2020年高考数学(文科)复习课件 第九单元 第46讲 随机事件的概率
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B)= 1 ,P(A)= 1-P(B) .
课前双基巩固
2.互斥事件和对立事件
事件
定义
性质
P(A∪B)= P(A)+P(B) (事件 A,B 是互斥事件);
互 若 A∩B 为不可能事件(A∩B=∅),
斥 事 则称事件 A 与事件 B 互斥
P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
数为“两个奇数或一奇一偶”,故至少有一个是奇数与两个都是偶数是对立事件.易知其余 都不是对立事件. (2)若事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事件,由概率的加法公式得 P(A)+P(B)=1, 充分性成立.设掷一枚硬币 3 次,事件 A 为“至少出现 1 次正面”,事件 B 为“3 次都出现正面”, 则 P(A)=78,P(B)=18,满足 P(A)+P(B)=1,但事件 A 与 B 不是对立事件,必要性不成立.故选 A.
B.A 与 B 是对立事件
C.B 与 C 是互斥而非对立事件
D.B 与 C 是对立事件
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)由题意知所有可能的结果为:两个红球,一红一白,两个白球.易知 A 选项中的事件 不互斥;C,D 两个选项中的事件为对立事件;B 选项中的事件是互斥事件,但是还有可能都 是红球,故不是对立事件.故选 B. (2)当向上的一面出现点数 1 时,事件 A,B 同时发生了,所以事件 A 与 B 不是互斥事件,也不 是对立事件,排除 A,B;事件 B 与 C 不能同时发生且一定有一个发生,所以事件 B 与 C 是对 立事件,故选 D.
课堂考点探究
[总结反思] (1)频率与概率的区别:概率可看成频率在理论上的稳定值,它反映了随机事件 发生的可能性的大小,频率随试验次数的变化而变化,概率却是一个常数.
(2)理解概率的基本性质:①0≤P(A)≤1;②P(Ω)=1,P(⌀)=0.
课堂考点探究
变式 [2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)A [解析](1)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,根据取到的数的奇偶性可知共有三个基本事
件“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,③中,“至少有一个是奇数”,即取出的两个
射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 8 19 44 92 178 455
则这个射手射击一次击中靶心的概率约是
.
[答案] 0.90 [解析] 击中靶心的频率依次为 0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,易 知击中靶心的频率在 0.90 附近 摆动并趋于稳定,故击中靶心的 概率约是 0.90.
率的估计值.
课前双基巩固
(3)概率的几个基本性质:
①概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 .
②必然事件的概率:P(Ω)= 1
.
③不可能事件的概率:P(⌀)= 0 . ④概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)= P(A)+P(B) .
⑤对立事件的概率:若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件,P(A∪
面出现的概率是37;
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的
概率.
[答案] 0
[解析] ①中说法错误,不一定有 10 件次品;②中说法错误,37是这
7 次试验中结果出现正面的频率
而非概率;③中说法错误,频率不
等于概率,这是两个不同的概念.
课前双基巩固
4.[教材改编] 某射手在同一条件下进行射击,结果如下:
(2)设甲:事件 A 与事件 B 是对立事件;乙:P(A)+P(B)=1. 则甲是乙的( )
[思路点拨] (1)从 1,2,3,4,5 这五个数 中任取两个数,根据取到的数的奇偶 性可知共有三类基本事件“两个都是 奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,再 根据对立事件的概念判断即可;(2)根 据对立事件的概率和等于 1 以及反例 判断.
“1 张移动卡、1 张联通卡”“2 张全是联
通卡”两个事件,它是“2 张全是移动卡” 的对立事件,故其概率为170.
课前双基巩固
3.[教材改编] 给出下列说法,其中正确说法的个数
为
.
①有一大批产品,已知次品率为 10%,则从中任取
100 件,必有 10 件是次品;
②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此正
课堂考点探究
最高气温 [10,15) [15,20)
天数
2
16
[20,25) 36
[25,30) [30,35) [35,40)
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率.
(1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 P(A)的估计值; (2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”,求 P(B) 的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.
