辽宁省鞍山市立山区第五十一中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题(解析版)

鞍山市第五十一中学教学反馈八年级数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 下列各式中，是二次根式有（ ）
．
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的概念进行分析判断．
是二次根式，
是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故选：B．
，a≥0的式子叫做二次根式）是解题
关键．
2. 若，则等于（
）
A. 1
B. 5
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
【详解】解：，
，，
3
y=-()2002
x y
+
5-1-
2
x==3
y-
3
y=-
20
x
∴-≥420
-≥
x
，，
，
，
，
故选：A ．
3. 用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n －mn －3n ，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2）
）
A. B.
C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义列出式子，进而进行实数的混合运算即可．
【详解】解：∵
m ※n ＝m 2n －
mn －3n ，
∴（－
2）
故选A
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的加减运算，理解新定义并列出式子是解题的关键．4. 已知a
﹣b ＝
1，ab
a ＋1
）（b ﹣1）的值为（ ）
A.
2 D.
1
【答案】A
【解析】
【分析】把（a ＋1）（
b−1）写成含ab 和a−b 的式子，再整体代入计算．
【详解】∵a ﹣b ＝
1，ab
∴（a ＋1）（b ﹣1）＝ab ﹣a ＋b ﹣1
＝ab ﹣（a ﹣b ）﹣1
1）﹣1
．2x ∴≥2x ≤2x ∴=∴00333y =+-==-+∴200220021()(23)x y +=-=-()()222=----=+-=
故选：A ．
【点睛】本题考查代数式求值，注意把ab 和a−b 看作一个整体，整体代入求值．要求熟练掌握整体代入的数学思想．
5. 水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天点到点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列判断：点到点，打开两个进水口，关闭出水口；点到点，同时关闭两个进水口和一个出水口；点到点，关闭两个进水点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐一分析即可，解题的关键关键是结合函数的图象得出函数表示的意义．
【详解】由图中可以看出，
一个进水管的速度为；一个出水管的速度为，从点到点，蓄水量由增加到，如果打开个进水管关闭出水口的话，就要增加，
∴错误；
∵点到点，蓄水量没有变，所以同时关闭个进水口和个出水口，
∴正确；
∵点到点，蓄水量由变为，关闭个进水口，打开出水口的话就应该减少，
∴错误；
∵点到点，蓄水量没有变，根据一个进水管的速度为；一个出水管的速度为，故同时打开个进水
的21060①11②33③46①③
①④②③②④
12015622①1321②346522③56122
口和个出水口是正确的，
∴正确，
综上可知：正确，
故选：．
6. 下列各组条件中，能判断为直角三角形的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C.
D. ，，【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】解：A. ∵，，，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
B.∵，，，
∴，故该选项正确，符合题意；
C.∵，
∴，不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
D.∵，，，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 有两组对角相等的四边形是平行四边形
D. 平行四边形的对角线平分每一组对角
【答案】C
1④②④D ABC 4a =5b =6
c =1a =1b
=c =90C B ∠-∠=︒
5a =12b =23c =4a =5b =6c =222222162541,36,a b c a b c +=+==+≠1a =1b
=c =222222112,2,=a b c a b c +=+==+90C B ∠-∠=︒90C ∠>︒5a =12b =23c =22222225144169,529,a b c a b c +=+==+≠
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键．由平行四边形的判定与性质分别对各个说法进行判断即可．
【详解】解：A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，A 错误，不符合题意；
B ．一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，B 错误，不符合题意；
C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，C 正确，符合题意；
D ．平行四边形的对角线互相平分但不一定平分每一组对角，D 错误，不符合题意；
故选：C ．
8. 如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为cm 2，则四边形的面积为（ ）cm 2．
