任意非零实数.
（）的最小值。

（）恒成立，求实数的取值范围.
仿真试卷（一）答案
一、选择：BBBCA DCBCC CB二、填空： ①③
三、解答
：(1)f(x)＝a·＝2(cosωx，cosωx)·(cosωx，sinωx)＝2cos2ωx＋2cosωxsinωx＝1＋cos2ωx＋sin2ωx＝1＋2s in(2ωx＋).因为直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，所以sin(＋)＝±1.所以＋＝kπ＋(k∈Z).所以ω＝k＋.因为，所以.又，所以k＝0，ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝1＋2sin(x＋).
列表：
x＋－π－0ππx－π－π－πy0－11310描点作图，函数f(x)在[－π，π]上的图象如图所示.
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为，则的可能取值为．………1分
； ；
； ． ………5分
乙得分的分布列如下： ………6分
． …………7分
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.
则 ， …10分
． ……11分
故甲乙两人至少有一人入选的概率是矩形，
为中点，，，,
所以在直角三角形中,,
在直角三角形中,,
所以=,
又，
，
所以在直角三角形中，故，
即， ………………………………………………………………3分
又因为，,所以
所以，,, 故…………………………5分
（Ⅱ）
解法一：
如图，由（Ⅰ）可知，两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 在中，可求得,,，
在中，可求得 ，
故,,,
所以 ,,
可得，…………………………………8分
设平面的法向量为 ，则 ，
即，取，
则 ， …………………………………10分
又，
故，
所以，二面角的余弦值为…………………………………12分
解法二：连接交于,连接，
因为，所以，又，
所以，故
所以为二面角的平面角…………………………………8分
，，，,
，
在中， ，……………………10分
又 ，
故二面角的余弦值为 . …………………………12分
20．解：（I）设，则，
∵
∴
即，即，
所以动点的轨迹的方程． ……………………………5分
（II）设圆的圆心坐标为，则． ①
圆的半径为．
圆的方程为．
令，则，
整理得，． ②
由①、②解得，．
不妨设，， …………………………9分
∴，．
∴
， ③
当时，由③得，．
当且仅当时，等号成立．当时，由③得，．
故当时，的最大值为．………………12分
21、解：（1）由得
由于曲线在点（1，）处的切线与x轴平行，
所以，因此k=1. ………4分
（2）由（1）；
令
当 ………6分
又，所以当
因此，函数的单调增区间为（0,1）；单调减区间为（1，+）…………8分，所以；
由（2）知，，
求导得：；
所以，当
所以，当，…………10分，所以当，
即。

…………12分22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲
解析：∵AD⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN. ∵BM＝MN＝NC＝1，∴2BM2＝AB2，∴AB＝.………4分
∵AB2＋AC2＝BC2，∴2＋AC2＝9，AC＝.
∵CN·CM＝CD·CA，∴2＝CD·，∴CD＝.
∴⊙O的半径为(CA－CD)＝.………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）圆锥曲线的参数方程为（为参数），
所以普通方程为：----------------------------------------------2分
直线极坐标方程为：---5分
（2），
-------------------------------10分。