课堂考点探究
解:(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内出险次数小于 2 的频率为602+0050=0.55,故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知,一年内出险次数大 于 1 且小于 4 的频率为302+0030=0.3,故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得
课堂考点探究
考点一 事件关系的判断
例 1 (1)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,给出下列事
件:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一 个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两 个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶
数.上述事件中,为对立事件的是 ( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
课堂考点探究
解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶,当且仅当最高气温低于 25,由表格数据知,最高 气温低于 25 的频率为2+1960+36=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估 计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,若最高气温不低于 25,则 Y=6×450-4×450=900; 若最高气温位于区间[20,25),则 Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于 20,则 Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100. 所以,Y 的所有可能值为 900,300,-100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20,由表格数据知,最高气温不低于 20 的频率为 36+2950+7+4=0.8,因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.
课堂考点探究
[总结反思] 判断事件关系时的常用方法: (1)利用集合观点判断事件关系; (2)写出所有的试验结果,看所求事件中包含哪几个试验结果,从而判断所求事件的关系.
课堂考点探究
变式 (1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列是互斥而不对立的两个事
件的是 ( )
A.至少有一个红球,至少有一个白球 B.恰有一个红球,都是白球
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.
课堂考点探究
解:(1)由派出的医生不超过 2 人的概率为 0.56,得 0.1+0.16+x=0.56,∴x=0.3. (2)由派出的医生不超过 4 人的概率为 0.96,得 0.96+z=1,∴z=0.04.
课前双基巩固
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为
0.15,则只用非现金支付的概率为
.
[答案] 0.4
[解析] 设事件 A 为“只用现金支付”,事件 B 为 “只用非现金支付”,事件 C 为“既用现金支付也 用非现金支付”.由题知 P(A)=0.45,P(C)=0.15,P(A)+P(B)+P(C)=0.45+ P(B)+0.15=1,所以 P(B)=0.4.
事件. ( )
和事件.
(5)两互斥事件的概率和为 1.( )
(5)两对立事件的概率和为 1.
课前双基巩固
2.在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中 任取 2 张,若事件“2 张全是移动卡”发生的概率是130, 那么事件“至多有 1 张移动卡”发生的概率
是[解析] 事件“至多有 1 张移动卡”包含
件
(事件 A1,A2,…,An 任意两个互斥)
对 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为
立 事
必然事件,则称事件 A 与事件 B P(B)= 1-P(A)
件 互为对立事件
课前双基巩固
对点演练
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) [答案] (1)× (2) √ (3)× (4) √ (5)×
为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a 1.5a 1.75a
2a
课堂考点探究
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10
课堂考点探究
考点三 互斥事件与对立事件的概率
例 3 某医院派出医生参加下乡医疗队,派出医生人数及其概率如下:
医生人数 0 1 2 概率 0.1 0.16 x
3 4 5 人及以上
y 0.2
z
(1)若派出的医生不超过 2 人的概率为 0.56,求 x 的值; (2)若派出的医生不超过 4 人的概率为 0.96,不少于 3 人的概率为 0.44,求 y,z 的值.
(1)事件发生的频率与概率是相同的. ( )
(2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( ) [解析] (1)事件发生的频率与概率是相近的.
(3)两个事件的和事件是指两个事件都发生. ( ) (3)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事
(4)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立 件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的
第46讲 UNIT 09
随机事件的概率
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
课前双基巩固 知识聚焦
1.概率
(1)在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆
动,并趋于稳定,即随机事件 A 发生的频率具有 稳定性 ,我们把这个常数叫作随机事件 A 的 概率 ,记作 P(A) . (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而 概率 是一个确定的值, 因此,人们用 概率 来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用 频率 作为随机事件概
课堂考点探究
考点二 随机事件的频率与概率
例 2 [2017·全国卷Ⅲ] 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每
瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根 据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25, 需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气 温数据,得下面的频数分布表:
C.至少有一个红球,都是白球
D.至多有一个红球,都是红球
(2)[2018·乐山四校模拟] 向上抛掷一颗骰子 1 次,设事件 A 表示“向上的一面出现奇数点”,
事件 B 表示“向上的一面出现的点数不超过 3”,事件 C 表示“向上的一面出现的点数不小于
4”,则 ( )
A.A 与 B 是互斥而非对立事件
课前双基巩固
2.互斥事件和对立事件
事件
定义
性质
P(A∪B)= P(A)+P(B) (事件 A,B 是互斥事件);
互 若 A∩B 为不可能事件(A∩B=∅),
斥 事 则称事件 A 与事件 B 互斥
P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
数为“两个奇数或一奇一偶”,故至少有一个是奇数与两个都是偶数是对立事件.易知其余 都不是对立事件. (2)若事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事件,由概率的加法公式得 P(A)+P(B)=1, 充分性成立.设掷一枚硬币 3 次,事件 A 为“至少出现 1 次正面”,事件 B 为“3 次都出现正面”, 则 P(A)=78,P(B)=18,满足 P(A)+P(B)=1,但事件 A 与 B 不是对立事件,必要性不成立.故选 A.