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】【分析】连接AC ，BD ，根据平行四边形的性质得，，，
，，即可得，，
利用可证明，利用可证明，利用可证明
，即可得求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
∴，
，
EF ABCD ABCD 30EDCF 15
202530
OA OC =OB OD =AD BC ∥AOB COD ∠=∠DOE BOF ∠=∠EAO FCO ∠=∠EDO FBO ∠=∠ASA AOE COE ≌△△SAS △≌△A O B C O D ASA △≌△DOE BOF AC BD ，ABCD OA OC =OB OD =AD BC ∥AOB COD ∠=∠DOE BOF ∠=∠EAO FCO ∠=∠EDO FBO ∠=∠
在与△中，
，∴（），
在和中，
∴（）
，在和中，
∴（），
∴（cm 2），故选：A ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识．9. 如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】先证明是等腰直角三角形，得到
由中位线的性质解答即可．
AOE △COE EAO FCO OA OC
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
AOE COE ≌△△ASA AOB COD △OA OC AOB COD
OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△≌△A O B C O D SAS DOE BOF DOE BOF DO BO
EDO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
△≌△DOE BOF ASA 1===152
EDCF AEFB ABCD S S S 四边形四边形平行四边形ABC 45B ∠=︒60C ∠=︒AD BC ⊥D BD =E F AB BC EF ABD △AD BD =AC =
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，，
，分别为，
的中点，
，故选：A ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理，中位线的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
10. 如图，在
中，分别平分、，若，则的周长为（ ）
A. 30
B. 35
C. 36
D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，再根据平行线性质和角平分线性质得出，，最后根据等腰三角形的判定与性质得到，，进而计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
45B ∠=︒ AD BC ⊥ABD ∴ AD BD ∴=60C ∠=︒ 30DAC ∴∠=︒12
DC AC ∴=AD AC ∴===
AC =
AC ∴= E F AB BC 1122
EF AC ∴==⨯=30ABCD Y AE DF 、DAB ∠ADC ∠210AD EF ==ABCD Y AD BC ∥BAE AEB ∠=∠DFC FDC ∠=∠BE AB =FC CD =ABCD AD BC =AB CD =AD BC ∥
∴，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故选：B ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练运用相关知识点是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
11.
位于第_____象限．【答案】三
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零求出m ，n 的正负，然后可得答案．
有意义，∴，，
∴
，，
∴点位于第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，平面直角坐标系，熟练掌握二次根式有意义的条件，求出m ，n 的正负是解题的关键．
12.
和
______．【答案】
【解析】
【分析】由最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，先求出a 、b 的值，然后进行计算，即可得EAD AEB ∠=∠ADF DFC ∠=∠AE DF DAB ∠ADC ∠BAE DAE ∠=∠FDA FDC ∠=∠BAE AEB ∠=∠DFC FDC ∠=∠BE AB =FC CD =210AD EF ==5EF =10BC =15AB CD BE FC BC EF +=+=+=ABCD Y 15101035AB CD AD BC +++=++=()P m n ，0m -≥0mn >0m <0n <()P m n ，b a -=19
到答案．
和
和
∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，解题的关键是熟记所学的定义，正确求出a 、
b 的值．
13 已知：2<x <4+|
x -5|=_______．【答案】4
【解析】
【分析】利用二次根式的意义、绝对值的意义化简．
【详解】解：∵2＜x ＜4
∴x -1＞0
∴x -5＜0
．
【点睛】本题考查二次根式与绝对值的化简，需要熟练掌握．
14. 甲、乙两车从A 城出发沿相同的路线匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y (千米)与甲车行驶的时间t (小时)之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A 、B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t ＝或.其中正确的是________(填序号)．.
124135a a b -=⎧⎨-=+⎩
32a b =⎧⎨=⎩
2139
b a --==19
1,|5|5x x x
=--=-|5|(1)(5)4x x x -=-+-=54154
【答案】①②
【解析】
【详解】由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
的
把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙可得：60t=100t-100，解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲-y乙|=50，可得|60t-100t+100|=50，即|100-40t|=50，
当100-40t=50时，可解得t=，
当100-40t=-50时，可解得t=，
又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，
当t=时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当t的值为或或或t=时，两车相距50千米，
∴④不正确；
故答案是：③，④．
15. 在平行四边形中，对角线，相交于O ，若，，则AB 的长的取值范围是____．
【答案】【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：如图，
由题意，，，在中，∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．16. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =∠BCD =90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则S 2=________．
【答案】86
【解析】
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【详解】解：由题意可知：，，，，连接
，如下图：
ABCD AC BD 10AC =6BD =28
AB <<152OA OC AC ===132
OB OD BD ===AOB 5353AB -<<=28AB <<28AB <<14135S S +=349S =2
1S AB =22S BC =23S CD =24S AD =BD
在直角和中，
，
即，
因此，
故答案为：86．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解题的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．17. 在中，，点N 是边上一点，点M 为边上的动点，点D 、E 分别为的中点，则的最小值是 ___________．
【答案】
##2.4##【解析】【分析】连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．
【详解】解：连接，
∵点D 、E 分别为的中点，
∴，当时，的值最小，此时的值也最小，
ABD ∆BCD ∆22222BD AD AB CD BC =+=+1432S S S S +=+21354986=-=S Rt ABC △90,6,8C AC BC ∠=︒==BC AB ,CN MN DE 125225
CM C M A B ⊥CM DE AB CM CM ,CN MN 12DE CM =
C M A B ⊥CM DE
由勾股定理得：，∵，∴
，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
18. 如图，在四边形中，且，，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以的速度由A 向D 运动，点Q 以的速度由C 向B 运动．则 ___________秒后直线将四边形截出一个平行四边形．
【答案】2或3
【解析】
【分析】分别利用①当时以及②当时，列方程得出答案．
【详解】解：设点P ，Q 运动的时间为．依题意得：，
．
∵，
①当时，四边形是平行四边形．
即，
解得．
②当时，
四边形是平行四边形，即，
解得：．
所以经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形．
故答案为：2或3．
10AB =
=1122
ABC S AB CM AC BC =⨯⨯=⨯⨯ 24.5
CM =11225
==DE CM 125
ABCD AD BC ∥9cm AD =6cm BC =1cm /s 2cm /s PQ ABCD BQ AP =CQ PD =s t 262CQ t BQ t AP t ==-=，，9PD t =-AD BC ∥BQ AP =APQB 62t t -=2t =CQ PD =CQPD 29t t =-3t =PQ ABCD
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
三．解答题（共8题，共64分）
19. 已知
1）的值；（2）的值．
【答案】（1）9；（2）10
【解析】
【分析】（1）根据题意，可先求出和 的值，再利用完全平方公式即可求解；
（2）根据题意，可先求出和 的值，再由，代入即可求解．【详解】解：（1） ，， ；
（2） ，，∴．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、平方差公式以及完全平方公式，解题的关键是：（1）利
用完全平方公式展开求值；（2）最后代入求值．
20. 计算：
（
1
（2）【答案】（
1
（2）【解析】
【分析】题考查二次根式的混合运算，其中涉及二次根式的化简、分母有理化、合并同类二次根式、零指数幂等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）分别将各项二次根式化为最简二次根式、零指数幂化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先将各项二次根式化为最简二次根式，再结合二次根式乘法法则计算，最后合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
x y ==22x xy y -+33x y xy +x y +xy x y +xy ()
3322x y xy xy x y +=+x =
+Q y =x y ∴+=1
xy =()222222331239x y xy xy xy x x y y xy -+=++-=+-=-=x =+Q y =x y ∴+=1xy
=()()()233222112210x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤+=+=+-=⨯-=⎣⎦
)0
1+-+118
--
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
21. 如图所示的折线ABC 表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系的图象．
（1）写出y 与t 之间的函数关系式；
（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？
【答案】（1）当0<t≤3时，y=2.4；当t>3时，y=t-0.6；（2）2.4元；6.4元
【解析】
【分析】（1）由图，当时，y 为恒值；当t ＞3时，图象过点（3，2.4）、（5，4.4），可根据待定系数法求函数关系式；
（2）因为0＜2＜3，所以根据AB 段对应的函数即可得到结果；因为7＞3，所以根据BC 段对应的函数关系式即可得结果．
【详解】解：（1）当时，y=2.4；
当t ＞3时，设函数关系式为y=kt+b ，
∵图象过点（3，2.4）、（5，4.4），
∴，解得，y 与t 之间的函数关系式为y=t-0.6
；
1=
+1
=-
+1=
+
=-
624
=+
18=--03t <≤03t <≤3 2.45 4.4k b k b +=⎧⎨+=⎩10.6k b =⎧⎨=-⎩
（2）当t=2时，y=2.4元，
当t=7时，y=7-0.6=6.4元.