B.A 与 B 是对立事件
C.B 与 C 是互斥而非对立事件
D.B 与 C 是对立事件
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)由题意知所有可能的结果为:两个红球,一红一白,两个白球.易知 A 选项中的事件 不互斥;C,D 两个选项中的事件为对立事件;B 选项中的事件是互斥事件,但是还有可能都 是红球,故不是对立事件.故选 B. (2)当向上的一面出现点数 1 时,事件 A,B 同时发生了,所以事件 A 与 B 不是互斥事件,也不 是对立事件,排除 A,B;事件 B 与 C 不能同时发生且一定有一个发生,所以事件 B 与 C 是对 立事件,故选 D.
课堂考点探究
[总结反思] (1)频率与概率的区别:概率可看成频率在理论上的稳定值,它反映了随机事件 发生的可能性的大小,频率随试验次数的变化而变化,概率却是一个常数.
(2)理解概率的基本性质:①0≤P(A)≤1;②P(Ω)=1,P(⌀)=0.
课堂考点探究
变式 [2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)A [解析](1)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,根据取到的数的奇偶性可知共有三个基本事
件“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,③中,“至少有一个是奇数”,即取出的两个
射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 8 19 44 92 178 455
则这个射手射击一次击中靶心的概率约是
.
[答案] 0.90 [解析] 击中靶心的频率依次为 0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,易 知击中靶心的频率在 0.90 附近 摆动并趋于稳定,故击中靶心的 概率约是 0.90.
率的估计值.
课前双基巩固
(3)概率的几个基本性质:
①概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 .
②必然事件的概率:P(Ω)= 1
.
③不可能事件的概率:P(⌀)= 0 . ④概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)= P(A)+P(B) .
⑤对立事件的概率:若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件,P(A∪
面出现的概率是37;
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的
概率.
[答案] 0
[解析] ①中说法错误,不一定有 10 件次品;②中说法错误,37是这
7 次试验中结果出现正面的频率
而非概率;③中说法错误,频率不
等于概率,这是两个不同的概念.
课前双基巩固
4.[教材改编] 某射手在同一条件下进行射击,结果如下:
(2)设甲:事件 A 与事件 B 是对立事件;乙:P(A)+P(B)=1. 则甲是乙的( )
[思路点拨] (1)从 1,2,3,4,5 这五个数 中任取两个数,根据取到的数的奇偶 性可知共有三类基本事件“两个都是 奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,再 根据对立事件的概念判断即可;(2)根 据对立事件的概率和等于 1 以及反例 判断.
“1 张移动卡、1 张联通卡”“2 张全是联
通卡”两个事件,它是“2 张全是移动卡” 的对立事件,故其概率为170.
课前双基巩固
3.[教材改编] 给出下列说法,其中正确说法的个数
为
.
①有一大批产品,已知次品率为 10%,则从中任取
100 件,必有 10 件是次品;
②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此正
课堂考点探究
最高气温 [10,15) [15,20)
天数
2
16
[20,25) 36
[25,30) [30,35) [35,40)
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率.
(1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 P(A)的估计值; (2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”,求 P(B) 的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.