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，此类题目的解决需仔细分析函数图象，从中找寻信息，利用待定系数法求出函数解析式，从而解决问题．
22. 如图：，和均为直线同侧的等边三角形，点P 在内．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若中，，
，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析
（2
【解析】
【分析】（1）证明，即可；
（2）过作垂直延长线于，依据，，即可得出四边形是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得，求出，再由的直角三角形性质求出的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：，是等边三角形，，，，
，
，
，
，
，
同理，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：如图所示，过作垂直的延长线于，
的ABD △APE V BPC △AB ABD △PEDC APB △3AB =PA =2PB =PEDC DE PC =PE CD =C CH EP H ED CP =EP DC =PCDE 90APB ∠=︒150EPC ∠=︒30︒CH APE ABD △AE AP ∴=AD AB =60EAP DAB ∠=∠=︒EAD PAB ∴∠=∠()SAS EAD PAB ∴≌ DE BP ∴=PC PB = DE PC ∴=PE CD =∴PEDC C CH EP H
，，，
，
又，
，
，而，又．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决问题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会作辅助线构造平行四边形的高线解决问题．
23. 如图，已知在平行四边形中，，垂足为点E ，，点F 为的中点，点G 是上的一点，连接．
（1）若，求的长；
（2）若，那么：①判断线段和的数量关系，并说明理由；②求证：．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出，再由平行四边形的性质得出
，然后由勾股定理求
3AB =
PA =2PB =222PA PB AB ∴+=90APB ∴∠=︒
60APE BPC ∠=∠=︒ 150EPC ∴∠=︒30CPH ∴∠=︒90PHC ∠=︒
11122
CH CP PB ∴==
=PE PA =
=1PEDC S CH EP ∴=⨯==平行四边形ABCD AE BC ⊥CE CD =CE CD DF EG AG 、、46CF AE ==，BE 12
CEG AGE ∠=∠AG EG 12∠=
∠AG EG =28CD CE CF ===8AB CD ==
解即可；
（2）①延长交的延长线于H ，易证，再证，即可得出答案；
②由①得，再由AAS 证得，得，则，然后由SAS 证即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵，点F 为的中点，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：．【小问2详解】
解①：，理由如下：
如图：延长交延长线于H ，
∵，，∴，
∵，
∴，
∴；
②证明：由①得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，的BC AG CEG CHG ∠=∠AEG EAG ∠=∠AG EG HG ==ADG HCG ≅ DG CG =CF CG =CDF CGE ≅ CE CD =CE 2CF =28CD CE CF ===ABCD 8AB CD ==AE BC ⊥90AEB ∠=︒Rt ABE
△BE =
==AG EG =BC AG 12
CEG AGE ∠=∠AGE CEG CHG ∠=∠+∠CEG CHG ∠=∠9090AEG CEG EAG CHG ∠+∠=︒∠+∠=︒，AEG EAG ∠=∠AG EG =CEG CHG AG EG ∠=∠=，AG EG HG ==ABCD AD BH ∥DAG CHG ADG HCG ∠=∠∠=∠，ADG △HCG △ADG HCG DAG CHG AG HG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AAS ADG HCG ≅（）
∴，
∴，∵点F 为的中点，
∴，∴，
在△CDF 和△CGE 中，
，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 如图①所示，正方形ABCD 的边长为6 cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A →B →C →D 运动，设运动的时间为t (s)，三角形APD 的面积为S (cm 2)，S 与t 的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
(1)点P 在AB 上运动的时间为________s ，在CD 上运动的速度为________cm/s ，三角形APD 的面积S 的最大值为________cm 2；
(2)求出点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式；
(3)当t 为何值时，三角形APD 的面积为10 cm 2
DG CG =1122
CG CD CE ==CE 12
CF CE =CF CG =CF CG DCF ECG CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
SAS CDF CGE ≅（）
12∠=∠
【答案】（1）6；2；18（2）S＝90－6t(12≤t≤15)（3）当t为s、s时，△APD的面积为10cm2
【解析】
【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s；
（2）用t表示PD=6-2
（t-12）
=30-2t，代入面积公式可求S=90-6t；
（3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S
=10，分别在S=3
t和S=90-6t，上代入即可求得t=，t=．
【详解】（1）点P
在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在
CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，
当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是×6×6=18（cm2）；
（2）PD=6−2(t−12)=30−2t，
S=AD⋅
PD=×6×(30−2t)=90−6t，(12≤
t≤15)；
（3
）当0⩽t⩽6时，S=3t，
△APD的面积为10cm2，即S=10时，
∴3t=10，
∴t=，
当12⩽t⩽15时，90−6t=10，t=，
所以当t为s、s时，△APD的面积为10cm2．
【点睛】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．现根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能力．
25. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a
＝ ，b＝ ；
10
3
40
3
10
3 40
3
1
2
1
2
1
2
10
3
40
3
10
3
40
3
2
31
+=+
（
(2
a m
+=+22
22
a m n
+=++
22
22
a m n
b mn
=+=
，a+
(2
a m
+=+
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：＋ ＝(　
　＋　
)2；
（
3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1），；（2）13，4
，2，1（答案不唯一）；（
3）7或13．
【解析】
【分析】根据题意进行探索即可.
【详解】（1）∵，
∴
，
∴a＝m
2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．
故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.
26. 如图，在中，，于点D，点E在边上，且，分别交于点E、F．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图1，若，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，若，求证：．
【答案】（1）7 （2），理由见解析
（3）见解析
(2
a m
+=＋
22
3
m n
+2mn
2
(
a m
+=+
22
32
a m n
+=++
ABC
AB AC
=AD BC
⊥AC45
CBE
∠=︒BE ,
AC AD
13
AB=10
BC=AF
2
EC AE
=AF DF
AF BC
=222
BF EF AE
+=
AF DF
=
【解析】
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；
（2）取的中点G ，连接，利用等腰三角形三线合一，得到点为中点，由三角形中位线定理得到，进而得到，，易证，即可得出结论；（3）在上取点，使得，连接、，证明，由全等三角形的性质得出，，证出，由勾股定理可得出结论．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
；
【小问2详解】
，理由如下：
证明：取的中点G ，连接，
，，
，
点为中点，
点G 是
的中点，
5BD =AD 5DF =BE DG D BC 12
DG EC =DG AE =DG AE ∥AAS AEF DGF ≌（） BF H BH EF =CF CH SAS AEF CHB ≌（）
AE CH =AEF BHC ∠=∠EF FH =AB AC = AD BC ⊥BD CD ∴=10BC = 5BD ∴=Rt △ABD 13AB
=12AD ∴===Rt BDF △45CBE ∠=︒BDF ∴ 5DF BD ∴==1257AF AD DF ∴=-=-=AF DF =BE DG AB AC = AD BC ⊥BD CD ∴=∴D BC BE
是的中位线，
，，
，，
，
在和中，
，，；
【小问3详解】
证明：在上取点，使得，连接、，
，，
，
，，
在和中，
，
，，，
，
，
；
∵，，
，
DG ∴BCE ∴12
DG EC = 2EC AE =∴DG AE =DG AE ∥∴AEF DGF EAF GDF ∠=∠∠=∠，DGF △AEF △AEF DGF AE DG
EAF GDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
ASA AEF DGF ∴≌（）
∴AF DF =BE H BH EF =CF CH BD CD = FD BC ⊥CF BF ∴=45CFD BFD ∴∠=∠=︒90CFB ∠=︒ CHB AEF △45BH EF CBH AFE BC AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
SAS AEF CHB ∴≌（）
AE CH ∴=AEF BHC ∠=∠CEF CHE ∴∠=∠CE CH =∴AE CE ∴=90CFB ∠=︒CE CH =EF FH ∴=
中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．Rt CFH △222CF FH CH +=222BF EF AE ∴+=。