课堂考点探究
解:(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内出险次数小于 2 的频率为602+0050=0.55,故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知,一年内出险次数大 于 1 且小于 4 的频率为302+0030=0.3,故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得
课堂考点探究
考点一 事件关系的判断
例 1 (1)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,给出下列事
件:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一 个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两 个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶
数.上述事件中,为对立事件的是 ( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
课堂考点探究
解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶,当且仅当最高气温低于 25,由表格数据知,最高 气温低于 25 的频率为2+1960+36=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估 计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,若最高气温不低于 25,则 Y=6×450-4×450=900; 若最高气温位于区间[20,25),则 Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于 20,则 Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100. 所以,Y 的所有可能值为 900,300,-100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20,由表格数据知,最高气温不低于 20 的频率为 36+2950+7+4=0.8,因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.
课堂考点探究
[总结反思] 判断事件关系时的常用方法: (1)利用集合观点判断事件关系; (2)写出所有的试验结果,看所求事件中包含哪几个试验结果,从而判断所求事件的关系.
课堂考点探究
变式 (1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列是互斥而不对立的两个事
件的是 ( )
A.至少有一个红球,至少有一个白球 B.恰有一个红球,都是白球
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.
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解:(1)由派出的医生不超过 2 人的概率为 0.56,得 0.1+0.16+x=0.56,∴x=0.3. (2)由派出的医生不超过 4 人的概率为 0.96,得 0.96+z=1,∴z=0.04.
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5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为
0.15,则只用非现金支付的概率为
.
[答案] 0.4
[解析] 设事件 A 为“只用现金支付”,事件 B 为 “只用非现金支付”,事件 C 为“既用现金支付也 用非现金支付”.由题知 P(A)=0.45,P(C)=0.15,P(A)+P(B)+P(C)=0.45+ P(B)+0.15=1,所以 P(B)=0.4.
事件. ( )
和事件.
(5)两互斥事件的概率和为 1.( )
(5)两对立事件的概率和为 1.
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2.在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中 任取 2 张,若事件“2 张全是移动卡”发生的概率是130, 那么事件“至多有 1 张移动卡”发生的概率
是[解析] 事件“至多有 1 张移动卡”包含
件
(事件 A1,A2,…,An 任意两个互斥)
对 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为
立 事
必然事件,则称事件 A 与事件 B P(B)= 1-P(A)
件 互为对立事件
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对点演练
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) [答案] (1)× (2) √ (3)× (4) √ (5)×
为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a 1.5a 1.75a
2a
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随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10
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考点三 互斥事件与对立事件的概率
例 3 某医院派出医生参加下乡医疗队,派出医生人数及其概率如下:
医生人数 0 1 2 概率 0.1 0.16 x
3 4 5 人及以上
y 0.2
z
(1)若派出的医生不超过 2 人的概率为 0.56,求 x 的值; (2)若派出的医生不超过 4 人的概率为 0.96,不少于 3 人的概率为 0.44,求 y,z 的值.
(1)事件发生的频率与概率是相同的. ( )
(2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( ) [解析] (1)事件发生的频率与概率是相近的.
(3)两个事件的和事件是指两个事件都发生. ( ) (3)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事
(4)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立 件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的
第46讲 UNIT 09
随机事件的概率
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
课前双基巩固 知识聚焦
1.概率
(1)在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆
动,并趋于稳定,即随机事件 A 发生的频率具有 稳定性 ,我们把这个常数叫作随机事件 A 的 概率 ,记作 P(A) . (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而 概率 是一个确定的值, 因此,人们用 概率 来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用 频率 作为随机事件概
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考点二 随机事件的频率与概率
例 2 [2017·全国卷Ⅲ] 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每
瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根 据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25, 需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气 温数据,得下面的频数分布表:
C.至少有一个红球,都是白球
D.至多有一个红球,都是红球
(2)[2018·乐山四校模拟] 向上抛掷一颗骰子 1 次,设事件 A 表示“向上的一面出现奇数点”,
事件 B 表示“向上的一面出现的点数不超过 3”,事件 C 表示“向上的一面出现的点数不小于
4”,则 ( )
A.A 与 B 是互斥而非对立事件